2025年黑龙江省佳木斯市第二十中学中考数学一模试卷

2025年黑龙江省佳木斯二十中中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.国家卫生健康委面向公众发布的《体重管理指导原则年版》，手把手教你科学减肥!下列适合健康减肥的优选食物的图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为(    ) A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 4.某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：35，31，29，4m，44，发现两位数“4m”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受左影响的是(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5.随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发.已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计三年共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为(    ) A. B. 1或0 C. 1 D. 1或 7.为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量.已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元.小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有种购买方案 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形ABCD的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为(    ) A. 2 B. C. 3 D. 9.如图，在矩形ABCD中，，，点F为边AB上一点且BF：：3，点E为边AD上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边AB上的点F处，则折痕EH的长度为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则下列结论：①；②；③点E在运动过程中，；④；⑤的度数始终保持不变.其中正确的结论是(    ) A. ①②③④⑤ B. ①②③④ C. ②④⑤ D. ①②③⑤ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.《哪吒之魔童闹海》于2025年1月29日上映，用时9天登顶中国影史票房榜.截止到2025年3月15日票房含海外及预售票房超亿元，登榜全球影史第五名，将亿用科学记数法表示为______. 12.在函数中，自变量x的取值范围是______. 13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点如果，请你添加一个条件______，使得四边形ABCD成为平行四边形填一个即可 14.李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频.如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作不论顺序，那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为______. 15.关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是______. 16.如图，在中，直径于点E，，，则弦AC的长为______. 17.若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______ 18.如图，在矩形ABCD中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是______. 19.已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线AC所在直线上的一个动点，连接DE，过点D作，交直线AC于点当时，则CF的长为______. 20.如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______. 三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题5分 先化简，再求值：，其中 22.本小题6分 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， 画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； 画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； 在的条件下，求OB在旋转过程中所扫过的面积结果保留 23.本小题6分 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上一动点. 求抛物线的表达式； 过点P作轴于点D，交直线BC于点E，当PE的长为最大值时，求点P的坐标. 24.本小题7分 为落实国家“保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的政策，学校在阳光体育活动中，开展了摸石过河、巨人脚步、抱球接力、多人多足四项体育活动.为了了解七年级学生对这四项体育活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项体育活动”的问卷调查，每人必须选择一项体育活动且只能选择一项根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据统计图中的信息，解答下列问题： 参加本次问卷调查的学生共有多少人； 在扇形统计图中，A组扇形圆心角的度数是______，并补全条形统计图； 若全校共有3600名学生，请估计该校喜欢巨人脚步的学生大约有多少人？ 25.本小题8分 A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，甲、乙两辆新能源货车分别从A、B两地的智能充电站出发相向而行.甲车以某一速度途径C地匀速驶向B地；乙车因充电，在甲车出发后从B地出发，以的速度到达C地，然后按原路原速返回B地.甲、乙两辆新能源货车之间的距离千米与甲车行驶时间小时之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题： ，B两地之间的距离是______；甲车的速度是______； 求乙车在行驶过程中，甲、乙两辆新能源货车之间的距离千米与甲车行驶时间小时之间的函数关系式，并写出t的取值范围； 请直接写出在乙车行驶过程中，乙车出发多长时间，两车之间的距离是40千米. 26.本小题8分 在同一平面内，和绕点C旋转.如图①，当和均为等腰直角三角形，时，易证：；如图②，当和为等边三角形；如图③，当和为直角三角形，，且时，请直接写出图②、图③中BD与AE的数量关系，并在图②、图③中选择一个加以证明. 27.本小题10分 2025年2月7日至2月14日第九届亚洲冬季运动会在中国黑龙江省哈尔滨市举行.本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎，分别名为“滨滨”和“妮妮”.哈尔滨亚冬会官方旗舰店销售妮妮手办和滨滨旋转手办两种摆件国风动漫卡通纪念品，已知用360元钱可以购买3个妮妮手办和2个滨滨旋转手办；用350元钱可以购买4个妮妮手办和1个滨滨旋转手办.请解答下列问题： 求妮妮手办和滨滨旋转手办的单价各是多少元？ 若购买妮妮手办和滨滨旋转手办共10件，所花费用不超过750元，且购买妮妮手办的数量不超过滨滨旋转手办的数量，则有哪几种购买方案？ 若每个妮妮手办的利润为8元，每个滨滨旋转手办的利润为10元，在的条件下，请直接写出顾客如何购买手办商家所获利润最大，最大利润是多少元？ 28.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴上，OA，OC是一元二次方程的两个解经过点C的直线与x轴交于点D，点P从点D出发，沿直线以每秒个单位长度的速度向终点C移动；同时，点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒 求点A、点C的坐标； 求线段PQ的长用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； 在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ与PD两线段长度之比为2：1？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是成轴对称图形； D选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是成轴对称图形． 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3.【答案】B  【解析】解：由题意，得：几何体每个位置上的小正方体的个数最多时，如图所示： 小正方体的个数为：； 故选： 根据俯视图确定位置，左视图确实个数，进行求解即可． 本题考查由三视图判断几何体．熟练掌握俯视图确定位置，主左视图确实个数，是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：无论m为何值，这组数据的中位数均为35，不受影响， 故选： 根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可． 本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义． 5.【答案】A  【解析】解：根据题意得， 故选： 设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年累计三年共投入研发资金364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：原方程去分母得， 整理得， 当，时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选： 将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选： 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价=单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设，， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形ABCD是正方形，且边长为3， ，，点E为BD的中点， ， 在中，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为BD的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， 故选： 过点D作轴于点H，设，，则点，点，证明和全等得，，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，理解正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：设EH交DF于点L，作于点M， 四边形ABCD是矩形，，， ， 四边形ABHM是矩形， ， 点F为边AB上一点且BF：：3， ， ， ， ， 由折叠得点F与点D关于直线EH对角， 垂直平分DF， ， ，， ， ， ， 故选： 设EH交DF于点L，作于点M，则，所以四边形ABHM是矩形，则，由BF：：3，得，则，求得，而，则，由折叠得EH垂直平分DF，则，可证明，由，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、同角的余角相等、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：作交BC的延长线于H， 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ，， ， ≌， ，故①正确； ≌， ， ，故②正确； 四边形DFEP是平行四边形， ，， ，， ， ， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故③正确； ， ， ，故④正确； 是的角平分线， 点P的运动轨迹是的角平分线， ， 观察图象可得，一直减小，故⑤错误， 正确的结论是①②③④， 故选： 作交BC的延长线于H，证明≌，得，，可以判断①②正确；证明是等腰直角三角形，可以判断③④正确；根据题意，证明CP是的角平分线，可判断⑤错误． 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11.【答案】  【解析】解：亿 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 13.【答案】答案不唯一  【解析】解：， 当时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：答案不唯一 根据平行四边形的判定方法填写即可． 本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④两组对边分别相等的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 14.【答案】  【解析】解：列出所有可能的选择情况，设5种非遗项目为：漆器、蜀锦、其他3种分别为C、D、从5种中选2种，所有可能的组合有：、、、、、、、、、，共10种等可能的情况．恰好选择漆器和蜀锦的情况只有1种：概率=符合条件的情况数总情况数 故答案为： 先列出所有情况，再求出选择漆器和蜀锦的概率． 本题结合非遗项目，考查概率问题． 15.【答案】  【解析】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 原不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解必然是8，9，10， 那么， 则， 故答案为： 解各不等式得出对应的解集，再根据题意得到它的整数解，然后确定a的取值范围即可． 本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：连接OC， 设的半径为r，则， 直径于点E，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 在中，， 故答案为： 连接OC，设的半径为r，则，先利用垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理求出，从而可得，进而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17.【答案】90  【解析】解：圆锥的底面周长是， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数是， 则， 解得， 这个圆锥侧面展开图的圆心角是 故答案为： 理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 此题考查圆锥的计算问题，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 18.【答案】  【解析】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：是等边三角形， ， ， ， 当A、P、F、E共线时，的值最小， 四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 将绕点C逆时针旋转，得到，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19.【答案】或  【解析】解：如图，连接BD交AC于点 正方形的边长为4， ，， ， ， 当点E在OA的延长线上时，， ，， ， ， ， ， 当点E在OC的延长线上时，T同法可得 综上所述，CF的长为或 如图，连接BD交AC于点利用勾股定理求出OE的长，分两种情形求出CF即可． 本题考查正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题， 20.【答案】  【解析】解：由题意，如图， 直线， 令，则； ， ， 令，则， 解得， ， ， ， ，，，…是等边三角形， …，，…… 、，……是含角的直角三角形， ，，……， ，， ，，……，， 点的横坐标是， 故答案为： 依据题意，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，由题意可得，，则、，……是含角的直角三角形，可得出，，……，可得，，……，，由此得出规律，即可求解． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键． 21.【答案】，  【解析】解： ， ， 原式 根据分式的运算法则进行化简，再根据特殊角的三角函数值，求出x的值，代入原式中，求出答案． 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算． 22.【答案】作图见解析，点的坐标为；   作图见解析，点的坐标为；    【解析】如图，即为所求， 点的坐标为； 如图，即为所求； 点的坐标为； 由勾股定理得，， 在旋转过程中所扫过的面积为 根据轴对称的性质作图即可． 根据旋转的性质作图，即可得出答案． 利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、弧长，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、弧长公式是解答本题的关键． 23.【答案】；     【解析】解：将点、代入， ， 解得， ； 当，则， ， 设直线BC的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 当时，PE有最大值，此时 用待定系数法求函数的解析式即可； 求出直线BC的解析式，设，则，则，当时，PE有最大值，此时 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出PE的表达式是解题的关键． 24.【答案】60人；   ，补全图形见解答；   1200人．  【解析】参加本次问卷调查的学生共有人； 组人数为人， A组所占的百分比为， 扇形的圆心角是； 补全统计图如图所示， 故答案为：； 人， 答：估计该校喜欢巨人脚步的学生大约有1200人． 根据D组的人数除以占比得出总人数； 根据总人数求得A组的人数，进而求得占比，然后求出圆心角即可，继而补全图形； 总人数乘样本中B组人数所占比例即可． 本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． 25.【答案】350km，；   ；   或或  【解析】，B两地之间的距离是350km；甲车的速度是 故答案为：350km， 乙车返回到B地的时间为， 当时，乙车正在行驶， 两车途中相遇的时间为， 甲车到达B地的时间为， 当时，， 当时，， 当时，， 乙车在行驶过程中，S与t之间的函数关系式及t的取值范围为 当时，当时，得， 解得， ； 当时，当时，得， 解得， ； 当时，当时，得， 解得， 答：在乙车行驶过程中，乙车出发或或，两车之间的距离是40千米． 观察图象并根据速度=路程时间计算即可； 根据时间=路程速度求出乙车返回到B地的时间，从而求出乙车正在行驶的时间范围，再分别求出两车途中相遇的时间及甲车到达B地的时间，进而根据路程=速度时间求出各时间段S与t的函数关系式即可； 根据中求出的函数关系式，当时，求出对应t的值，再减去小时即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 26.【答案】图②中BD与AE的数量关系为，图③中BD与AE的数量关系为；证明见解答过程．  【解析】解：图②中BD与AE的数量关系为，图③中BD与AE的数量关系为； 选图②证明如下： 和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ≌， ； 选图③证明如下： ，且， ，即，， ∽， ， 选图②可证明≌，故；选图③可证明∽，故，从而 本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和相似三角形的判定定理． 27.【答案】妮妮手办的单价是68元，滨滨旋转手办的单价是78元；   有3种购买方案：①购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件；②购买妮妮手办4件，滨滨旋转手办6件；③购买妮妮手办5件，滨滨旋转手办5件；   购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件商家所获利润最大，最大利润是94元．  【解析】设妮妮手办的单价是x元，滨滨旋转手办的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：妮妮手办的单价是68元，滨滨旋转手办的单价是78元； 设购买妮妮手办m件，则购买滨滨旋转手办件， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， ，4，5， 有3种购买方案： ①购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件； ②购买妮妮手办4件，滨滨旋转手办6件； ③购买妮妮手办5件，滨滨旋转手办5件； 由可知，①购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件，费用为元； ②购买妮妮手办4件，滨滨旋转手办6件，费用为元； ③购买妮妮手办5件，滨滨旋转手办5件，费用为元； ， 购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件商家所获利润最大，最大利润是94元． 设妮妮手办的单价是x元，滨滨旋转手办的单价是y元，根据用360元钱可以购买3个妮妮手办和2个滨滨旋转手办；用350元钱可以购买4个妮妮手办和1个滨滨旋转手办；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购买妮妮手办m件，则购买滨滨旋转手办件，根据所花费用不超过750元，且购买妮妮手办的数量不超过滨滨旋转手办的数量，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题； 求出中三种方案的费用，再比较即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 28.【答案】，；   当时，；当时，；     【解析】， 解得或， ， ，， ，； 直线经过点C， ， 直线， 当时，， ， 直线以每秒个单位长度的速度向终点C移动， 点以每秒个单位长度的速度向终点C移动， ， 点到C点停止， ， 点Q从点O出发，沿以每秒4个单位长度的速度运动到点B停止， ， 当时，，， ， 当时，，， ； 综上所述：当时，；当时，； 存在t，使PQ与PD两线段长度之比为2：1，理由如下： 点以每秒个单位长度的速度向终点C移动， ， 当时，当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：t的值为 解一元二次方程即可求，，再求点的坐标即可； 由题可知，当时，，，，当时，，，； 先求，当时，当时，，解得；当时，，解得 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$