精品解析：安徽省合肥市第四十五中学芙蓉分校2024～2025学年八年级下学期期末模拟数学试卷

2024~2025学年度八年级（下）期末模拟数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是（　　） 射击（环） 5 6 7 8 9 10 人数 1 3 6 7 2 1 A. 8；8 B. 7；8 C. 7；7.5 D. 8；7.5 4. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 将一元二次方程配方后得到的结果是（　　） A. B. C D. 6. 在直角三角形中，若两条直角边长分别是和，则斜边长为（　　） A. B. C. D. 7. 下列条件中，能判断为直角三角形是（ ） A. B. ，， C. D. 8. 一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A B. C. D. 10. 如图．在矩形中．对角线与相交于点，若是的垂直平分线，且，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是_________． 13. 在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则___________. 14. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1）________； （2）当取最小值时，的周长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算： 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点分别为A，B，C． （1）作出关于y轴对称的； （2）在第一象限的格点上找一点D，连接，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ． 18. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， （1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）求其最大利润． 20. 如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形形状，并说明理由； （2）求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校七、八年级各有200人参加“安全教育知识竞赛”，两年级参赛人员中各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：73 81 65 82 85 95 81 85 97 85 八年级：72 76 79 83 87 97 76 83 83 95 【整理数据】 成绩 七年级 1 1 a 2 八年级 0 4 4 2 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82.9 b 85 78.49 八年级 83.1 83 c 59.09 【应用数据】 （1）直接写出______，______，______； （2）请结合表格信息，判断样本中______年级学生的竞赛成绩更稳定？（填七或八） （3）请估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向O点移动，同时点Q从O点出发以每秒2个单位的速度沿y轴向C点移动，任何一点到达终点则另一点也停止移动，问： （1）经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位； （2）在（1）的条件下，求的长度． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； （3）如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度八年级（下）期末模拟数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各式中，一定是二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A．没有意义，故该选项不符合题意； B．是三次根式，故该选项不符合题意； C．是二次根式，故该选项符合题意； D．当时，是二次根式，当时，无意义，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算中，正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A选项，先将化简再合并；对于B选项直接相乘再开方；对于C选项，不是同类二次根式，无法合并；对于D选项，按照根式的除法法则进行运算即可． 【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了根式的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握各种运算法则． 3. 某射击小组有20人，成绩如表所示：这组数据的众数和中位数分别是（　　） 射击（环） 5 6 7 8 9 10 人数 1 3 6 7 2 1 A. 8；8 B. 7；8 C. 7；7.5 D. 8；7.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：由表格可得射击8环的有7人，因此众数为8； 共有20个数据，则中位数为第10，11个数据的平均数，由表格可得第10个数据为7，第11个数据为8，因此中位数为， 故选：D． 4. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 5. 将一元二次方程配方后得到的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】所给方程的二次项系数就是1，将常数项移到等号右边，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可解答． 【详解】解：移项得： 配方得： 由完全平方公式得： 即： 故选：A． 【点睛】此题主要考查用配方法解一元二次方程的知识，关键是掌握配方法的步骤． 6. 在直角三角形中，若两条直角边长分别是和，则斜边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，已知直角三角形中，两条直角边长分别是和，利用勾股定理可得斜边的长为． 【详解】解：直角三角形中，两条直角边长分别是和， 则斜边长为．   故选：C ． 7. 下列条件中，能判断为直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为度进行判定即可． 【详解】解：A、，所以设，，，而，故不是直角三角形；故该选项不正确，不符合题意； B、，，， 符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形；故该选项正确，符合题意； C、因为，则，不能判断是直角三角形； D、因为，所以设，则，，故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B 8. 一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，和多边形的外角和为．设该多边形的边数为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意可得：， 解得：， 故选：B． 9. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理． 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是平行四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意； B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图．在矩形中．对角线与相交于点，若是的垂直平分线，且，则的长为（ ） A B. C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】四边形是矩形， ． 垂直平分， ， ， ． 在中，，，， ． 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 12. 若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解．本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵E，D分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1）________； （2）当取最小值时，的周长为________． 【答案】 ①. 60 ②. 18 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）利用等边三线合一性质即可解答； （2）利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，由（1）中结论可得恒成立，则当取最小值时有，可得出的长，设等边的边长为，则，利用勾股定理建立方程求出的值即可解答． 【详解】解：（1）等边，F是的中点， ，平分， ， ． 故答案为：60． （2）在中，， ， ， 由（1）得，恒成立， 又当取最小值， ，即， ， ， 等边，F是的中点， ，， 设等边的边长为，则， 在中，， ， 解得：， ， 的周长为． 故答案为：18． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，负整数指数幂，去绝对值，正确的计算是解题的关键； 先计算负整数指数幂，去绝对值，然后把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键． 原方程化为，得根的判别式，得到，即得，． 【详解】解：方程化为， ，，． ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点分别为A，B，C． （1）作出关于y轴对称的； （2）在第一象限的格点上找一点D，连接，使是以为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，勾股定理，等腰三角形等知识， （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的对称点，依次连接即可； （2）显然只能是时，才满足条件，根据的长度即可确定点D的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：，在第一象限内，， 此时点D的坐标为或； 故答案为：或． 18. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）（n为正整数），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【小问1详解】 解：结合以上规律容易得出第四个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 结合规律猜想第n个等式： （n为正整数）， 证明：左＝＝右 即 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， （1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）求其最大利润． 【答案】（1）， （2）元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案． （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出等式； （3）设利润为，由（2）可得利润的表达式为，利用二次函数的性质得到最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件， 故则每天销售量增加件，每件服装盈利元． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件， 依题意得， 整理得， 解得，， 由于要对顾客更有利， ． 故答案为：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1200元． 【小问3详解】 解：设利润为． 由（2）可得利润的表达式为， 化简得， 当时，有最大值． ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． 20. 如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理结合题意可得出，，即判定四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得出，再根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵为的中点，三角形为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握等边三角形“三线合一”的性质和特殊四边形的判定和性质是解题关键． 六、（本题满分12分） 21. 某校七、八年级各有200人参加“安全教育知识竞赛”，两年级参赛人员中各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：73 81 65 82 85 95 81 85 97 85 八年级：72 76 79 83 87 97 76 83 83 95 【整理数据】 成绩 七年级 1 1 a 2 八年级 0 4 4 2 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82.9 b 85 78.49 八年级 83.1 83 c 59.09 【应用数据】 （1）直接写出______，______，______； （2）请结合表格信息，判断样本中______年级学生的竞赛成绩更稳定？（填七或八） （3）请估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数． 【答案】（1）6；；83 （2）八 （3）估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数约为280人． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数、众数和平均数，及其根据方差作出判断，用样本中的频数估计总数，熟练掌握中位数、众数的定义，是解题的关键． （1）根据用总数减去其它组的频数得出a的值，根据中位数和众数的定义求出b、c的值即可； （2）根据表格中的方差作出判断即可； （3）分别估算出两个年级成绩大于80分的人数相加即可． 【小问1详解】 解：； 将七年级学生的成绩从小到大进行排序为65、73、81、81、82、85、85、85、95、97， 排在第5的是82，第6的都是85，因此中位数； 八年级学生成绩中出现最多的数为83，因此众数． 故答案为：6；；83． 【小问2详解】 解：∵， ∴八年级学生的竞赛成绩更稳定． 故答案为：八； 【小问3详解】 解：（人）， （人）， ∴该校七、八年级成绩大于80分的总人数为：（人）． 答：估计该校七、八年级成绩不低于80分的总人数约为280人． 七、（本题满分12分） 22. 如图，已知，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，点P从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向O点移动，同时点Q从O点出发以每秒2个单位的速度沿y轴向C点移动，任何一点到达终点则另一点也停止移动，问： （1）经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位； （2）在（1）的条件下，求的长度． 【答案】（1）2秒钟或4秒钟 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可． （2）根据（1）问求出的时间，求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，， 设经过x秒钟，能使的面积为8个平方单位，根据题意得 解得：， 答：经过2秒钟或4秒钟，的面积为8个平方单位． 【小问2详解】 解：①当2秒时，，， ∴； ②当4秒时，，， ， 答：的长为或个单位． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点，勾股定理，求出点A、C坐标是解此题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； （3）如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质以及正方形的判定： （1）判定和全等即可作答； （2）过点作于，于，根据可得到，通过等量代换得到，此时四边形是正方形，结合，可得到，利用等腰直角三角形的性质即可作答； （3）在上截取，连接，延长交于，先证明和全等，再计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ 【小问2详解】 猜想： 证明：如图2，过点作于，于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， 四边形是正方形 ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，在上截取，连接，延长交于， 由（1）、（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $