河南省开封高级中学东校2023-2024学年高二下学期数学滚动测试卷三

开封高中东校区2025届高二下学期数学滚动测试卷三答案 1．A 【详解】因为倾斜角为，所以斜率. 由斜截式可得直线方程为：，即.故选：A 2．C 【详解】因为，所以，令，则，．故选：C 3．B 【分析】根据等差数列的通项公式进行计算即可. 【详解】设的公差为.由已知可得，所以，则.故选：B. 4．D 【详解】对于A，当，，且时，满足都平行于直线a，不能推出，A不能； 对于B，当，且在内直线b一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出，B不能； 对于C，当l与m平行时，不能推出，C不能； 对于D，因，，则存在过直线的平面，于是得，，，则， 因，，则存在过直线的平面，于是得，，，则， 又是两条异面直线，则是平面内的两条相交直线，所以，D能. 故选：D 5．C 【详解】数列中，，，当时，，两式相减得，即，整理得，而， 因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，，不满足上式，则，当时，，， 而，依题意，，所以实数的最小值为.故选：C 6．C 【详解】圆的圆心为原点，半径为. 设直线与曲线相切时的切点为，其中. 因，故直线的斜率为，故直线的方程为：即，整理得到：，因该直线与圆相切，故，故或（舍），故直线的斜率为，故选：C. 7．B 【详解】由，即， 即，即对恒成立， 令，则在上单调递增， ∵，∴，由即，即， 因为在上单调递增，∴故选：B. 8．A 【详解】依题意，抛物线的焦点坐标为， 易知直线斜率存在，设直线方程为：，， 联立，消去，得 易知，则，即， 过作垂直于轴，过作平行于轴，两者交于， 过作垂直于轴，交轴于，根据对称性，示意图如下， 因为，所以， 因为，所以， 则.故选：A. 9．ACD 【详解】解：因为，所以，所以，故A正确； 因为， 所以当时，；当时，； 当时，，所以在处取得极大值，为， 故B错误，D正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，故C正确．故选：ACD． 10．BCD 【详解】对于A：若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得： 二者联立解得：.故A错误； 对于B：光由所经过的路程为. 故B正确； 对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.  故C正确. 对于D：设直线PT的方程为. ，消去y可得：. 其中，即，解得 代入，有，解得：. 由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以. 所以.故D正确故选：BCD 11．【答案】ACD 【详解】圆化为， 其圆心,半径，又，则， 因为点在圆上，所以,所以存在点，使得，故A正确； 设，若，则， 即，化为， 又点在圆上，故一定成立，则B错，D正确； 又，则三点共线， 且， 则当与圆相切时，最大，此时,故，故C正确， 故选：ACD. 12．ABC 【详解】 由题意得，故，又面， 故以为原点建立空间直角坐标系，故，，， ，，设，则， 故， ，故A正确， 若，则，而，， 设面的法向量，故，， 则，，令，解得，， 故，设面任意一点坐标为， 可得面的方程为，当时，， 故，显然成立，故B正确， 三棱锥上部分被平面截为三部分，设原体积为1， 设，， ， ， 故， 则三棱锥被平面分割成的两部分体积相等，故C正确， 若为中点，则，， ，，设面的法向量， 则，，则，， 令，解得，，故， 故，则面的方程为， 当时，解得，， 设过，， ，的球方程为，将点代入方程， 可得，， ，解得，，，， 故球的方程为，经检验，也在该球上， 故，，，，五点共球，且球的半径为，故D错误， 故选：ABC 13．【答案】17 【详解】依题意，．故答案为：17 14． 【详解】设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，， 则，，两式相减得， 化简得，即，直线AB的方程为， 所以直线AB的一般方程为，故答案为： 15． 【详解】由，得， 故是以为首项，3为公比的等比数列，所以，得， ，所以， ，，故．所以的取值范围为. 故答案为：. 16． 【详解】①当时，则，， 又由，得，所以，则； ②当时，因为，， 所以不存在，使得； ③当时，则，，又由，得， 则，，令，因为当时，， 所以在上单调递增，所以，则； 综上所述，得取值范围为， 17．【答案】(1)，两圆外离(2) 【详解】（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆， 则圆N的圆心，半径，所以：， 又因为圆M的圆心，半径，可得， 即，所以两圆外离（相离）. （2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B，由题意可得：， 设，则，整理得， 所以点P的轨迹方程为：． 18．（1）（2）见解析 【详解】（1）函数定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或 经检验，时，是函数的极值点，所以. （2）若，，所以函数的单调递增区间为，无递减区间； 若，令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 综上所述：，函数的单调递增区间为，无递减区间； 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 16．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为，所以 ， 又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）易知， 所以， 所以，则恒成立， 所以要使不等式对任意正整数恒成立，只须 ， 由题意可得且，则，所以，解得， 所以，即实数的取值范围是. 17．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）在底面为菱形的直四棱柱中， 因为，所以，又的中点为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面平面，又平面平面，且平面， 所以平面． 又平面，所以． （2）在底面为菱形的直四棱柱中，易知， 由（1）知，， 又，所以， 连接，则三点共线，因为平面，且， 所以平面．又平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以，连接，则， 设，所以． 设平面的法向量为，则，即，则，取，则，故． 在直四棱柱中，易知，所以四点共面， 由（1）知平面，即平面， 所以平面的一个法向量为． 因为二面角的大小为，所以， 即，即，解得，所以为线段的中点， 此时． 18．(1)(2) 【详解】（1）当时，显然符合题意， 当时，设直线的方程为，其中，设、， 与双曲线方程联立可得， 因为直线与双曲线交于不同的两支，所以，又， 所以，解得，即，所以且，解得或， 综上可得； （2）由（1）知，因为，所以， 设，则直线的方程为：，设， 直线与双曲线方程联立可得， 即， 所以，所以， 得， 又因为，所以， 当时， 即时，为定值， 所以或，又因为，所以点的轨迹方程为. 19．(1)的减区间为，增区间为；切线方程为. (2) 【详解】（1）当时，由，有， 由有，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的减区间为，增区间为；又，所以切点为， 切线斜率，所以切线方程， 即切线方程为. （2），， 设，则∵，∴， 在上单调递增，， ①当，即时，，在上单调递增， 则，∴，故． ②当，即时，，，， 即，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，则 ，∴，∴．由， 令函数，且，， 在上单调递增，， ∵，∴． 综上，实数a的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封高中东校区2025届高二下学期数学滚动测试卷三 一、单选题 1．在轴上截距为，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，已知，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（　　） A．α，β都平行于直线a B．α内存在不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且， D．l，m是两条异面直线，且，，， 5．已知数列的前项和为，数列的前项和为，且，则使得恒成立的实数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．直线与曲线和圆都相切，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 7．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点，两点，交抛物线的准线于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的图象在x＝1处的切线的斜率为-3，则（    ） A． B．在处取得极大值 C．当时，有最小值 D．的极大值为 10．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C．反射光线所在直线的斜率为，则 D．记点，直线与相切，则 11．已知点在圆上，点，，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C． D． 12．如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于．下列选项中正确的有（    ） A．的最小值为2 B．时， C．三棱锥被平面分割成的两部分体积相等 D．当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为 三、填空题 13．在数列中，若，则的值为 ． 14．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_______. 15．数列满足，数列满足，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 16．已知，若存在，使得，则的取值范围为 . 四、解答题 17．已知圆M：，圆N经过点，，． (1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系； (2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程． 18．已知函数. （1）若是函数的极值点，求的值； （2）求函数的单调区间. 19．已知数列，若. (1)求证：数列是等比数列; (2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围. 20．如图，在底面为菱形的直四棱柱中，的中点为，平面平面． (1)求证：； (2)已知动点在线段上（不含端点），且二面角的大小为，求的长． 21．已知过点的直线与双曲线：的左右两支分别交于、两点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设点，过点且与直线垂直的直线，与双曲线交于、两点.当直线变化时，恒为一定值，求点的轨迹方程. 22．已知函数． (1)若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程； (2)设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$