(六)直线与圆综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教A版）

U 数学（人較A极}选择性必修第一质第1页共页} ① 衡水会馨·先草量·喜二同步因测卷光 数学（人较A藏）选择性必修第一后第2页【共4面引 12,(本小题满分15分) 已知直线l:r一y-=0,keR,图C:(x-1+(y-5)了=1.直线1过定点A.且 与图C相交于点M,N, 从①AC⊥CN:②△CMW为等边三角形：圆IAM十AN|=3这三个条件中任选一 个填人题中的横线上，并解答问题： (1)求k的值： (2)求△CMN的面积 注：如果这择多个条件分别解答，期按第一个解答计分， 数学（人教A极}选择性必修第一质第3页{共面引 衡水金幕·先享题· 13,木小题清分20.分) 已知用C:2+y2-2x十y-4=0. (1)若过定点（一2,0）的直线1与圆C相切，求直线1的方程： 《2)若过定点（一1,0）且烦斜角为30的直线限与圆C相交于A,B两点，求线段AB 的中点P的坐标： (3)是否存在斜率为1的直线：，使，被圆C截得的弦为EF,且以EF为直径的圆经 过原点？若存在，求出直线m的方程：若不存在，请说明果山. 离二同步丽测卷光 数学（人较Λ腰}选择性必修第一后第4页【共4面引高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下，空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⊙数学运算⊙数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 (主题内容) I n Ⅲ N T ① ② ③④ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由直线方程求倾斜角 易 0.80 选择题 求过某点且与某直线 平行的直线方程 易 0.72 3 选择题 5 点，直线与圆的位置 关系 易 0.70 4 选择题 5 与圆有关的轨迹问题 中 0.55 5 选择题 与圆有关的面积问题 中 0.45 6 选择题 5 两圆的公共弦问题 么 0.30 选择题 6 直线间位置关系的 判定 令 0.75 8 选择题 6 直线与圆的位置关系 L 难 0.28 9 填空题 5 由直线的截距求参 多 0.71 10 填空题 5 圆上的点到定点距离 的最值问题 % 0.45 11 解答题 13 求点的坐标及直线方程 公 0.60 12 15 直线与圆相交的结构 解答题 不良题 公 0.45 利用根与系数的关系 13 解答题 20 解决直线与圆的相切、 难0.28 相交问题 春答案及解析 一、选择题 一√3，解得a=120°.故选C. 1.C【解析】由√/3x+y-a=0,得y=一x+a,所以2.A【解析】设与直线x-2y十1=0平行的直线方程 斜率k=一√5，设倾斜角为a,0≤a<180°，所以tana= 是x一2y十A=0,代入点(1，-3)，得1十6十A=0,解 ·25· ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 得入=一7，所以所求的直线方程是x一2y一7=0.故 选A. 3.C【解析】因为点P(a,b)在圆x2十y=1外，所以 二、选择题 a2+6>1,圆心(0,0)到直线ax十by=1的距离为 7.BCD 1 【解析】由3-十8=0，得y=子十2，所以 <1=r,故直线ax十y=1与圆x2十y2=1 √a+b l与重合，l∥l,故A错误，C正确：与1之间 相交.故选C. 的距离为2（斗-兰，放B正确因为1与 4.B【解析】设底边的另一个端点C的坐标为 V+() 5 (x,y),由|AC|=|AB1得√/(4-x)+(2-y) 的斜率互为相反数，所以与l的倾斜角互补，故D =√(4-5)+(2-3)，化简可得x2十y-8x-4y 正确，故选BCD. 十18=0，因为A,B,C三点构成三角形，所以三点不 8.ABD【解析】因为AC=BC,所以△ABC是等腰三 共线且B,C不重合，当A,B,C三点共线时，直线AB 角形，由三线合一得△ABC的“欧拉线”为AB的垂 的斜率k=子1，则直线AB的方程为y一2=1× 直平分线，因为A(1,0),B(一1,2)，所以AB的中 (x一4)，化简可得x一y一2=0，所以点C的轨迹方 点坐标为(01)，因为直线AB的斜率为吕 程为x2十y2-8x-4y十18=0(x-y-2≠0).故 一1，所以“欧拉线”的斜率为1，所以“欧拉线”的方程 选B. 为y=x十1，即x一y十1=0，故A正确：因为“欧拉 5.D【解析】当x≥0，y≥0时，x+y=2|x|+2|y 线”与圆M:(x一3)：十y=r2相切，所以M(3,0)到 →x2+y=2x+2y→(x-1)+(y-1)°=2：当x≥ 0,y<0时，x+y=2|x|+2|y|→x2+y=2x 直线x一y+1=0的距离d=3十1山=2,2=r,则圆 2y→(x-1)+(y+1)2=2,当r<0,y≥0时，x2+ M的方程为(x一3)十y=8,因为圆心(3,0)到直线 y=2|x|+2|y|→x+y=-2x+2y→(x+1) 十(y-1)'=2:当x<0,y<0时，x2+y=2|x|+ x-y-1=0的距离为31=2，所以圆M上存 √2 2|y|→x2+y=-2x-2y→(x+1)+(y+1)= 在三个点到直线x一y一1=0的距离为√2，故B正 2,曲线x十y2=2x|+2|y|围成的图形如图所示， 确：中的儿何意义为圆上的点(，)与定点 (一1.0)连线的斜率，设过（一1,0）的直线方程为 y=k(x十1)，即kx-y十k=0,当直线kx一y十k=0 与圆M相切时，36+=2厄，解得k=士1，所以 k+1 其中每个象限内半圆的半径为√厄，所以曲线x+y 十的最小值是一1，故C错误：圆E的圆心坐标为 =2|x|十2|y围成图形的面积为4× (0,a),半径为√2，圆M的圆心坐标为(3,0)，半径 [2×2X2+号×2)×]=8+4元故选D 为2√反，要使圆E与圆M有公共点，则2V2一√2 √3+(-a)严≤2√2+√2，解得一3≤a≤3，故D正 6.C 【解析】由题意知PA PO x+☑ 确.故选ABD, √(x-4)+y 3 三、填空题 化简得C:(+之)+y=号，其圆心为 9.一2或-1【解析】若直线kx一y十2十k=0过原点， 则2十k=0,解得k=一2，符合题意：若直线kx一y十 C(-合，0）小半径n=三又圆CG-1)+(y+ 2+k=0不过原点，显然当k=0时，直线y=2不符 1)=1的圆心为C(1,一1)，半径r=1,所以 合题意：当k≠0且k≠一2时，令x=0,则y=2十k, 1cC=零，因为n-n=名n十n=音，所以 令y=0,则x=-1一是，依题意可得2十k=-1 n一r<|CC|<n十n,所以圆C与圆C相交，其 2 ，解得=一1或k=一2（舍）.综上k=一1或k= 公共弦所在的直线方程为(x+2） +y -2. [x-1)+(y+1)]=号-1，即3x-2-3=0.则 10.149+√/13【解析】由圆C:x2十y2十6x十4y= 0,可得(x+3)+(y+2)=13,则圆心C(一3， 圆心C到公共弦所在直线的距离d -2),半径r=√13，设P(,),则|x-4|十 3X=希故公类费长为 「y一6|=2，可得点P的轨迹为如图所示的正 √/3+(-2)月 方形， ·26✉ 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 选③：直线1：y=k(x一1)过定点A(1,0),(2分) 圆C:(x-1)十(y-)=1的圆心为(1,3)， 则1AC1=√1-1)+(3-0)厂=尽， 因为|AM+|AN|=3, 所以点A到弦MN的中点E的距离为受， (4分) 3 其中A(4,8),B(6,6),则|AC|=√149，|BC= 所以cos∠CAE= 2 √145，则|PN|≤|AC|+r=/49+√3，所以 所以∠CAE=30°， (6分) |PN|的最大值为√149+√3， 所以直线/的倾斜角为60或120°， 四、解答题 所以k=士√3. (7分) 11,解：(1)由直线方程x十y一1=0，可得直线AB的斜 率为1， 则直线AB的方程为y一1=x一4，即y=x一3， (2分) 联立/y=x-3 3x-y-1=0' 解得x=一1，y=一4， (4分) 所以点B的坐标是（一1，一4）： (5分) (2)因为点C在直线x+y-1=0上， 所以可设点C(a,1一a), (2)由k=士√3，得直线1的方程为y=±3(x一1)， (8分) 故点M的坐标为(2+受，1-号)， (x-1)+(y-5)°=1 因为点M在直线3.x-y-1=0上， 联立 y=±3(x-1) 所以6+号-1计号-1=0，解得a=-2, (8分) 消去x得（生岩）广+(0)=1 所以C(-2,3), (9分) 整理得2y2-3√3y十3=0， 所以直线BC的斜率k=-】-（-② -4-3 =-7,(10分) (12分) 所以直线BC的方程为y-3=一7(x十2)， 解得y=或y=。 即7x+y十11=0. (13分) 不妨设点N的纵坐标为√3， 12.解：(1)选①：直线1：y=k(x-1)过定点A(1,0), 则CN∥x轴，|CN=1, 圆C:(x-1)+(y-√/3)=1的圆心为C(1w3) (15分) 因为AC⊥CN,所以CN∥x轴， (3分) 所以saw=×1x(g-号）=9 设N(aw3), 13.解：(1)根据题意，设直线1的方程为x=ky-2, (1分) 则(a-1)+(3-√5)=1， 解得a=0或a=2, (5分) 联立y2y4e0 所以直线1的斜率k=二9=一5或=5二0 整理得(k+1)y2+(4一6k)y十4=0， (3分) 0-1 2-1 因为直线（与圆C相切， =5, 所以△=20k-48k=0, (4分) 所以k=士√， (7分) 选②：直线1：y=k(x一1)过定点A(1,0),(2分) 解得火=0或女=号。 (5分) 圆C:(x-1)+(y-)=1的圆心为C(1√3)， 所以直线1的方程为x=一2或5x一12y十10=0. (6分) 因为△CMN为等边三角形， 所以圆心C到直线1的距离d=k一E- (2)由题意可得直线m的方程为x=√y一1， 1=1 1+k 代人圆C的方程得4y+4(1-√/3)y-1=0,△>0， 设A(x1,y),B(x,y), (5分) 则y十y=3-1,x十=1一√3， (10分) 解得k=士3， (7分) ·27· 所以点P的坐标为(，) (12分) 所以y=之(6+2h-0 (17分) (3)假设存在这样的直线n:y=x十b, 因为以EF为直径的圆经过原点， 代入圆C的方程得2x2十(2b十2)x十6+4b一4 所以O龙.O求=0， =0, 又O克=(x1y),0亦=(，y), △=-4(6+6b-9)>0. 所以xx:十yy1=0, 解得-3-3E<b<32-3, (15分) 即6+3b-4=0,-3-3V2<b<3√2-3， 设E(y),F(x4y), 解得b=1或b=一4， 则+=-(6叶1)函=宁（十6-40… 所以直线n的方程为x一y十1=0或x一y一4=0. (20分) (16分)