天津市南开中学2025届高三上学期数学统练9试卷

2025届南开中学高三数学统练9 一、单选题 1.已知集合M={xVx-I<2},N={xx2-x-2<03,则MnN=() A.(x-1<x<5} B.xl1≤x<5} C.x-1<x<2〕 D.{xl1≤x<2] 2.设a、Be(（》,那么"a<B是"tana<tanB"的（) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.设a=g20+lg5,b=logg5,则a+3b的值为() A.2+V5 B.1+V5 C.27 D.26 5.下列命题： ①己知随机变量X~B(3, ,则E(2X+1)=4 ②已知随机变量x~N(1,》,fx≤0)=f(x之2) ③数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8 ⑨样本甲中有m件样品，其方差为s子，样本乙中有n件样品，其方差为s子，则由甲乙组 成的总体样本的方差为n好+m本号 其中正确个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知函数f(x)=ex2-2x,记a=f0og32),b=f0og53)·c=f0og5),则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 试卷第1页，共4页 7.已知函数f(x)=cOSWx-√3siwx(w>O)的部分图象如图所示，则下列选项不正确 的是() VA A.函数fx)的图象关于点（侣，0）中心对称 B.函数fx)的单调增区间为km-行，km-(kez) C.函数f(x)的图象可由y=2 sinwx的图象向左平移登个单位长度 得到 -2 D.函数g)=f(0x)在(0，上有2个零点，则实数的取值范围为(，割 8.在△ABC中，B而=BC,E是线段AD上的动点（与端点不重合），设C正=xCA+yC丽， 则2+3y+的最小值是（) xy A.10 B.4 C.7 D.13 9,素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造 型能力.·十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿 体”的素描作品"十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其 中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有 两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点)，若该 同学绘制的十字贯穿体”由两个底面边长为1，高为4的正四棱柱构成，给出下列四个结 论： ①该“十字贯穿体”的表面积是36-2√2 ②该“十字贯穿体”的体积是8-2 ③一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 ④二面角M-DE一B的正弦值为 10 其中正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 试卷第2页，共4页 二、填空题 10.设2=岩+3-4，i是虚数单位，则2=一 1,若x-引”的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中x的系数为 12.如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是矩形，EF/AB,G为CD的中点.记四 棱锥A-DEFG,F-ABCG的体积分别为V,V2,若EF:AB=3:4,则V1:= B 13.盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再 从盒子中取1个球.(1)则甲所取的2个球为同色球的概率为」 :(2)设事件M为 “甲所取的2个球为同色球”，N事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M发 生的条件下，求事件N发生的概率P(NIM)= 14.已知数列anJ为公差不为0的等差数列，a3=5,且a2,a5,a14成等比数列，则 an 设[x]表示不超过x的最大整数，如m=3,[-1.5]=-2,记bn=log2anJ, Sn为数列{bn}的前n项和，则S1oo= 15.已知离数断网=儿2斗2这。 (I)若函数f(x)没有零点，则实数a的取值范围是 (1I)称实数a为函数f(x)的包容数，如果函数f(x)满足对任意x1∈(-∞，a),都存在x2∈ (a,+o),使得f(x2)=f(x). 在①-②：③1：④V2:⑤中，函数fx)的包容数是 (填出所有正确答案 的序号) 三、解答题 16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2 bcosC=2a-c. (I)求角B的大小： (2)若a<c,b=27,△ABC的面积为3V3. ①求a,c的值： ②求sin(2C+B)的值. 试卷第3页，共4页 17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°，E,F分别为 CC1,BC的中点. (I)求异面直线AB与EF所成角的余弦值： B (2)求点B1到平面AEF的距离： (3)求平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值. 18. 已知椭圆G:号+兰=1与椭圆C,有相同的离心率，椭圆C焦点在y轴上且经过点 (1,V2). (I)求椭圆C2的标准方程： (2)设A为椭圆C的上顶点，经过原点的直线交椭圆于C2干P,2,直线AP、AQ与椭圆C 的另一个交点分别为点M和N,若△AMN与△APQ的面积分别为S1和S2,求是取值范围. 19.已知{anJ为等差数列，前n项和为Sn,若a2=3,S8=6S3+10:数列[bnJ满足： (1-)(1-)(1-)=孟neN (I)求(an}和(bn}的通项公式 (2)对任意的m∈N',将{an}中落入区间(2m,22m)内项的个数记为{cmJ (G)求cm (i)记dm=2zm-)-cam {dn}的前m项和记为Tm,是否存在m,t∈N",使得m1-= Tm-t d:+1成立？若存在，求出mt的值：若不存在，请说明理由. 20.已知函数f(x)=x+a(lnx+1),a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值： (2)若f(p)=fq)=0(m≠q),求证pq>1: (3)已知点P(m,m),是否存在过点P的两条直线与曲线g(x)=ex-1+1,(-1<x<3)相 切？若存在，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由， 试卷第4页，共4页