24.1.4 圆周角（培优教学课件）数学人教版九年级上册

24.1.4 圆周角 第二十四章 圆 人教版2024·九年级上册 情境导入 思考： 图中过球门 A、B 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置M、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ D 知识建构 思考： ∠ADB、∠ACB 的顶点和边有哪些特点? ∠ADB 的顶点在☉O 上，角的两边分别交☉O 于 A、B 两点; ∠ACB 的顶点在☉O 上，角的两边分别交☉O 于 A、B 两点. B D C M 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 知识建构 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 √ √ √ 知识建构 测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半. 等于 知识建构 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在∠BAC 的外部 以上情况是否都满足： ？ 如何证明？ 圆心 O 在∠BAC 的一边上 知识建构 情况一（圆心 O 在∠BAC 的一边上）: 1 2 3 证明一： ∵∠3是△AOC的外角， ∴∠3＝∠1 ＋∠2. ∵OA＝OC （同圆半径相同） ， ∴∠1＝∠2 . ∴∠3＝2∠1 . 即 => 证明二： OA=OC=>∠1＝∠2 ∠3＝∠1 ＋∠2 符号“=>”读作“推出”， “A =>B”表示由A条件推出结论B. 知识建构 情况二（圆心 O 在∠BAC 的内部）: 1 2 3 4 5 6 证明一： ∵∠5是△AOB的外角， ∴∠5＝∠1 ＋∠3. ∵OA＝OB（同圆半径相同） ， ∴∠1＝∠3 .∴∠5＝2∠1 同理∠6＝2∠2 =∠5+∠6= 2（∠1 +∠2） = 2 即 D 连接AO并延长与⊙O相交于点D 知识建构 情况三（圆心 O 在∠BAC 的外部）: 作直径AD D 1 5 2 3 4 证明： =2∠1 (情况一) =2∠4 (情况一) = - = - => 劣弧与优弧 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图所示：∠BOC=2∠BAC 知识建构 思考： 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等. 理由如下： ∵ 知识建构 思考： 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ 解：相等. 思考：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？ D A B O C E F 劣弧与优弧 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. A1 A2 A3 如图所示： ∠BOA=∠BOA1 =∠BOA2 =∠BOA3 =...... 知识建构 完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 思考：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 在圆中证明角相等有两种方法： 1.两条半径和弦组成的等腰三角形； 2.同弧所对的圆周角相等.（同圆中） 知识建构 填空 （1）如果∠A=45°,则∠BOC=____,∠OBC= . （2）如果∠BOC=46°,则∠A=____. （3）如果弧BC的度数是46°，那么这条弧所对 的圆心角和圆周角分别等于 ， . （4）n°弧所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 . O A B C 23° 46° 23° n° 90° 45° n° 知识建构 思考：图中的x 分别为多少？ 66° x 32° 20° x 解：(1)∵ 同弧所对圆周角相等，∴x = 66°. A D B E C (2) 连接 BF. F ∵ 同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 32°. ∴x = ∠ABF +∠FBC = 52°. 知识建构 解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心， ∴∠AOB = 180°. ∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB = ∠AOB = 90°. 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)， 那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 劣弧与优弧 圆周角定理的推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径. · O A C B 如图所示： ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°. 例题讲解 例1 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝28°，则∠A的度数为(　　) A．28° B．45° C．62° D．78° 解析：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝28°， ∴∠D＝62°，∴∠A＝∠D＝62°.故选C. C 在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角， 构造直角三角形解题. 例题讲解 例2 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠ADE＝60°，DC平∠ADE，求AC，BC的长． 解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE， ∴∠ADC＝ ∠ADE＝30°， ∴∠ABC＝∠ADC＝30°. 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝ AB＝5 cm. 例题讲解 例3 A O B C 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. ∴∠ACB=2∠BAC 证明： ∠AOB=2∠BOC， 例题讲解 例4 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E， ∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 例题讲解 例5 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 62°，∠ADC = 68°. 求∠APC 的度数. O A D C P B 解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°， ∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－52° = 38°. ∴∠BAD =∠DCB = 38°. ∴∠APC =∠BAD +∠ACD = 38° + 62°= 100°. 劣弧与优弧 圆的外接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. A B C D E F G 知识建构 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形. 测量∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小， 猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为： ∠A +∠C = 180°， ∠B +∠D = 180°. 思考：如何证明你的猜想呢？ 知识建构 ∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， ∴ 同理， 证明:连接 OB，OD． α β ∴ 圆的内接四边形的性质： 圆的内接四边形的对角互补. 例题讲解 例6 (1) 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，∠B = 80°， 则∠C = ° ，∠D = °. (2) ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3， 则∠D = °. 70 100 90 设∠A∶∠B∶∠C 分别为x,2x,3x,则∠D= 180°-x...... ∠A+∠C=180°；∠B+∠D=180°； 例题讲解 例7 例题讲解 例8 例题讲解 例8 例题讲解 例9 E 例题讲解 例9 由勾股定理得，, 解得CD=3 E 例题讲解 例10 例题讲解 例10 本课小结 圆周角 定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接 四边形 圆内接四边形的对角互补 圆心角 类比 课后巩固 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠A=80°,则∠B的度数是（ ） A .80° B. 90° C. 100° D. 110° C 2.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 课后巩固 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． B A C O 166° 80° 课后巩固 5.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= ，∠ADB= . D A O C B 130° 50° 6.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上， ∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 . C A B O 2 课后巩固 7.如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 解：如图，连接 OD. 在 Rt△ABC 中， D C B A O ∴∠ACB =∠ADB = 90°. ∵ AB 是直径， 课后巩固 8. 课后巩固 由勾股定理得， , ∴,解得r=5, 8. 感谢聆听! $$