24.2.1 点和圆的位置关系（培优教学课件）数学人教版九年级上册

24.2.1 点和圆的位置关系 第二十四章 圆 人教版2024·九年级上册 情境导入 下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 知识建构 思考：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ A B C D E 圆内：点A,点B 圆上：点C 圆外：点D,点E 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 知识建构 O r ⊙O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA__OB __OC__OD = ___． = = = r B A D C E F 点E在圆内，点F在圆外， 则OE __r ，OF __r ． < > O A B C ⊙O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则 点A在圆____，点B在圆___， 点C在圆___． 内 外 上 知识建构 如图所示，设⊙O的半径为r， 点到圆心的距离为d： A点在圆内，则d＜r； B点在圆上，则d=r； C点在圆外，则d＞r. 反之，在同一平面上， 已知圆的半径为r，则: 若d＞r，则A点在圆外； 若d＜r，则B点在圆内； 若d=r，则C点在圆上. O 数量关系 位置关系 知识建构 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好. 例题讲解 例1 例题讲解 例2 圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 o D 解析：∵大圆的半径为R=2, 小圆的半径r=1， 而, 故点P在大圆内，小圆外. 解题的关键就是判断点到圆心的距离和半径的大小关系. 例题讲解 例3 知识建构 思考： A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？有几个位置？ 请通过画图来说明． 3m A B站在以A为圆心，以3m为半径的圆上 任意一点即可． 有无数个位置． 思考： A站住教室中央，若要求Ｂ与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？有几个位置？ 3m A C 2m B B 有两个位置． 知识建构 思考： 过一点可以作几个圆? ●O ●A ●O ●O ●O ●O 无数个 点A以外任意一点 这点与点A的距离 圆心： 半径： 思考： 过两点可以作几个圆？ ●A ●B ●O ●O ●O ●O 这点到A或B的距离 线段AB的垂直平分线上 圆心： 半径： 无数个 知识建构 思考： 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆? A B C 这也是已知圆上三点确定圆心的作图方法！ 经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置． 劣弧与优弧 圆的个数问题 A B C 过已知一点可作无数个圆． 过已知两点也可作无数个圆． 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 劣弧与优弧 外接圆、外心 O A B C 经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． O △ABC叫这个圆的内接三角形． A B C 劣弧与优弧 外接圆与内接三角形 1. 外接圆与内接三角形 ⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心 ●O A B C 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边垂直平分线的交点. 性质： 定义： 一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆. 劣弧与优弧 外接圆与内接三角形 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 例题讲解 例4 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝15°，则∠ACB的度数是______． 75° 解：∵∠OAB=15°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=15°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=150°， ∴∠ACB=∠AOB=75°． O A B C 例题讲解 例5 解：如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D， 因为∠B=60°，所以∠AOC=2∠B= 120°. 因为OD⊥AC，OA=OC，所以∠AOD=∠COD = 60°， 所以∠OAD=30°，所以OD=AO=2. 在Rt△OAD中，根据勾股定理得AD =2， 所以AC=2AD =4. 如图， ⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4.求AC的长. 例题讲解 例6 如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知点A的坐标是( -3，5) ，则该圆弧所在圆的圆心P的坐标是 . (-1，0) 解：圆弧所在圆的圆心是AB与BC的垂直平分线的交点． AB 的垂直平分线是 x=-1， 点B的坐标是(1，5)，C 的坐标是(4，2)， BC 的垂直平分线与 x=-1的交点的纵坐标是0， 因而该圆弧所在圆的圆心坐标是(-1，0)． 例题讲解 例7 某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 解：如图所示， 点O即为所求. 例题讲解 例8 个顶点 知识建构 思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？如何证明这个结论？ A B C l 知识建构 如图，假设经过直线 l 上的三点 A、B、C 可以作圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上. 这样，经过点 P 便有两条直线 l1，l2 同时垂直于直线 l，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一基本事实相矛盾． 所以过同一条直线上的三点不能作圆． l1 l2 A B C P l 劣弧与优弧 反证法 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 反证法的一般步骤 ①反设：假设命题的结论不成立(或其反面成立)； ②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； ③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立. 知识建构 l1 l2 A B C P l A B C 经过同一直线的三点不能作出一个圆． 命题 经过同一直线的三点能作出一个圆． 假设 过一点有两条直线垂直于已知直线． 矛盾 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 定理 例题讲解 例9 求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　. ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾，故假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC中没有一个内角小于或等于 60° ∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60° ∠A +∠B +∠C > 180° 三角形的内角和为 180° △ABC中至少有一个内角小于或等于 60° ∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180° 本课小结 点和圆的位置关系 判断 作圆 反证法的证明思想： 反设、归谬、结论 d>r d=r d<r 点在圆外 点在圆上 点在圆内 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆 一个三角形的外接圆是唯一的 课后巩固 1． 若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（ ） A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形 B 2. 已知AB为⊙O的直径P为⊙O 上任意一点，则点关于AB的对称点P′ 与⊙O的位置为（ ） A． 在⊙O内 B． 在⊙O 外 C． 在⊙O 上 D． 不能确定 C 课后巩固 3.如图，点A，B，C在同一条直线上， 点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点画圆，能画圆的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 4.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内 D 课后巩固 5.下列说法错误的是（    ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 C A. B. C. D. B 课后巩固 7.如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3cm, AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D A A B C D 8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) D A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 课后巩固 9. ⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_____；点B在_____ ；点C在________ ． 10. ⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____ ；当OP _____时点P在圆内；当OP _____ 时，点P不在圆外． 圆内 圆上 圆外 圆上 ＜6 ≤6 11.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 . 课后巩固 12.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离是否安全？为什么？ 解：由题意可知，导火索燃烧完需18÷0.9=20(S). 又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离， 则导火索燃烧完时撤离的最大距离为6.5×20=130(m). ∵130＞120，∴安全. 课后巩固 13.某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ A B C O 课后巩固 14.如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦. 求证：AB与CD不能互相平分. 证明：如图，设AB，CD相交于点P，连接OP. 假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP. 因为AB，CD是⊙O内非直径的两条弦， 所以OP⊥AB，OP⊥CD， 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， 所以假设不正确，所以AB与CD不能互相平分. 感谢聆听! $$