24.2.2.4 三角形的内切圆 课件 2025-2026学年 人教版九年级上册数学

第24章 圆 24.2.2.4 三角形的内切圆 1 动手实践 准备一个三角形纸片 如何裁出一个最大的圆？ 当圆与三角形三边都相切时, 圆最大. 2 问题探索 如图, △ABC的三边与⊙O相切与点D,E,F. A B C D E F O 三角形的内切圆: 与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形叫做圆的外切三角形. 如图, ⊙O是△ABC的内切圆; 点O是内切圆的圆心, 即△ABC的内心; △ABC是⊙O的外切三角形. 3 进一步探索 如图, ⊙O是△ABC的内切圆, 点D,E,F是切点, 连接OD,OE,OF. A B C D E F O (1) OD,OE,OF有怎样的数量关系? (2) OD与AB, OF与AC,OE与BC有怎样的位置关系? ∵点D,E,F都在圆上, ∴OD＝OE＝OF. ∵△ABC的三边与⊙O相切与点D,E,F, ∴OD⊥AB, OF⊥AC,OE⊥BC. (3) 如何确定△ABC的内心? 4 进一步探索 如图, ⊙O是△ABC的内切圆, 点D,E,F是切点, 连接OD,OE,OF. A B C D E F O (3) 如何确定△ABC的内心? 连接OA, ∵OD⊥AB, OF⊥AC,OD＝OF, ∴AO平分∠BAC. 依据: 角平分线的判定 在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. 同理, BO平分∠ABC, CO平分∠BCA. ∴△ABC的内心在三条角平分线的交点上. 5 问题思考 A B C D O 如图, 已知△ABC, 求作△ABC的内切圆. 作三角形的内切圆: 作∠BAC的角平分线l1; 作∠ABC的角平分线l2; 射线l1与l2相交于点O,点O即△ABC的内心; 过点O作OD⊥AB于点D; 以点O为圆心, OD长为半径作圆O, 圆O即△ABC的内切圆. l1 l2 6 ① 内心到三角形的三边距离相等. ② 过三角形顶点和内心的射线必平分三角形的内角. 问题思考 如图, ⊙O是△ABC的内切圆, 点D,E,F是切点, 连接OD,OE,OF. A B C D E F O 三角形的内心有哪些性质? 三角形内心的性质: 符号语言: ∵点O是△ABC的内心, ∴OD＝OE＝OF,AO平分∠BAC. 7 典例精析 例1. 如图, △ABC的内切圆圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB＝9, BC＝14,CA＝13.求AF,BD,CE的长. 解: ∵AB,BC,AC与圆O相切于点F,D,E, ∴AF＝AE,BF＝BD,CD＝CE, 设AF＝AE＝x, 则BF＝BD＝9－x,CE＝CD＝13－x, ∵BD＋CD＝BC, ∴(9－x)＋(13－x)＝14, 解得x＝4, ∴AF＝4,BD＝5,CE＝9. 8 小试锋芒 练习1.如图, 点O是△ABC的内心. (1) 若∠O＝120°, 则∠A＝_____; (2) 若∠A＝66°, 则∠O＝_____; (3) ∠O与∠A的数量关系为________________; (4) 若△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积. 60° 123° ∠O＝90°＋ ∠A 等面积法:S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC , ∴ S△ABC＝ rl. r r r 9 小试锋芒 练习2.如图, ⊙O是等边三角形ABC的内切圆, D, E, F是切点.若P是上一点, 则∠EPF的度数为( ). A. 65° B. 60° C. 58° D. 50° B 10 小试锋芒 练习3.如图, ⊙O是Rt△ABC的内切圆, ∠C＝90°, 切点分别为D, E, F. (1)连接OA, OB, 则∠AOB的度数为______; (2)若BD＝6, AD＝4, 求⊙O的半径r. 135° 答案: r＝2. 11 小组讨论 画出锐角、直角、钝角三角形的内切圆. (1) 观察锐角、直角、钝角三角形的内心与三角形的位置关系; (2) 讨论三角形的内心和外心的区别. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 内心在三角形内部 内心在三角形内部 内心在三角形内部 12 归纳总结 三角形内心和外心的区别: 名称 确定方法 图形 性质 内心 三角形内切圆的圆心 外心 三角形外接圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三边角平分线的交点 1.内心到三角形三边的距离相等. 2.过三角形顶点和内心的射线必平分三角形的内角. 3.内心在三角形内部. 1.外心到三角形三个顶点的距离相等. 2.外心不一定在三角形内部. 共同点: 三角形只有一个外接圆, 一个内切圆. 13 大展身手 练习4.如图, 在△ABC中, AB＝AC, ⊙O是△ABC的内切圆, 它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F. (1)求证: BE＝CE; (2)若∠A＝90°, AB＝AC＝2, 求⊙O的半径. 思路: (1)由切线长定理易得AD＝AF,BD＝BE, CE＝CF,所以AB－AD＝AC－AF,即BE＝CE. (2)先求出BC的长度, 根据点E是中点, 由切线长定理推出AD,AF的长度, 最后根据正方形得出⊙O的半径为. 14 谢 谢 观 看 15 $$