精品解析：2025年陕西省咸阳市永寿县豆家中学中考考前模拟预测数学试题

2025年陕西省初中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. －10 B. 10 C. －7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查有理数乘法计算法则，熟练掌握有理数乘法计算法则是解题的关键； 根据有理数乘法计算法则解答． 【详解】解：， 故选B． 2. 下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的除法，掌握这些法则是关键．根据法则依次计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和对顶角相等．根据两直线平行同旁内角互补得到，再根据对顶角相等得到即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 5. 如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形中线等分面积得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线与边的交点， ∴， ∵将的面积平分， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性得到，然后分别把四个选项的点的坐标代入解析式求得的值，即可判断． 【详解】解：和是一次函数图象上的两点，且， 随的增大而减小， ， 、将代入得，， ，符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 、将代入得，不成立， ∴该一次函数的图象不经过点，故不符合题意； 、将代入得，， ，不符合题意； 故选： 7. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，过点A作，垂足为F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据矩形的性质可得，根据平行线的性质得，根据垂直的性质可得，进而可证，根据相似三角形的性质可求出的值，进一步可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， E是的中点， ， ， ， 解得， ， 即， 故选：A． 8. 已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，由已知函数解析式可得二次函数图象的对称轴是直线，由已知把点代入函数解析式可得，从而二次函数可以为，再由已知可知:此函数图象开口向上，则时，时，即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，对称轴为直线， ∴它的图象也经过点，， ∵函数图象与x轴的左交点为，， ∴此函数图象开口向上， ∴时，即， 解得； 当时，即， 解得， ∴a的取值范围：， 故选C． 【点睛】 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为_______块．（用含n的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化类问题，仔细观察图形的变化并找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：∵1个门洞共需要块大理石， 2个门洞共需要块大理石， 3个门洞共需要块大理石， …， 按此规律，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为块， 故答案为：． 11. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，得到，由圆周角定理得到． 【详解】解：连接， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 13. 如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得，，再利用证明，根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 作的高，的高，的高， 由平行线间的距离处处相等， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：12． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算算术平方根，绝对值，零指数幂，再计算出结果即可． 【详解】解：原式， ． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；5 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，包括平方差公式以及单项式乘多项式的运算，正确化简并运算是解决本题的关键． 先使用平方差公式化简，再进行同类项的合并，将代回求值即可． 【详解】解：， ， ∵， 上式． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个菱形，使得点分别在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如答案图①或②或③，菱形即为所求（作法不唯一，作出一种即可）． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，如图①，先作的角平分线交于，根据得到垂直平分，再作的垂直平分线分别交于点E，交于点G，连接，，根据垂直平分线的性质和直角三角形斜边中线得到，，即可得到，即四边形即为所求．如图②和③，先作的垂直平分线交于，同①证明即可． 【详解】略 18. 如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合题意证明，进而即可得出结论． 【详解】略 19. 用于观测日出方位和捕捉星辰轨迹的陶寺遗址观象台，是迄今发现的世界最早的天文观测系统，能够精准划分出20个节气，这些节气是传统二十四节气的主要源头．某班语文老师决定从“A．惊蛰，B．清明，C．芒种，D．白露，E．冬至”这五个节气中随机选取主题，布置一次综合实践作业． （1）若随机选取一个主题，则选中“E．冬至”的概率是__________； （2）若随机选取两个主题，请利用画树状图或列表的方法，求选取的两个主题是“A．惊蛰，D．白露”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表法或画树状图法求概率． （1）根据概率公式直接得出答案即可； （2）列出所有等可能的结果，利用选取的两个主题是“A．惊蛰，D．白露”的数量，除以所有结果数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：从“A．惊蛰，B．清明，C．芒种，D．白露，E．冬至”这五个节气中随机选取一个主题，则选中“E．冬至”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 第一个 第二个 A B C D E A — B — C — D — E — 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中选取的两个主题是“A．惊蛰，D．白露”的结果有2种， 20. 某生物实验室推出了两种样本冷冻存储方案．若每月支付75元基础管理费，则每个样本存储费为3元/月；若每月不支付基础管理费，则每个样本存储费为6元/月．某科研团队6月份存储了若干生物样本，发现两种方案的总费用相同，求该科研团队6月份存储的样本数量． 【答案】该科研团队6月份存储的样本数量为25个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该科研团队6月份存储的样本数量为x个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设该科研团队6月份存储的样本数量为x个， 依题意，得， 解得， 答：该科研团队6月份存储的样本数量为25个． 21. “生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质和判定，过点A作，交的延长线于点F，得到四边形为矩形，求出，设，则，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点F， ∵点B，D在同一水平线上，， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意知，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：“生命之树”主体的高度约为． 22. 随着年龄的增长，人体的代谢能力下降，心脏的收缩力也会减弱，再加上血管的硬化和肌肉组织的流失，会导致最大心率降低．研究发现，最大心率（次/分钟）是年龄（岁）的一次函数．已知15岁时的最大心率为205次/分钟，36岁时的最大心率为184次/分钟． （1）求与之间的函数表达式； （2）燃烧脂肪时运动心率为最大心率的，已知小丽燃烧脂肪时的运动心率最大为140次/分钟，求小丽的年龄． 【答案】（1） （2）小丽的年龄是20岁 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）小丽最大心率，将代入与之间的函数表达式，求出对应的即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 ， 令， 解得， 答：小丽的年龄是20岁． 23. 为落实立德树人根本任务，深入推进素质教育，某校积极倡导学生参加志愿服务，要求每人每学期参加志愿服务4~7次，学期结束后随机调查了部分学生参加志愿服务的次数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生参加志愿服务次数的中位数是______次，众数是______次； （2）求本学期所抽取的学生平均每人参加志愿服务的次数； （3）若该校本学期共有1200名学生参加了志愿服务，请你估计该校学生参加志愿服务的总次数． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 5，5 （2）本学期所抽取的学生平均每人参加志愿服务的次数是5.3次 （3）6360次 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，正确掌握上述知识点是解题的关键． （1）先算出总人数，再根据中位数和众数的定义即可得出结果； （2）根据条形统计图，运用平均数公式计算即可； （3）用样本估计总体，计算即可． 【小问1详解】 解：∵参加志愿服务5次的有8人，占总人数的， 总人数为人， ∴参加志愿服务7次的有人， 志愿服务5次的人数最多，所以志愿服务的众数是5； 因为总的数据共20个，按志愿服务次数由小到大排列，志愿服务的中位数是第 10，11 位的两个数据的平均数， 由条形统计图可知，第 10，11 位的两个数为5，5， 所以中位数是， 故答案为：5；5． 【小问2详解】 解：（次）， 答：本学期所抽取的学生平均每人参加志愿服务的次数是次． 【小问3详解】 解：（次）， 答：估计该校学生参加志愿服务的总次数为6360次． 24. 如图，在中，，点在边上，过三点的与相切，直径交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，为的切线， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识． （1）为的直径，为的切线，推导出，由，，且，得，即可得出结论； （2）连接，可证明，再推导出，则，而，求得，再证明，得，则，求得，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不合题意，已舍去）， ∴． 25. 如图①是一个校园长廊，其外轮廓可以近似看成由抛物线的一部分和矩形的两条边组成，如图②，点在抛物线上，四边形为矩形，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知米，米，抛物线的顶点距地面的竖直高度为3米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为达到最佳观赏效果，需要对花墙进行修剪，工人师傅借助梯子工作，点在抛物线上，为了增加稳定性使点与点重合，已知工人师傅利用工具能够修剪到的最大竖直高度是2.1米，请你判断工人师傅借助梯子能否修剪到抛物线部分所有花墙． 【答案】（1） （2）工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点的坐标为，则可设抛物线的函数表达式为，再代入点，即可求解； （2）设点的坐标为，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为， 则可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如答图， 设是抛物线上一动点，过点作轴，交于点， 由题可知， 设直线的表达式为， 把代入， 则， 得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，其中，则， 则， ， 梯子距离抛物线的最大竖直距离为米， ， 工人师傅借助梯子不能修剪到抛物线部分所有花墙． 26. 问题提出 （）如图①，在等边中，，为边上一点，则的最小值为_______； 问题探究 （）如图②，在中，，，为的中线，过点作于点，当取得最大值时，求的面积； 问题解决 （）宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城市”．如图③，某开发商计划在废弃铁轨上改造一个三角形火车主题公园，为了满足群众拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知，，．问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）；（）存在符合要求的，最大值为 【解析】 【分析】（）由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可； （）过点作于点，可得，进而得到是的中位线，即得，可知当取得最大值时，取得最大值，作的外接圆，连接，过点作于点，由可得当三点共线，即点与点重合时，取得最大值，此时取得最大值，为的中点，利用等边三角形的性质和锐角三角函数求出的最大值即可求解； （）过点作交的延长线于点，则，，由可得，由可得，得到，作的外接圆，连接，过点作于点，过点作于点，则，由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，解直角三角形可得，，得到，由可知当三点共线，即点与点重合时，取得最大值，即得到的最大值为，又由得，即得，由知当取最大值时，最大，进而求出即可求解． 【详解】解：（）如图，当时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图①，过点作于点， ， ∴， 是的中线， 是的中点， ∵， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 当取得最大值时，取得最大值， 作的外接圆，连接，过点作于点， 则， 当三点共线，即点与点重合时，取得最大值，此时取得最大值，为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴此时为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （）存在，如图②，过点作交的延长线于点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点作于点，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴当三点共线，即点与点重合时，取得最大值， ∴， 即， ∴的最大值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当取最大值时，最大， ∴， 此时， ∴存在符合要求的，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解直角三角形，平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省初中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. －10 B. 10 C. －7 D. 7 2. 下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知和是一次函数图象上的两点，若，则该一次函数的图象还可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，过点A作，垂足为F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为_______块．（用含n的代数式表示） 11. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为_______． 12. 若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 13. 如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算： 15. 解不等式组：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个菱形，使得点分别在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 19. 用于观测日出方位和捕捉星辰轨迹的陶寺遗址观象台，是迄今发现的世界最早的天文观测系统，能够精准划分出20个节气，这些节气是传统二十四节气的主要源头．某班语文老师决定从“A．惊蛰，B．清明，C．芒种，D．白露，E．冬至”这五个节气中随机选取主题，布置一次综合实践作业． （1）若随机选取一个主题，则选中“E．冬至”的概率是__________； （2）若随机选取两个主题，请利用画树状图或列表的方法，求选取的两个主题是“A．惊蛰，D．白露”的概率． 20. 某生物实验室推出了两种样本冷冻存储方案．若每月支付75元基础管理费，则每个样本存储费为3元/月；若每月不支付基础管理费，则每个样本存储费为6元/月．某科研团队6月份存储了若干生物样本，发现两种方案的总费用相同，求该科研团队6月份存储的样本数量． 21. “生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观．如图②，由于“生命之树”主体底部不可直接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点处竖直上升到达点处，在点处测得“生命之树”主体的顶点处的俯角为，然后操控无人机向主体的方向水平飞行至点处，在点处测得顶点处的俯角为，点在同一水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高度．（结果保留整数，参考数据：） 22. 随着年龄的增长，人体的代谢能力下降，心脏的收缩力也会减弱，再加上血管的硬化和肌肉组织的流失，会导致最大心率降低．研究发现，最大心率（次/分钟）是年龄（岁）的一次函数．已知15岁时的最大心率为205次/分钟，36岁时的最大心率为184次/分钟． （1）求与之间的函数表达式； （2）燃烧脂肪时运动心率为最大心率的，已知小丽燃烧脂肪时的运动心率最大为140次/分钟，求小丽的年龄． 23. 为落实立德树人根本任务，深入推进素质教育，某校积极倡导学生参加志愿服务，要求每人每学期参加志愿服务4~7次，学期结束后随机调查了部分学生参加志愿服务的次数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生参加志愿服务次数的中位数是______次，众数是______次； （2）求本学期所抽取的学生平均每人参加志愿服务的次数； （3）若该校本学期共有1200名学生参加了志愿服务，请你估计该校学生参加志愿服务的总次数． 24. 如图，在中，，点在边上，过三点的与相切，直径交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图①是一个校园长廊，其外轮廓可以近似看成由抛物线的一部分和矩形的两条边组成，如图②，点在抛物线上，四边形为矩形，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知米，米，抛物线的顶点距地面的竖直高度为3米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为达到最佳观赏效果，需要对花墙进行修剪，工人师傅借助梯子工作，点在抛物线上，为了增加稳定性使点与点重合，已知工人师傅利用工具能够修剪到的最大竖直高度是2.1米，请你判断工人师傅借助梯子能否修剪到抛物线部分所有花墙． 26. 问题提出 （）如图①，在等边中，，为边上一点，则的最小值为_______； 问题探究 （）如图②，在中，，，为的中线，过点作于点，当取得最大值时，求的面积； 问题解决 （）宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城市”．如图③，某开发商计划在废弃铁轨上改造一个三角形火车主题公园，为了满足群众拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知，，．问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $