山东省青岛第六十一中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年山东省青岛六十一中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是． A. B. C. D. 2.年月日是第个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆致力于教育和研究”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是(    ) A. B. C. D. 3.“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，可以它用来检测直径大小为纳米左右的病毒，纳米是米将纳米用科学记数法表示为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.如图是一个球体的一部分，下列四个选项中是它的俯视图的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，平分，且，垂足为，若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 6.明代的数学著作算法统宗中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤注：明代斤两，故有“半斤八两”这个成语设共有两银子，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，将先向左平移个单位，再绕原点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    ) A. B. C. D. 8.如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长，交于点，若点是边的中点，则长(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数的图象是常数与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 下列结论：点的坐标是；这个函数的最大值大于；有一个根在与之间；当，时，其中正确的为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 11.计算______． 12.物理老师想了解比较哪个班的物理优生成绩更稳定，学校组织了一场物理竞赛，九年级一班的六位参赛选手，其中五位选手的成绩分别是分、分、分、分、分，第六位选手的成绩不小心被删除，只知道没有改变他们的平均分，则一班这六位选手的物理成绩的方差是______． 13.如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且：：，则双曲线解析式为______． 14.如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接下列结论：矩形是正方形；；平分；其中正确的是______填序号． 三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知：如图，有一块直角三角形的铁片，． 求作：以为一个内角的正方形，使顶点在边上． 16.本小题分 计算：； 解不等式组：． 17.本小题分 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． 小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______； 小沈从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．这四张卡片分别用它们的编号、、、表示 18.本小题分 为弘扬中华传统文化，学校准备从初一年级共名同学中挑选身高相差不多的同学参加舞龙舞狮节目为此通过随机抽样的方法收集了部分同学的身高数据用表示，单位：，并根据测得的数据绘制了两幅不完整的统计图共分为四个等级：，，，，，，其中，组的数据为：，，，，，请根据图中提供的信息完成以下问题： 组的中位数是______，众数是______； 补全频数分布直方图，所在扇形的圆心角度数是______； 舞龙舞狮节目要求身高大于或等于，请你根据调查结果，估计该年级身高符合要求的学生有多少名？ 19.本小题分 如图，海中有一小岛，在距小岛的海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在处时测得小岛位于北偏东，且、之间的距离为海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明如果有危险，轮船自处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？ 20.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． 求反比例函数的解析式； 点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； 直接写出不等式的解集． 21.本小题分 我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若则 ______． 问题推广： 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 22.本小题分 小明家自行车经营店销售型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表： 型车 型车 进货价格元辆 销售价格元辆 今年年内自行车的售价与进价保持不变今年经过改造升级后，型车每辆销售价比去年增加元已知型车去年月份销售总额为万元，今年月份型车的销售数量与去年月份相同，而销售总额比去年月份增加． 今年月份的型自行车售价是多少？ 该店计划月份再进一批型和型自行车共辆，且型车数量不超过型车数量的倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多，最大利润是多少？ 23.本小题分 如图，中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交内角平分线于． 求证：； 从下列条件中任选一个作为已知条件后，判断四边形的形状，并证明结论． 点运动到的中点；在的条件下，是直角三角形，． 选择的条件：______填写序号 注：如果选择，分别进行解答，按第一个解答计分 24.本小题分 年世界杯足球赛于月日至月在卡塔尔举行如图，某场比赛把足球看作点，足球运行的高度与运行的水平距离满足抛物线，如图所示，甲球员罚任意球时防守队员站在他正前方处组成人墙，人墙可达的高度为，对手球门与甲球员的水平距离为，球门从横梁的下沿至地面距离为假设甲球员踢出的任意球恰好射正对手球门． 当时，足球是否能越过人墙？并说明理由； 若甲球员踢出的任意球能直接射进对手球门得分，求的取值范围． 25.本小题分 如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、设长为． 请判断线段在平移过程中，四边形是什么四边形，并说明理由； 在平移变换的过程中，当，求的面积与的函数关系式； 是否存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的倒数是， 故选：． 利用倒数的定义求解即可． 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 3.【答案】  【解析】解：米纳米， 纳米米米． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：从上面看是圆，里面是看不到的圆，用虚线表示， 所以是两个圆，内部的圆用虚线表示． 故选：． 根据俯视图是从上面看到的图形，注意下面的部分是虚线，然后即可选择答案． 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的画虚线． 5.【答案】  【解析】解：延长交于点，如图， ，平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 延长交于点，由角平分线的定义可得，再由垂直可得，从而可求得，再结合平行线的性质即可求的度数． 本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 6.【答案】  【解析】解：设总共有两银子，根据题意列方程得： 故选：． 根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤，得出等式即可． 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型． 7.【答案】  【解析】解：由图可得，点的对应点的坐标为． 故选：． 结合平移的性质、旋转的性质可得答案． 本题考查坐标与图形变化旋转、坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图，连接， 为圆的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故选：． 连接，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 由折叠得：，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：， ， 故选：． 如图，连接，可证得≌，则，设，则，利用勾股定理求得，再由∽，即可求得答案． 此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 10.【答案】  【解析】解：将，代入得， 解得， ， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线，函数的最大值为， 点的坐标是；故正确，错误． 把代入得，， 把代入得，， 抛物线与直线交点的横坐标在与之间， 有一个根在与之间，故正确； 当，时， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故正确． 故选：． 通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 11.【答案】  【解析】解：原式． 故答案为． 先化简各二次根式，再计算可得． 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算顺序及其法则． 12.【答案】  【解析】解：五位选手的成绩的平均数为分， 不小心删除的成绩为分， 则一班这六位选手的物理成绩的方差是， 故答案为：． 先根据“不小心被删除的第个数据没有改变他们的平均分”求出第个数据，再根据方差的定义列式计算即可． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 13.【答案】  【解析】解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又：：， ：：， 点在矩形的对角线上， 矩形∽矩形， ， 矩形， 矩形， ． 函数的解析式是：． 故答案为：． 依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形∽矩形，可求相似比为：：，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值． 本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值． 14.【答案】  【解析】解：过作，过作于，如图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ≌， ， 矩形是正方形，故正确； ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 平分，故正确； ，故错误； 当时，点与点重合， 不一定等于，故错误． 故答案为：． 过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故正确；根据正方形性质得，推出≌，得到，，由此推出平分，故正确；进而求得，故错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故错误． 本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 15.【答案】解：如图， 作平分交于点， 作线段的垂直平分线交于点，交于点， 连接，， 正方形即为所求．   【解析】作平分交于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，四边形即为所求． 本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16.【答案】；   ．  【解析】 ； ， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答； 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】解：； 画树状图如图： 共有种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为， 抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为．  【解析】本题考查了用树状图法求概率． 根据概率公式直接得出答案； 根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，根据概率公式求解可得． 解：有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，共享服务只有一张， 小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为； 见答案； 18.【答案】，和；   ，补全图形见解答；   名．  【解析】组的数据重新排列为：，，，，，， 所以这组数据的中位数为，众数为和， 故答案为：，和； 被调查的总人数为人， 则组人数为人， 补全图形如下： 所在扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 名， 答：估计该年级身高符合要求的学生有名． 将组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可； 由组人数及其所占百分比可得样本容量，根据各组人数之和等于总人数求出组人数即可补全图形；用乘以组人数所占比例即可； 用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 本题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数是正确解答的关键． 19.【答案】若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险，轮船自处开始至少沿东偏南方向航行，才能安全通过这一海域．  【解析】解：如图，过点作于点， 在中，，，海里， 海里， ， 若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险， 如图，轮船自处开始调整航向为，过点作于点， 若轮船无触礁危险，则至少海里， 在中，，海里，海里， ， ， ， 轮船自处开始至少沿东偏南方向航行，才能安全通过这一海域． 根据题意，结合图形，在图中，计算得为海里，故有触礁危险，需调整航向，在图中，利用，求出，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 20.【答案】解：因为点在直线上， 所以， 解得． 故点坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得， ， 解得或． 故点坐标为． 又， 即， 所以， 故点纵坐标为或． 将代入得， ． 将代入得， ． 所以点的坐标为或 根据函数图象可知， 当或时， 一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即． 即不等式的解集为：或．  【解析】先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可． 根据题中两个三角形的面积关系，可得出点的纵坐标的绝对值，据此可解决问题． 利用数形结合的思想即可解决问题． 本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，巧妙的利用数形结合的思想是解题的关键． 21.【答案】；   ；  ．  【解析】、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； 如图所示：，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； 均先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可． 本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 22.【答案】元；   购进型车辆、型车辆，元．  【解析】去年型车每辆销售价为元，今年月份和去年月份型车的销售数量均为辆． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根． 答：今年月份的型自行车售价是元． 设购进型车辆，则购进型车辆． 根据题意，得， 解得， 为整数， ， 设获利元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时值最大，， 辆． 答：购进型车辆、型车辆才能使这批自行车获利最多，最大利润是元． 将去年型车每辆销售价、型车的销售数量用含的代数式表示出来，根据题意列关于的分式方程并求解即可； 设购进型车辆，则购进型车辆，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设获利元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值即可． 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． 23.【答案】见解析；   结论：点运动到的中点时，四边形是矩形；见解析； 结论：在的条件下，是直角三角形，时，四边形是正方形．  【解析】证明：， ，， 又已知平分，平分， ，， ，， ，， ； 解：结论：点运动到的中点时，四边形是矩形； 理由：当点运动到的中点时，，又， 四边形为平行四边形， 又为的平分线，为的平分线， ，， ，即， 四边形是矩形； 结论：如图，在的条件下，是直角三角形，时，四边形是正方形． 理由：由知，当点运动到的中点时，四边形是矩形， 已知， 当时，， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 证明，，推出即可； 结论：点运动到的中点时，四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； 结论：如图，在的条件下，是直角三角形，时，四边形是正方形．根据对角线垂直的矩形是正方形证明即可． 本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 24.【答案】解：当时，足球能越过人墙，理由如下： 当时，函数的图象过点， ， 解得：， 与的关系式为， 当时，， ， 足球能越过人墙； 函数的图象过点， ，即， 由足球能越过人墙得：， 由足球能直接射进球门得：， 联立得：， 解得：， 的取值范围为．  【解析】当时，函数的图象过点，以此可求出的值，再把代入解析式中求出，和比较即可解答； 由函数的图象过点可得，由足球能越过人墙得，由足球能直接射进球门得，联立，求解即可． 本题主要考查二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识点，掌握用待定系数法确定函数解析式，学会利用不等式解决实际问题是解题关键． 25.【答案】四边形是平行四边形．理由见解析；   的面积与的函数关系式为或；   存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上．  【解析】四边形是平行四边形． 理由：四边形是正方形， 且， 由平移的性质得：， 且， 四边形是平行四边形； 如图，过作于． 如图，当点在点右侧时， 则，， ， 即， 如图，当点在点左侧时， 则，， ， 即， 综上所述，的面积与的函数关系式为或； 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， 故存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上． 根据平移的性质，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； 根据正方形的性质，平移的性质，可得与的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得，根据全等三角形的判定与性质，余角的性质，可得与的位置关系； 根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$