精品解析：2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考三模数学试题

初三数学学科综合练习 考试时长：120分钟 试卷分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作分，小亮的成绩记作分，则小亮的成绩是（ ） A. 75分 B. 80分 C. 84分 D. 85分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，正负数的意义，根据有理数的加法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：（分）， 故小亮的成绩是分， 故选：D． 2. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示实数，无理数的估算，设点表示的数为，由数轴可知，，根据，，，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点表示的数为， 由数轴可知，， ∵，，，， ∴点P表示的数可能是， 故选：B． 3. 如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，逐项分析各个选项的图形的俯视图，即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有一个小正方形，下层有两个小正方形，故符合题意； B、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有两个小正方形，下层有一个小正方形，故不符合题意； C、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有两个小正方形，下层有一个小正方形，故不符合题意； D、该几何体的俯视图是由三个小正方形构成，其中上层有两个小正方形，下层有一个小正方形，故不符合题意； 故选：A． 4. 自行车尾灯内部的角反射器由许多垂直的平面镜组成（如图①），其工作原理如图②所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，由题意可得，，结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键 【详解】在中, ， ∴的长为， 故选A 6. 将甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：）分别记为、，它们随温度（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度的范围应控制在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息解答即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据题意以及函数的图象获取的信息可得，当时，温度的范围应控制在， 故选：C． 7. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 8. 已知反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象有两个交点，且关于的不等式的解集为或，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可得反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象的交点的横坐标为和，结合一次函数的性质求出交点坐标为，代入反比例函数即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为或， ∴反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象的交点的横坐标为和， 当时，，即交点坐标为， 将代入反比例函数可得，即， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 11. “燕几”是世界上最早的一套组合桌．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，这七张桌子的桌面都是长方形，且它们的宽都相等．如图，给出了一种桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上小桌宽的2倍，列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 12. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，，若，则伞圈下滑的距离的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，先根据菱形的性质和已知角度判断图①中三角形形状求出，再通过等边三角形性质和勾股定理求出图②中，最后由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图①，∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 如图②，设交于点， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和问题、弧长公式，先根据正多边形内角和公式计算可得，再由弧长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵和分别是正六边形和正五边形的内角，且正六边形和正五边形的边长均为， ∴，， ∴， ∵以顶点为圆心，长为半径画弧，得到， ∴的长为， 故答案为：． 14. 已知：是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连接．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可判断①；根据题意无法证明，可判断②； 分点D在上方与下方两种情况，分别求得，由此可判断判断③； 如图所示，当点落在线段上时，勾股定理求出，求出，证明出，得到，代数求出，进而判断④； 根据题意得到当时，最大，设，则，勾股定理表示出，然后利用正切的定义求解即可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故②错误； 当点D在的上方时，如图， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点D在的下方时，如图， ∵是半圆的直径 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴， 综上，或，故③不正确； 如图所示，当点落在线段上时， ∵， ∴， ∵是半圆的直径 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； ∵ ∴当时，最大 设，则 ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号有①④⑤． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式加减运算法则是解题的关键． 先根据分式减法法则计算即可化简，再把m值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式. 16. 小李和小张是羽毛球爱好者，某天他们相约一起去羽毛球比赛现场为喜爱的球员助威加油，比赛现场的观赛区分为如图所示的三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．用画树状图（或列表）的方法求小李和小张在相邻区域观看比赛的概率． A B C 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，解题关键是正确画出树状图或列表．先画出树状图，分别得出所有事件的种数与符合条件的种数，再求出概率． 【详解】解：画树状图如下：列表如下： 所以（小李和小张在相邻区域观看比赛）． 17. 教室后墙有一段长120厘米的水平展示栏，用于张贴正方形的美术作品和书法作品，要求所有作品横向排列且无间距不重叠．已知每幅美术作品边长均为5厘米，每幅书法作品边长均为8厘米，若展示栏的一侧已张贴了10幅美术作品，求最多还能张贴多少幅书法作品？ 【答案】最多还能张贴8幅书法作品 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的应用，根据墙长120厘米列不等式即可解答 【详解】解：设还能张贴幅书法作品． 根据题意，得． 解得． 答：最多还能张贴8幅书法作品． 18. 如图，在中，，为边上的中线，为外角的角平分线，点在射线上，．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明为的角平分线， ∴． ， ∴， ∵， ∴． ． ． ， 四边形是平行四边形． 为边上的中线， ∴于点． ∴． 四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定定理、三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，从而可得，推出四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 19. 张叔叔受邀携带自家苹果参加长春农博会，展会志愿者从张叔叔采摘的1000个苹果中随机抽取20个作为样本测量直径，数据整理如下： 组别 直径 频数/个 A 3 B 4 C 8 D 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20个苹果直径的中位数落在___________组（填组别字母）； （2）农博会要求苹果直径不小于方可参会，根据样本数据，估计张叔叔采摘的1000个苹果中符合参会要求的苹果数量； （3）志愿者复查时发现，样本中组有2个苹果因病虫害导致直径异常偏小，属于数据异常值，若剔除这2个数据，剩余18个苹果的统计量与原数据相比： ①平均数将___________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将___________（填“改变”或“不变”）． 【答案】（1）C （2）估计张叔叔采摘的1000个苹果中符合参会要求的苹果约为650个 （3）①增大；②不变 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义分解即可得解； （2）用乘以苹果直径不小于的数量所占的比例即可得解； （3）①根据平均数的定义分析即可得解；②根据中位数的定义分析即可得解． 【小问1详解】 解：∵展会志愿者从张叔叔采摘的1000个苹果中随机抽取20个作为样本测量直径， ∴中位数是第10和第11个数的平均数， ∴抽取的20个苹果直径的中位数落在组； 故答案为：C 【小问2详解】 解：（个）， 故估计张叔叔采摘的1000个苹果中符合参会要求的苹果约为650个； 【小问3详解】 解：①原样本平均数包含组中个直径偏小的数据，若剔除这个数据，剩余18个苹果的统计量与原数据相比整体水平提高，因此，平均数将增大； ②原中位数是第10和第11个数的平均数，若剔除这个数据，剩余18个苹果直径的中位数是第9和第10个数的平均数，仍落在组，故中位数所在的组别将不变． 故答案为：①增大；②不变． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，连接、、，使； （2）在图②中，连接、、，使； （3）在图③中，连接、、，使，且． 【答案】（1） 如图，点即为所作， （2） 如图，点即为所作， （3）如图，点即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）满足条件的点在的垂直平分线上，且，由此作图即可； （2）满足条件的点在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上，由此作图即可； （3）满足条件的点在的垂直平分线上，作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作边的中线，交的垂直平分线于，点即为所作， ∵为边边的中线， ∴，， ∴，即． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应状态为___________，点对应状态为___________（填写图形序号），___________，___________； （2）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． 【答案】（1）②，④，10，5 （2）此时弹簧测力计显示的读数为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． （1）根据圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力一直在减小，并结合图形分析即可得解； （2）利用待定系数法求出线段对应的函数关系式为，再代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力一直在减小， ∴点对应状态为②，点对应状态为④， ∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ∴，； 【小问2详解】 解：设线段对应的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， ∴此时弹簧测力计显示的读数为． 22. 【问题呈现】如图①，在等腰直角中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，求面积的最大值． 【问题分析】由旋转可得，因此，进而得到，所以为直角三角形，可以设，用含的式子表示的面积，最后配方可得面积的最大值． 【问题解决】在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）面积的最大值为___________，此时线段的长为___________． 【方法应用】（3）如图②，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接、，则面积的最大值为___________． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），；（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，即可得解； （2）由（1）可得：，设，则，表示出的面积，利用二次函数的性质即可得解； （3）过点作于，交于，证明四边形为矩形，得出，由旋转的性质可得，，证明，可得，设，则，表示出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， 设，则， ∴的面积， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解，如图，过点作于，交于， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 如图①，在矩形中，，，点为边上的动点（点不与点重合），点是线段的中点，交射线于点． （1）求证：； （2）当时，求的面积； （3）当点和点重合时，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点；（保留作图痕迹） （4）当时，线段的长为___________． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 如图，点即为所作， （4） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，由同角的余角相等可得，结合题意可得，即可得证； （2）由矩形的性质可得，当时，则，，解直角三角形得出，求出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）由题意可得垂直平分，以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所作； （4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，设，则，由题意可得，从而求出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， 当时，，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点是线段的中点，交射线于点， ∴垂直平分， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接，作线段的垂直平分线交于， 【小问4详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、，射线交轴于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线的顶点时，求的面积； （3）当是等腰直角三角形时，求点的坐标； （4）当线段和抛物线有公共点时，设公共点为（点不与点、、重合），连结、．若．则的值为________ 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）将抛物线解析式化为顶点式可得，从而可得，即，待定系数法求出直线的解析式为，求出，得到，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）由题意可得，，得出，求出直线的解析式为，得到，结合是等腰直角三角形，得出，即，由此计算即可得解； （4）由（3）可得，，，则点为的中点，结合，可得点是线段的中点或点是线段的中点，根据中点坐标公式分别得到两种情况下点的坐标，代入二次函数的解析式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（是常数）经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，点在该抛物线的顶点， ∴， ∵点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵射线交轴于点，当时，，即， ∴， ∴的面积， 【小问3详解】 解：∵点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、， ∴，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵射线交轴于点，当时，， ∴，即， ∵是等腰直角三角形，， ∴，即， 解得：或或或， ∵在第四象限，即且， ∴和舍去， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：由（3）可得：，，， ∴点为的中点， ∵线段和抛物线有公共点时，设公共点为（点不与点、、重合），且， 又∵四点共线， ∴， 又∵点为的中点， ∴①当点是线段的中点时，如图所示， 此时点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴的值为． ②当为的中点时，如图所示， 同理得， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数的综合应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学学科综合练习 考试时长：120分钟 试卷分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作分，小亮的成绩记作分，则小亮的成绩是（ ） A. 75分 B. 80分 C. 84分 D. 85分 2. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 自行车尾灯内部的角反射器由许多垂直的平面镜组成（如图①），其工作原理如图②所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 将甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：）分别记为、，它们随温度（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度的范围应控制在（ ） A. B. C. D. 7. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 8. 已知反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象有两个交点，且关于的不等式的解集为或，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：=_____． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 11. “燕几”是世界上最早的一套组合桌．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，这七张桌子的桌面都是长方形，且它们的宽都相等．如图，给出了一种桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为___________． 12. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，，若，则伞圈下滑的距离的长度为___________． 13. 如图，边长均为3的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点为圆心，长为半径画弧，得到，则的长为___________（结果保留）． 14. 已知：是半圆的直径，点是的中点，点是半圆内一点，且，射线交半圆于点，连接．给出下面五个结论： ①当点不与点重合时，； ②； ③； ④当点落在线段上时，若，则； ⑤当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简再求值：，其中． 16. 小李和小张是羽毛球爱好者，某天他们相约一起去羽毛球比赛现场为喜爱的球员助威加油，比赛现场的观赛区分为如图所示的三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．用画树状图（或列表）的方法求小李和小张在相邻区域观看比赛的概率． A B C 17. 教室后墙有一段长120厘米的水平展示栏，用于张贴正方形的美术作品和书法作品，要求所有作品横向排列且无间距不重叠．已知每幅美术作品边长均为5厘米，每幅书法作品边长均为8厘米，若展示栏的一侧已张贴了10幅美术作品，求最多还能张贴多少幅书法作品？ 18. 如图，在中，，为边上的中线，为外角的角平分线，点在射线上，．求证：四边形为矩形． 19. 张叔叔受邀携带自家苹果参加长春农博会，展会志愿者从张叔叔采摘的1000个苹果中随机抽取20个作为样本测量直径，数据整理如下： 组别 直径 频数/个 A 3 B 4 C 8 D 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的20个苹果直径的中位数落在___________组（填组别字母）； （2）农博会要求苹果直径不小于方可参会，根据样本数据，估计张叔叔采摘的1000个苹果中符合参会要求的苹果数量； （3）志愿者复查时发现，样本中组有2个苹果因病虫害导致直径异常偏小，属于数据异常值，若剔除这2个数据，剩余18个苹果的统计量与原数据相比： ①平均数将___________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将___________（填“改变”或“不变”）． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均是格点．在内部找一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，连接、、，使； （2）在图②中，连接、、，使； （3）在图③中，连接、、，使，且． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应状态为___________，点对应状态为___________（填写图形序号），___________，___________； （2）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． 22. 【问题呈现】如图①，在等腰直角中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，求面积的最大值． 【问题分析】由旋转可得，因此，进而得到，所以为直角三角形，可以设，用含的式子表示的面积，最后配方可得面积的最大值． 【问题解决】在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）面积的最大值为___________，此时线段的长为___________． 【方法应用】（3）如图②，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接、，则面积的最大值为___________． 23. 如图①，在矩形中，，，点为边上的动点（点不与点重合），点是线段的中点，交射线于点． （1）求证：； （2）当时，求的面积； （3）当点和点重合时，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点；（保留作图痕迹） （4）当时，线段的长为___________． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、，射线交轴于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线的顶点时，求的面积； （3）当是等腰直角三角形时，求点的坐标； （4）当线段和抛物线有公共点时，设公共点为（点不与点、、重合），连结、．若．则的值为________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $