安徽省安庆市桐城市黄岗中学2024-2025学年下学期八年级月考数学试卷（七）

2024-2025学年安徽省安庆市桐城市黄岗中学八年级（下）月考数学试卷（七） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组数中，能构成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.在▱中，与的度数之比为：，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根(    ) A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，与交于点，若，，则该菱形的面积是(    ) A. B. C. D. 7.下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是(    ) A. 每条对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 8.如图，，，若，，，连接，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，是正方形的对角线，已知点，，，分别是，，，的中点，连接，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.正十一边形的外角度数之和为______． 12.比较下列两个数的大小： ______选填“”或“” 13.如图，是的中位线，与交于点，点，分别是，的中点，连接，，，要使得四边形为矩形，下列补充条件正确的有______选填序号． ； ； ； ． 14.如图，在中，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点． 四边形的形状是______； 若，，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 解方程：． 16.本小题分 计算：． 17.本小题分 如图，在▱中，，是对角线上两点，且，求证：四边形是平行四边形． 18.本小题分 如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲小明用四个全等的直角三角板围成图，中间是个小正方形，外围是个大正方形直角三角板的直角边长分别为，，斜边长为． 用含有，的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； 证明勾股定理． 19.本小题分 如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点，分别是，的中点，连接． 求证：； 已知，，求的长． 20.本小题分 如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作分别交于点，交于点，连接，． 求证：四边形是菱形； 若，，求的长． 21.本小题分 根据以下素材，完成任务 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 22.本小题分 如图，四边形的对角线，交于点，其中，，，平分交于点，连接． 求证：四边形是矩形； 若． 求证：是等边三角形； 求的度数． 23.本小题分 在正方形中，点，分别是边，上的一点，于点． 如图，求证：； 如图，平移至，，垂足为点． Ⅰ求证：； Ⅱ如图，若点是的中点，与交于点，已知，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 故选：． 根据二次根式的除法法则计算即可． 本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答，即可． 本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是勾股定理逆定理的熟练掌握． 3.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为：， ， ， ， 故选：． 由平行四边形的性质得，则，由与的度数之比为：，得，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出及是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形， 这个多边形的边数为， 故选：． 利用多边形的对角线性质列式计算即可． 本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：把代入一元二次方程得， 所以方程必有一根为． 故选：． 根据一元二次方程解得定义进行判断． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6.【答案】  【解析】解：菱形的面积， 故选：． 由菱形的面积公式可直接求解． 本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：根据矩形和菱形的性质可得， A.每条对角线平分一组对角是菱形具有，但矩形不具有的性质，所以该选项正确，不符合题意； B.对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，所以该选项正确，不符合题意； C.对角线相等是矩形的性质，菱形不具有，所以该选项不正确，符合题意； D.对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，所以该选项正确，不符合题意． 故选：． 根据矩形和菱形的性质逐项分析即可． 本题考查了矩形的性质和菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：过作交的延长线于， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 故选：． 过作交的延长线于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到． 本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，正确地整除辅助线是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，， 是的中点， ， 由勾股定理得：， 在中，是的中点， 则， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 故选：． 连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理、正方形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：菱形中，，，且，设与相交于点． 根据菱形对角线互相平分的性质，，． 在中，根据勾股定理． 作关于的对称点， 菱形的对角线是对称轴， 在上． 根据对称的性质，，则． 当，，三点共线且时，的值最小，即的长度为， ， 的长度等于边上的高． 根据菱形的面积公式，已知，，则． 所以的最小值为． 故选：． 利用菱形的性质以及垂线段最短，菱形的对角线互相垂直且平分，这些性质将进行转化，找到其最小值． 本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11.【答案】  【解析】解：任意多边形的外角和都等于， 正十一边形的外角度数之和为． 故答案为：． 根据多边形的外角和定理解答即可． 本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：，， ， ． 故答案为：． 根据二次根式的性质进行化简，再进行比较即可． 本题考查二次根式的性质与化简、实数大小比较，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：是的中位线， ，， ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形． 分别是和的中点， ，， ， ， ，， ≌， ， 是的重心， ，， ， ， 分别是和的中点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 故符合题意； 由得不到四边形是矩形， 故不符合题意； 由知：由能推出四边形是矩形， 故符合题意； ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 使得四边形为矩形，补充条件正确的有． 故答案为：． 由三角形中位线定理推出，，，，得到，，判定四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定方法，三角形重心的性质即可判断． 本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质，矩形的判定方法． 14.【答案】矩形；  ．  【解析】解：四边形的形状是矩形， 理由：，， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：矩形． 如图，连接， 在中，，， 由勾股定理，得， 当时，的值最小， 此时， 又四边形是矩形， ， 即的最小值为， 故答案为：． 根据垂直的定义得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形． 如图，连接，根据勾股定理得到，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 15.【答案】．  【解析】解：由题知， ， ， ， 则， 所以． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解： ． 先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】见解析．  【解析】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定和性质定理以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18.【答案】，；   见解析．  【解析】解：小正方形的面积是，大正方形的面积是； 证明：由图可知：， ， ． 故：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 直接写出勾股定理； 利用面积法结合完全平方公式化简可证明勾股定理． 本题主要考查勾股定理及其证明，掌握面积法是解题的关键． 19.【答案】见解析；  ．  【解析】证明：如图，连接，． ，点是的中点， ， 点是的中点， 是的垂直平分线， ； 解：由知， ， ， ，点为的中点， ． 在中， ． 如图，连接，根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到； 由知，求得，由，点为的中点，得到根据勾股定理得到． 本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20.【答案】四边形是矩形， ． ，两直线平行，内错角相等． 点为对角线的中点， ． 在和中， ≌． ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形；   ．  【解析】证明：四边形是矩形， ． ，两直线平行，内错角相等． 点为对角线的中点， ． 在和中， ≌． ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形； 解：四边形是菱形， ． 四边形是矩形，，， ，． 在中，由勾股定理，得， ， 整理得，， 解得． ， 即的长为． 先利用矩形对边平行得角相等，结合是中点得边相等，通过证三角形全等得到对角线互相平分，先证是平行四边形，再结合对角线垂直证菱形． 由菱形性质得边相等，设未知数，利用矩形直角和勾股定理列方程求解． 本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法和勾股定理的应用是解题的关键． 21.【答案】解：任务，设：月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， ， 整理得，， 解得：，不符合题意，舍去， 所以月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 答：月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务，设：下调后每辆汽车降低万元， ， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 万元， 答：下调后每辆汽车的售价为万元．  【解析】任务，设：月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，，据此即可求解； 任务，设：下调后每辆汽车降低万元，，据此即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用，函数的表示方法，正确理解题意找到等量关系式是解题关键． 22.【答案】见解析；   见解析； ．  【解析】证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形； 证明：四边形是矩形， ，， 平分， ， 又， ， 又， 是等边三角形； 解：由可知， ， 是等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，得到，根据矩形的判定定理得到平行四边形是矩形； 根据矩形的判定定理得到，，根据角平分线的定义得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形； 由可知，推出是等腰直角三角形，得到，根据等边三角形的性质得到，，于是得到结论． 本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 23.【答案】见解析；   Ⅰ见解析； Ⅱ．  【解析】证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； Ⅰ证明：如图，过点作交于点， ， ， 又四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 由可知≌， ， ， Ⅱ解：由和Ⅰ可知， 如图，连接，，过点作于点，交于点， ，，， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点，， 垂直平分， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ． 根据正方形的性质得到，，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到； Ⅰ证明：如图，过点作交于点，根据平行四边形的性质得到，，由可知≌，根据全等三角形的性质得到，得到， Ⅱ由和Ⅰ可知，如图，连接，，过点作于点，交于点，求得，，，根据正方形的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形得到，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得是等腰直角三角形，得到，根据等腰直角三角形的性质得到． 本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 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