4.第四章 三角形（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

.5x=15,11x=33 .红球有15个，绿球有33个 (3)设向盒子里再加m个完全相同 的黄球 依题意，得7(m+6)=m+54, 解得m=2. ∴.向盒子里再加2个完全相同的黄 球即可使摸到黄球的概率是7 (答案不唯一) 5.解：(1)P(A)= 132+95+68+45 40+120+132+95+68+45 湖岩 (2)甲款汽车续航里程得分： (700-400)÷25+70=82(分)， 甲款汽车总得分：82×50%+90× 20%+100×30%=89(分)： 乙款汽车续航里程得分： (650-400)÷25+70=80(分)， 乙款汽车总得分：80×50%+100× 20%+90×30%=87(分). 87<89 “秦先生选择甲款汽车比较合适。 第四章三角形 1.A2.B3.C4.B5.B6.C 7.解：(1)当点P在AB中点时，CP把 △ABC的面积分成相等的两部分， 此时CA+AP=9+7.5=16.5, t=16.5÷3=5.5(s). 故答案为5.5； (2)4×3=12, .AP=12-9=3,BP=15-3=12. 六.SAe:SAe=AP:BP=1:4 故答案为1：4： (3)①当点P在线段AC上时， Sae=2BG·CP=x12x3 =18. 解得t=1; ②当点P在线段AB上时， 阅盟学堂 SAAPC=SAMc-S△BPC 10.解：如图所示 =2×9×12-18=36, 1 试验田 .SAAPC:SAmPC=36:18=2:1. :△APC和△BPC高相同， ●●。● .SAAPC:SARPG =AP:BP =2:1. 。 ∴AP=号B=10 11.解：(1)①②④ (2)选④，证明：如图，连接AC, t=(9+10)÷3=9 A'C'. 综上所述，当t=1或1= 3时， 1 △BPC的面积为18. 8.解：(1)29°∠ADC'=2∠C 在△ABC和△A'B'C中， (2),∠BEC=42°，∠ADC=20°， AB=A'B', ·∠CEC'=180°-∠BEC'=138°， ∠B=LB', ∠CDC=180°-∠ADC'=160°. BC=B'C', 由折叠得 .△ACB≌△A'CB'(SAS. ∠cE=Lc0E=LcC=80 .AC=A'C',∠ACB=∠A'CB. ∠BCD=∠B'CD', LDEc=LpBc=7∠cBC=69, .∠BCD-∠ACB=∠B'C'D'- ∴.∠C=180°-∠EDC-∠DEC=31° ∠A'CB (3)如图3， .∠ACD=∠A'C'D'. 在△ACD和△A'C'D'中， AC=A'C', ∠ACD=∠A'CD', 图3 CD =C'D', :∠BEC=x,LADC=y, .△ACD≌△A'CD'(SAS). ∠CEC'=180°-x, .∠D=∠D',∠DAC=∠D'A'C, ∠1=180°+∠ADC=180°+y DA=D'A'. 由折叠得 ∴.∠BAC+∠DAC=∠B'A'C'+ LCDE -LCDE-21 ∠D'A'C, 即∠BAD=∠B'A'D'. 90+, ∴，在四边形ABCD和四边形 =1LCEC' ∠DEC=LDEC'= A'B'CD'中， AB=A'B',BC=B'C', AD=A'D',DC D'C', .∠C=180°-∠EDC-∠DEC ∠B=LB',∠BCD=∠BC'D', ∠D=∠D',∠BAD=∠BA'D', =180-(90+） ∴.四边形ABCD≌四边形A'B'CD (90-7 12.313.①③④14.12 15.证明：依题意，得 1 =2x-2 AB=AC,AD=AE, 9.459 ∠BAC=∠EAD=90°， 学七下LZABS75培优滚动练参考答案* ..∠ABC=∠ACB=45° ,∴.∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE. ·∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中， AB=AC, ∠BAE=∠CAD. LAE =AD, .△ABE≌△ACD(SAS). .∠B=∠ACD=45°. .∴.∠BCD=∠ACB+∠ACD =45°+450=90° ,.DC⊥BE 16.D是EF的中点DG⊥EF OD平分∠AOB 证明：：D是EF的中点， ∴.DE=DF DG⊥EF, .∠ODE=∠ODF=90° 在△ODE和△ODF中， DE =DF. ∠ODE=∠ODF, OD=OD, .△ODE≌△ODF(SAS). ∴∠EOD=∠FOD 即OD平分∠AOB. 故答案分别为D是EF的中点， DG⊥EF,OD平分∠AOB. 17.证明：(1)∠D=∠B=90°， ..∠B+∠D=180° .AB∥CD. ∴.∠BAC+∠DCA=180 AO平分∠BAC,C0平分∠ACD, &∠0ac=∠0AB=7LBMC, 1 LACO=LDCO=2 LACD. ∠0AC+LAC0=子∠BMC+ LACD-90 .∠AOC=180°-（∠OMC+∠OCA) =180°-90°=90. ..OA⊥OC (2)如图，过点O作OE⊥AC于点E, 阅盟学堂 20.解：(1)如图所示，∠CED即为 所求； C :∠D=∠B=90° .OB⊥AB,OD⊥CD .AO平分∠BAC,CO平分∠ACD: (2)平行或相交 .OB OE,OD =OE. 21.解：(1)如图，首先在地上取一个 0A=0A,0C=0C, 可以直接到A,B两点的点C,连接 .Rt△OAB≌Rt△OAE(HL), AC并延长到点D,使CD=CA,连 Rt△OCE≌Rt△OCD(HL). 接BC并延长到点E,使CE=CB. .AB =AE,CD=CE. 连接DE,测量出DE的长度，即为 ∴AB+CD=AE+CE=AC. A,B两点间的距离； 18.(1)证明：D是BC的中点， .'BD =CD. AB∥CG, .∠B=∠DCG. 在△BDE和△CDG中， (2)在△ABC和△DEC中， ∠B=∠DCG CA=CD, BD=CD, ∠ACB=∠DCE. N∠BDE=∠CDG, CB=CE, ∴.△BDE≌△CDG(ASA). .△ABC≌△DEC(SAS). ∴BE=CG .DE =AB. (2)解：BE+CF>EF.理由如下： 22.解：在△A0B和△COD中， 如图，连接FG, AB=CD, ∠OAB=∠OCD, A0=C0, .△AOB≌△COD(SAS). .∠AOB=∠C0D. G 又：∠A0B+∠B0C=180°， ,△BDE≌△CDG,∴.DE=DG ∴.∠B0C+∠C0D=180°. 又：FD⊥EG, 即∠BOD=180 FD垂直平分EG.∴EF=GF ∴.D,O,B三点共线 又：在△CFG中，CG+CF>GF, ∴沿D0方向打孔，钻头正好从点 ∴.BE+CF>EF. B处打出. 19.解：如图所示，△ABC即为所求. 第四章中考热点数学创新与应用 1.解：任务1：△B0D≌△OCE.理由 如下： .·BD⊥OA,CE⊥OA. ∴.∠BD0=∠OEC=90. ∴.∠BOD+∠DB0=90°. 数学七下LZABS76培优滚动练参考答案* ÷∠B0C=90°， ∴.∠BOD+∠E0C=90° ∴.∠DBO=∠EOC 在△BOD和△OCE中， ∠BD0=∠OEC, ∠DBO=∠EOC, BO=OC, .△BOD≌△OCE(AAS). 任务2：如图2，设0A的延长线与地 面交于点M, 0 B dD 无 图2 .△BOD≌△OCE. .OE BD=1.4 m,OD =CE =1.8 m. ∴.EM=OD+DM-OE =1.8+1-1.4=1.4(m). 答：小丽距离地面1.4m. 2.解：(1)①在正方形ADEF中， AD =AF. ∠BAC=∠DAF=90°， ∴.∠BAD=∠CAF 又：AB=AC, .△DAB≌△FAC(SAS). ∴.CF=BD,∠ACF=∠B. ∴.∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD. 故答案分别为CF⊥BD,CF=BD, ②①的结论仍成立.理由如下： 由正方形ADEF,得AD=AF, ∠BAC=∠DAF=90°. ∴.∠DAB=∠FAC. 又：AB=AC .△DAB≌△FAC(SAS). ,CF=BD,∠ACF=∠ABD. .∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD. (2)当∠ACB=45时，CF⊥BD.理 由如下： 阅盟学堂 如图4，过点A作AG⊥AC交CB的 如图2，连接AQ,Q1P2,P2C, 延长线于点G, 图2 G 在△AQP2中，Q,P,为中线， 0 图4 SAOF,=SAPOF 同理S△Pe.g,=S△Pe,e, 则∠GAC=90 ∠ACB=45°， Sw0n+Saaa=7naem ∴.∠AGC=90°-∠ACB=45 =Ss边形，Q.0 ∴.∠AGC=∠ACB=45°， 由Q,P2为DC,AB的三等分点可 ∴，AG=AC 知Som=宁ae, :∠GAC=∠DAF=90°， Sm=75awe ∴.∠DAG=∠FAC. 又AD=AF, Sm+5a=5e+5wr） ·.△GMD≌△CAF(SAS). ∴.∠ACF=∠AGC=45. ,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， =S四边形P,Q0 ·S题边老BCD=S网达老彩0，R,+S△AD0,+ 即CF⊥BD. Sam=3SW边形P.e,QA, 第四章中考热点数学活动与探究 即Sm边形Bcm=3Sg边形PQ.Q 1问题1：证明：如图1， 问题3：解：设PQ1,PQ2,PQ, 连接PR2,RB, P,Q,将四边形ABCD分成五个部 分，其面积分别为S,S2,S,S4,S 由问题2的结论可知， 3S2=S1+S2+S3,即2S2=S,+S3 同理得2S,=S2+S4,2S4=S,+S: 图1 三式相加，得S2+S.=S+S, 在△AP,R2中，PR为中线， S1+S2+S3+S+Ss=2(S2+S) .SAR=S△PRR: +S,=2×2S,+S,=5S, 同理SAP以=SAPRA) ·SAPRA,+SAPH=2 问题4：解：由问题2的结论可知， =S四边形PPRR 3S2=S1+S2+S,即2S2=S,+S 由R,R2为AC的三等分点可知 同理得2S=S2+S4 两式相加，得S,+S,=S,+S: 2.(1)证明：如图1，延长EB到点G, 'SAANC =SABCK,+SAR 使BG=DF,连接AG, =S图边形PPRR十2S因边形PPR =3S四边形PRR: 问题2：解：S达吊A8D=3S边彩P0,0P B 理由如下： 图1 t学七下LZABS77培优滚动练参考答案* 在△ABG和△ADF中， AB=AD, ∠ABG=∠D=90°， BG=DF, .△ABG≌△ADF(SAS). ∴.AG=AF,∠1=∠2 又：∠BMF=子∠BMD, .∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =BMD ∴∠GAE=∠EAF. 在△AEG和△AEF中， AG=AF, ∠GAE=∠FAE, LAE AE, △AEG≌△AEF(SAS). .EG=EF. EG=BE +BG=BE +DF, .EF =BE DF. (2)解：(1)中的结论EF=BE+DF 仍然成立.证明同(1) (3)解：结论EF=BE+DF不成立， 应该是EF=BE-DF 证明如下： 如图3，在BE上截取BG,使BG= DF,连接AG, D G C 图3 E :∠B+∠ADC=180°， ∠ADF+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF 在△ABG和△ADF中， AB=AD. ∠B=LADF, BG=DF, .△ABG≌△ADF(SAS). ,∴∠BAG=∠DAF,AG=AF 阅盟学堂 又：∠BMF=7∠BMD, =0A0+号D0 ·.∠BMG+∠EAD=∠DAF+∠EAD -40+c0 =∠EAF 1 =2∠BMD =子0C, ∴筝形的面积为对角线乘积的 1 六LCAE=2∠BAD=LBAF 一半 在△AEG和△AEF中， 4.解：(1)依题意，得 AG=AF, 点B,D,B,C在一条直线上， ∠GAE=∠FAE, ∠B=∠AB'B, LAE=AE, ,∴.∠BAB'=180°-∠B-∠AB'B ∴.△AEG≌△AEF(SAS) =180°-2∠B. .EG=EF. ∠BAC=90°， EG=BE-BG=BE DF, .∠BAC=90°-∠BAB ∴.EF=BE-DF =90°-(180°-2∠B) 第五章图形的轴对称 =2∠B-90° 1.解：以上图形都为轴对称图形，所作 当x=50时， ∠BAC=y°=2×50°-90°=10°， 图形如图所示 即y=10: 当x=60时， ∠B'AC=y°=2×60°-90°=30°， 即y=30: 2.(1)93(2)93134 当x=70时， 3.其中一条对角线所在直线筝形只 ∠B'AC=y°=2×70°-90°=50°， 有一组对角相等有且只有一条对 即y=50; 角线被另一条对角线垂直平分 当x=80时， 有且只有一条对角线被另一条对角 ∠BAC=y°=2×80°-90°=70°， 线垂直平分AC垂直平分BD于点 即y=70. 0,且A0≠C0 故答案分别为10,30,50,70； 证明：依题意，补全图形如图所示 (2)由(1)得∠B'AC=2∠B-90°， ∠B=x(45<x<90), ∠B'AC=y°， y与x的关系式为y=2x-90. 5.(1)证明：△ABC与△ABD关于 直线AB对称，LC为直角， :AC垂直平分BD, ..AC =AD,BC=BD, .AB =AD,CB CD. ∠C=∠D=90 又A0≠C0 在Rt△ACE和Rt△ADF中， AB≠BC. [AE =AF, ·.由筝形定义，得四边形ABCD是 LAC =AD, 筝形. .∴.Rt△ACE≌Rt△ADF(HL). 应用： ∴.CE=DF 'S爷形BD=S△ABD+S△CD 又BC=BD, t学七下LZABS78培优滚动练参考答案*第四章 一认识三角形 1.一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小 的角是51°，那么这个三角形是一个 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2.在下列条件①∠A+∠B=∠C;②∠A=∠B= 2LC,③LA=LB=24C④LALB:LC=12:3 中，能确定△ABC为直角三角形的条件有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.用长为1分米的三根小棒围成一个等边三角形， 它的面积一定是 A.1平方分米 B.0.5平方分米 C.比0.5平方分米小 D.比1平方分米小，比0.5平方分米大 4.如图，已知直线l1∥L2,BC=3cm,S△ABc=3cm2, 则△ABC的高是 A.1cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 5.如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为 12,则△BPC的面积为 A.3 B.4 C.5 D.6 6.在解决下面三个问题时，都运用了( )策略 a.如图①方式，推导三角形面积公式的过程； b.如图②方式，推导圆面积公式的过程： c.计算1.2×3.6时，先看成12×36计算，再在积 中点上小数点 W ① ② A.画图 B.替换 C.转化 阅盟学堂数学七下LZABS22 三角形 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=9,BC=12, AB=15,若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒3个单位长度，设运 动的时间为t秒. (1)当t= 秒时，CP把△ABC的面积分 成相等的两部分 (2)当t=4秒时，CP把△ABC分成的△APC和 △BPC的面积之比是 (3)当t为多少秒时，△BPC的面积为18？ 培优滚动练 8.我们在小学已经学习了“三角形内角和等于 180”.在三角形纸片中，点D,E分别在边AC, BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C的位置 (1)如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'= 58°，则∠C= ,可以发现∠ADC与 ∠C的数量关系是 (2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'= 42°，∠ADC=20°，求∠C的度数； (3)如图3，当点C落在△ABC外部时，若设 ∠BEC的度数为x,∠ADC的度数为y,请求 出∠C与x,y之间的数量关系， 图 图2 图3 二图形的全等 9.如图，在4×4网格中，∠1+∠2= 10.如图，一块土地上共有20棵果树，要把它们平 均分给四个小组去种植，并且要求每个小组分 得的果树组成的图形、形状大小要相同，应该怎 样分？ 阅盟学堂数学七下LZABS23 试验田 ●●●● ●●。.● 1.我们知道能完全重合的图形叫作全等图形，因 此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四 边形全等.也就是说，当两个四边形的四个内 角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全 等.请借助三角形全等的知识，解决有关四边形 全等的问题 如图，在四边形ABCD和四边形A'B'CD'中， AB=A'B',BC=B'C',∠B=∠B',∠C=∠C', 现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌ 四边形A'B'CD' 下列四个条件：①∠A=∠A':②∠D=∠D'; ③AD=A'D':④CD=C'D' (1)其中，符合要求的条件是 ;(直接 写出编号) (2)选择(1)中的一个条件，证明四边形ABCD 四边形A'B'CD'. 培优滚动练 三探索三角形全等的条件 12.如图，△ABC的三个顶点分别在格子的3个格 点上，请你试着再在图中的格子的格点上找出 一个点D,使得△DBC与△ABC全等，这样的三 角形有 个 ● 13.如图，已知∠1=∠2，AC=AD,要想使△ABC≌ △AED,还需要再添加一个条件，那么在①AB= AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E,这四 个关系中可以选择的是 .(填写序号) D 14.如图，在同一平面内，直线1同侧有三个正方形 A、B、C,若A、C的面积分别为16和9，则阴影部 分的总面积为 B 15.将两个大小不同的含45°角的直角三角板按如 图1所示放置，从中抽象出一个几何图形（如图 2),B,C,E三点在同一条直线上，连接DC与AE 交于点F.求证：DC⊥BE. 图 阅盟学堂数学七下LZABS24 6.某同学制作了一个简易的T形分角仪来二等分 任意一个角.如图，该T形分角仪是由相互垂直 的两根细棍EF,GD组成，D是EF的中点.寻找 角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶 点O在GD上，同时保证T形分角仪的E,F两 点正好落在所分角的两条边OA,OB上，此时 OD就会平分∠AOB.为说明制作原理，请结合 如图图形，用数学符号语言补全“已知”“求 证”，并写出证明过程 已知：如图，点E,F分别在∠AOB的边上，DG经 过点0， 求证： 7.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，0为 BD上的一点，且AO平分∠BAC,C0平分 ∠ACD.求证： (1)0A⊥OC; (2)AB CD=AC. 培优滚动练 18.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直 线EG交AB于点E,交AB的平行线CG于点G, DF⊥EG,交AC于点F (1)求证：BE=CG: (2)判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你 的结论 四用尺规作三角形 19.作图题.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法) 已知：如图，线段a,c,∠a 求作：△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠a. a a 20.(1)如图，利用尺规作∠CED,使得∠CED=∠A: (不写作法，保留作图痕迹) (2)判断直线DE与AB的位置关系： 阅盟学堂数学七下LZABS2 五利用三角形全等测距离 21.如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端，小明 想用绳子测量A,B两点间的距离，但绳子不够 长，你能帮他想个办法吗？ (1)把你的方法写出来； (2)写出其中的道理。 22.如图，工人师傅要在墙壁上的点0处用电钻打 孔，要使钻头从墙壁对面的点B处打出.已知墙 壁厚30cm,点B与点O的铅直距离AB长 15cm.在点0处作一直线平行于地面，在直线 上截取OC=30cm,过点C作OC的垂线，在垂 线上截取CD=15cm,连接OD,然后沿着D0的 方向打孔，就能使钻头正好从点B处打出，为 什么？ 59 培优滚动练 第四章中考热点数学创新与应用 1.(2024·香洲区校级期中)根据以下素材，探索完成任务. 荡秋千问题 ro 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的 素材1 起始位置，且起始位置与地面垂直 图1 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一 蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C 素材2 Eh-------c 处接住地，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为 1.4m和1.8m,∠B0C=90° A 图2 问题解决 任务1 △BOD和△OCE全等吗？请说明理由 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高 阅盟学堂数学七下LZABS26培优滚动练 2.(2024·河源一模)如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且 在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF, (1)如果AB=AC,∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF,BD所在直线的位置关系为 ,线 段CF,BD的数量关系为 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？请说明理由， (2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BD(点C,F不重 合)？请说明理由， K 图 图3 阅盟学堂数学七下LZABS27培优滚动练 第四章中考热点数学活动与探究 1.(2024·紫金县期中)某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： (1)有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比： (2)有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比； 现请你继续对下面的问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论.(S表示面积) PP.PP B PP,P,B s./s:/s,s. R C D 2.2.22. 图1 图2 图3 图4 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC,点P1,P2三等分边AB,点R1,R2三等分边AC.经探究知 Sa4=子5ax,请证明 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与图1中的三角形纸板拼合成四边形ABCD,如图2，点Q,Q2 三等分边DC.请探究S四边形PQ,Qn与S四边形Bcn之间的数量关系。 问题3：如图3，点P1,P2,P,P4五等分边AB,点Q1,Q2,Q,Q,五等分边DC.若S四边形Bn=1, 求S四边形P,Q,QP 问题4：如图4，点P1,P2,P3四等分边AB,点Q1,Q2,Q3四等分边DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S,S2,S,S4请直接写出含有S1,S2,S3,S4的一个等式 阅盟学堂数学七下LZABS28培优滚动练 2.(2024·三水区模拟)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD 上的点，且∠BAF=LBAD,求证：EF=BE+DF (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？ (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且 ∠BF=之LBAD,()中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数 量关系，并证明。 D D B E 图1 图2 图3 阅盟学堂数学七下LZABS29培优滚动练