专题12 全等模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题12 全等模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：①等边和等边， ，，，， 在和中，，，；故①正确； ③（已证），， （已证），，， 在与中，，，；故③正确； ②，，是等边三角形， ，，∴；故②正确； ④，， 等边，，∴，， ．故④正确； ，，又，是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，，，平分，，， ∵，∴，∴，∴， 当平分，∴，∵，， ∴，∴，互相矛盾，⑥错误，故选：B． 例2（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴， 即，∴，∴，①正确； ∵，∴，又∵， ∴，∴，即，③正确； 过点A分别作，垂足为点P,Q． ∵，∴，∴，∴， ∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D． 例3（24-25·江苏·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°； （3）∠A+∠BCD=180°．理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°． 例4（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析(2)当时，，理由见解析 【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是． 理由：，，． 又，，，且． ，，即．故答案为：，； ②都成立，， 在与中，， ，，，即． （2）解：当时，． 理由：过点A作交的延长线于点G，则， ∵，∴，∴∴， 在与中，，∴， ∴，∴，即． 例5（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)，(2)且，理由见解析(3)， 【详解】（1）解：∵，∴．∴， 在和中，，∴，∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是．故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵，∴．∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即， ∴，∴，综上所述：且． （3）和都为等边三角形，，，， ，即， 在和中，，；，， ∴， ∴． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），，（2），，理由见解析（3）（4）． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴；故答案为：，，； （2）解：，；理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴，∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，，， 由旋转的性质可知，，，∴，∴， ∴，，∴， ∴的面积为，故答案为：； （4）解：设，作，使， ∵，，∴，∴，∴，， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，，∴，∴，， ∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴， ∵，，∴，∴． 例7（24-25山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． (1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． (2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． (3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BD＋BF＝BE，理由见解析 【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝60°－∠BAD，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝60°－∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△CAD与△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴BE＝CD，∴BE＋BD＝CD＋BD＝BC，∵AB＝BC，∴BE＋BD＝AB； （2）证明：过点D作DG//AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°－∠EDG，∠FDG＝∠EDF－∠EDG＝60°－∠EDG，∴∠BDE＝∠FDG， 在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS）， ∴BE＝GF，∴BE＋BD＝GF＋BG＝BF； （3）BD＋BF＝BE，理由如下：过点D作DG∥AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠FDE＝60°， ∵∠GDF＝∠GDB＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∠BDE＝∠EDF＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∴∠GDF＝∠BDE， 在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS），∴BE＝GF， ∵GF＝BF＋BG＝BF＋BD，∴BD＋BF＝BE． 例8（24-25·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） ①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ； ③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ． 【答案】①见解析；②60°；③90°；④108° 【详解】解：①证明：如图， ∵△ABD和△AEC是等边三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE． 在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）； ②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°； ③如图， 四边形和四边形是正方形， ，，，， ，即， 在和中，，，， ∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°； ④如图，五边形和五边形是正五边形， ，，， ，，， 在和中，，，， ∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°． 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 在和中，，∴，故结论④正确； ∴，，故结论①正确； ∵，，∴，故结论③正确； ∴，∴，故结论②正确； ∴正确的个数是．故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴，∴， 即，∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形，∴， ，∴， ∴，∴，故②正确，符合题意； ③由①得，∴，由②得， 又，∴，∴，故③正确，符合题意； ④由③得，∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得，∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意；故选：A． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接．若，，则下列结论①；②的周长是9；③是等边三角形；④，正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，∴是等边三角形，故③正确； ∵是等边三角形，∴，，∴， 又，∴，∴，，∴，故①正确； ∵、是等边三角形， ，，∴，， ∴的周长是，故②正确； ∵，， ∴，故④不正确，故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵是等腰直角三角形，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴；故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④⑤ 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵，∴， 在与中，，（），∴，，故①正确， ∵， ∴，∴，故④正确， ∵，，，∴， ∴，∴平分，故③正确；∴，∴， ∵∴，故⑤正确； 若②平分成立，则， ∵，∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故②错误，即正确的有①③④⑤，故答案为：①③④⑤． 6．（2025七年级下·成都 ·专题练习）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 【答案】21 【详解】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则， ，，所以． 由题意，得，所以． 在和中，所以， 所以，，， 所以，即是直角三角形，所以， 所以，即与的面积之和为21． 7．（24-25七年级下·辽宁·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下： ，，， 在和中，，，， ，，， ，，综上所述，． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴， ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴； （2）解：∵为等边三角形，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D为上一点，连接，且，点C为外一点，连接，，，．(1)求证：(2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，且， ∴，∵，∴； （2）解：∵，，∴， 由（1）得，∴，， ∴， ∵，∴，∴． 10．（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证：(1)；(2)平分． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【详解】（1）解：∵四边形，都是正方形， ∴，则， ∴，∴，∴． （2）解：过点分别作，如图所示： 由（1）得，∴， ∵，∴，则， 即点A在的平分线上，∴平分． 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且．(1)求证：；(2)求证；． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴． （2）证明：由（1）知，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴． 12.（24-25·广东·八年级统考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：；(2)求证：平分； (3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上， ∴，，∴， ∴，，∴， ∵等边，等边，∴，， 在与中，∵，∴，∴． （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ∵（1）中已证，又∵，，∴， ∵，，∴平分． （3），理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，， ∵，∴，∵， 又∵等边，∴，∴， ∵，∴，即， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， 即，在与中，∵， ∴，∴．∵，， ∴， 同法可证，，∵，∴． ∵，，∴， ∵（2）中已证，∴，∴，即． 13．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接． (1)试判断与的数量关系，并说明理由；(2)①若，求的度数． ②若，请直接写出与之间的数量关系__________． (3)若平分，且，求的长． 【答案】(1)，见解析(2)①；②(3) 【详解】（1）解：，理由：∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：①∵，∴， ∵，∴，∴； ②，理由：，， 同理，，，， ，，且，； （3）解：∵平分，∴， ∵，∴，∵，∴，∴． 14．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】（1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？ 【问题解决】（2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【详解】解：（1），理由如下： ∵，∴，∴， ∵在和中，，∴． （2），理由如下：∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∵，点F恰好在的延长线上，∴， ∵为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵在和中，，∴，∴， ∵，∴． 15．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)(3)，，理由见解析． 【详解】（1）（1）解：，，， 在和中，，，故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ，， 在和中，，，， ， ，故答案为：； （3）解：且，理由如下：如下图所示， ，，即， 在和中，，，，， ，，∴． 16．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）在中，，点是边上一点不与、重合，连接，以为一边在右侧作，使，，连接． (1)如图，若．①与全等吗？请说明理由；②求的度数．(2)如图，若，则的度数为 ；(3)如图，若，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)≌，理由见解析；的度数是；(2)(3) 【详解】（1）解：， 理由：，， 在和中，，∴． ，，的度数是． （2），，，， 在和中，，∴，， ，故答案为：． （3），理由：，， 在和中，，，， ， ，，且，． 17.（24-25山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°． 【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F， ∵，，∴∠ACB=∠ABC=， ∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF， ∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF， 在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； （3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； （4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G， 如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM， ∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG， 在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 18.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：．(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)或 【详解】（1）∵，，∴，∴， 又∵，，∴； （2）∵，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴，∴； （3）分类讨论：第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，∵，∴， 又∵，，∴，∴，，同理可证明：， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∵，，，∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，同理可得：，，， ∵，∴，∴， ∴，∴；综上：与的面积比为 或者． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 全等模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 例2（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 例3（24-25·江苏·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 例4（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 例5（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 例7（24-25山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． (1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． (2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． (3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 例8（24-25·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） ①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ； ③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ． 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接．若，，则下列结论①；②的周长是9；③是等边三角形；④，正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 6．（2025七年级下·成都 ·专题练习）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 7．（24-25七年级下·辽宁·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D为上一点，连接，且，点C为外一点，连接，，，．(1)求证：(2)若，，求的度数． 10．（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证：(1)；(2)平分． 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且．(1)求证：；(2)求证；． 12.（24-25·广东·八年级统考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：；(2)求证：平分； (3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系． 13．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接． (1)试判断与的数量关系，并说明理由；(2)①若，求的度数． ②若，请直接写出与之间的数量关系__________． (3)若平分，且，求的长． 14．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】（1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？ 【问题解决】（2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由． 15．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）在中，，点是边上一点不与、重合，连接，以为一边在右侧作，使，，连接． (1)如图，若．①与全等吗？请说明理由；②求的度数．(2)如图，若，则的度数为 ；(3)如图，若，，请直接写出与之间的数量关系． 17.（24-25山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 18.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：．(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $