精品解析：江苏省江阴市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

江阴第一中学2024-2025学年高三第一学期数学期中考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】进行交集的运算求出，然后即可得出的真子集的个数． 【详解】因为，， 将中元素代入，验证可得， 所以的真子集的个数为. 故选：B. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数对应的点求出复数，，计算，得复数的虚部. 【详解】在复平面内，复数，对应的点分别为，， 则，，得， 所以复数的虚部为. 故选：D 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，解得，即， 则. 故选：B. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案． 【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即， 由于，根据对数函数的单调性可得：，即， 所以， 故答案选B． 【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小． 5. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A,验证得和的数量积为0，从而可得和不共线;对于B,在方向上的投影向量表示为;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断. 【详解】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，故D错误； 故选：B． 6. 甲、乙两人组队参加猜歌活动，每轮活动由甲、乙各猜一首，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则该队在两轮活动中共猜对3首的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记，分别表示甲两轮猜对首，首歌曲的事件，，分别表示乙两轮猜对首，首歌曲的事件，求出事件，，，发生的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率即可. 【详解】设、分别表示甲两轮猜对首，首歌曲的事件， 、分别表示乙两轮猜对首，首歌曲的事件， 根据独立事件的性质可得，， ，， 设两轮活动该队猜对首歌曲，则， 且与互斥，与、与分别相互独立， 所以， 因此，该队在两轮活动中猜对首歌曲的概率是，故A正确. 故选：A. 7. 在中，，，，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. 25 C. 57 D. 102 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据具体函数的解析式求的值，再根据抽象函数的关系式，分段求函数值再求和. 【详解】， ， ， ， ， . 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若向量，则或 D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解. 【详解】A选项：，所以，所以，故A错误； B选项：若得，则，显然不成立，故B正确； C选项：因为,若向量， 则或，故C正确； D选项：设的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为所以， 又因为向量在向量上的投影向量为， 所以 则的夹角为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断AB；利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，则，A正确； 对于B，若是等比数列，显然时，否则，不成立， ，且，则，B正确； 对于C，若，则，， ，，数列不是等差数列，C错误； 对于D，若，则，，不满足，D错误. 故选：AB 11. 在平面直角坐标系中，满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若在曲线上，则可能在曲线上 B. 若在曲线上，则一定不在曲线上 C. 若在圆上，则一定在圆上 D. 若在圆上，则一定不在圆上 【答案】BC 【解析】 【分析】设，根据和平面向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算的取值范围即可判断AB；设，则结合平面向量的运算律可得，即可判断CD. 【详解】由，得. 设， 则， 所以， 当时，； 当时，， 综上，，即点不在曲线上，故A错误，B正确； 设，则，由①②，得， 所以， 由③，得，即点在圆上，故C正确，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决本题CD选项的关键是由推出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果随机变量，且，那么________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由对称性可知，正态密度曲线的对称轴为5，所以， 所以. 故答案为： 13. 在中，若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件卡出角的范围，再对不等式合理变形，转化为函数不等式的求解问题，构造函数并且利用导数结合拆分法判断其单调性，利用单调性求解不等式即可. 【详解】在中，且，所以，而有意义， 故一定是锐角，即，因为， 所以，令， 而，故， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 且，所以当时，恒成立， 同样的，我们令， 当时，由余弦函数性质得， 令，故， 而，当时，， 又，故在上单调递减， 即，并可以得到恒成立， 综上，我们可以得到恒成立，即在上单调递增， 结合，故的解集为. 故答案为： 14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意得，由此可得答案. 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 若存在实数，使得上式成立，则， 则， 可得，可得， 解得， 由， 则取得最大值时， 此时. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求； （2）在“充分条件”、“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.是否存在正实数，使得“”是“”的______？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式求集合，再由交运算求集合； （2）根据所选条件得到对应集合的包含关系，进而得到不等关系求参数范围. 【小问1详解】 由， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由题设， 选充分条件时，则，即， 所以实数的取值范围是. 选必要条件时，则，即，故， 所以实数不存在. 16. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H. （1）能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由； （2）设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：. 【答案】（1）能，或； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得HP中点M纵坐标为1，且，即可得答案； （2）由导数知识可得C在点P处的切线方程，后可表示出Q坐标，后验证，可证明结论. 【小问1详解】 设，因，则. 又由题可得的焦点为，准线为. 则P在l上的射影H为.要使为正三角形， 则应满足HP中点M纵坐标为1，且. 即，即当或时， 能使为正三角形； 【小问2详解】 由题可得满足. 注意到， 则点处的切线斜率为：，则相应切线为：. 代入，可将切线方程化简为：. 令，可得.又， 则， 得，又，则. 17. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解. （3）求出及平面的法向量，结合点到平面的距离公式列式求解. 【小问1详解】 取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形， 由，得平行四边形为矩形，则， 由平面平面，平面平面，平面，得平面. 又平面，则，由，，得， 由，，得，则，即， 而，平面， 因此平面，而平面， 所以. 【小问2详解】 由，，，平面， 得平面，平面，则， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 即与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设截面交于，由，面，面，得平面， 又平面，平面平面，则， 依题意，，则， 设，则， ， ，， 到的距离， 截面的面积为， 设平面的法向量， 则，取，得， 则到平面的距离， 于是，解得， 所以点到截面的距离为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 18. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. （1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率； （2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望是 【解析】 【分析】（1）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可； （2）由题设的可能值为3，4，5，6，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望. 【小问1详解】 记“摸出球的结果是一红一白”为事件A，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件， 则，，， 由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为. 【小问2详解】 由题意，的可能值为3，4，5，6. ，， ，. 所以的分布列为 3 4 5 6 所以. 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 【答案】（1） （2）（i）证明见详解 （i i）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求出，可得在上单调递增，所以，再分和两种情况讨论，得到的单调性，进而求出的最小值，判断是否符合题意； （2）（i）要证函数在上具有性质，即证当时，，令，，求得可得在上的单调递增，所以，得证； （ii）将题中要证明的不等式进行转化证明：当，时，.构造函数，利用导函数得到函数的单调性，从而证明结论. 【小问1详解】 ，，， ，， 令，，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增，， ①若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意. ②若，即，此时，， 又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知， 存在，使得，且当时，， 在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，当时，. 要证函数在上具有性质. 即证：当时，. 即证：当时，. 令，，则， 即，当时，， 所以在上单调递增，. 即当时，，得证. （ii）要证：. 显然，当时时，，结论成立. 只要证：当，时，. 即证：当，时，. 令. 所以，令， 则，令， 则，在上单调递减， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，即当时，. 所以当，时，，有 所以当，时，. 所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴第一中学2024-2025学年高三第一学期数学期中考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 2. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 6. 甲、乙两人组队参加猜歌活动，每轮活动由甲、乙各猜一首，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则该队在两轮活动中共猜对3首的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. 25 C. 57 D. 102 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 不存在实数，使得 C. 若向量，则或 D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 10. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 11. 在平面直角坐标系中，满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若在曲线上，则可能在曲线上 B. 若在曲线上，则一定不在曲线上 C. 若在圆上，则一定在圆上 D. 若在圆上，则一定不在圆上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果随机变量，且，那么________. 13. 在中，若，则不等式的解集为________． 14. 若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求； （2）在“充分条件”、“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.是否存在正实数，使得“”是“”的______？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 16. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H. （1）能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由； （2）设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：. 17. 在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 18. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. （1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球．若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率； （2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S． （i）求证：函数在上具有性质S； （ii）记，其中，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $