专题06 整式的加减章末70道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题06 整式的加减章末70道压轴题型专训（7大题型） 题型一 整式的加减运算压轴题 题型二 整式加减中的化简求值压轴题 题型三 整式加减中的无关型问题 题型四 数字类规律探索 题型五 图形类规律探索 题型六 整式加减的新定义问题 题型七 整式加减的综合应用 【经典例题一 整式的加减运算压轴题】 1．（25-26七年级上·上海金山开学考试）化简下面各题 (1) (2) 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）证明：无论为何值，的值一定大于代数式的值． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）先去括号，再合并同类项：； （4）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 5．（24-25七年级上·上海崇明·期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． （） (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 6．（24-25七年级上·上海松江·期末）练习册上一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式：=． (1)求破损部分的整式； (2)若，且，求破损部分整式的值． 7．（24-25七年级上·上海闵行·期末）我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如，类似的，我们把看成一个整体，则，请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)化简； (2)若，计算； (3)已知，，计算． 8．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 作差法 在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一、所谓“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号来确定它们的大小．例如，要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此． 任务： (1)比较大小：_________． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)已知，比较A与的大小关系． 10．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)①若，则 ； ②若，则 ； (2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 【经典例题二 整式加减中的化简求值压轴题】 11．（24-25七年级上·上海长宁·期末）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中． 12．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，． (1)当，，求m，n的值． (2)当，，求的值． 14．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）已知代数式：． (1)化简； (2)当时，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 15．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）合并同类项： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 16．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 17．（24-25七年级上·上海青浦·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 18．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 19．（24-25七年级上·上海宝山·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 20．（24-25七年级上·上海闵行·期中）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 【经典例题三 整式加减中的无关型问题】 21．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）当多项式中不含项时，求的值． 22．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）关于，的多项式不含二次项，求的值． 23．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）已知A＝2x2﹣6ax+3，B＝﹣7x2﹣8x﹣1，按要求完成下列各小题． （1）若A+B的结果中不存在含x的一次项，求a的值； （2）当a＝﹣2时，求A﹣3B的结果． 24．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知多项式，； (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与x无关，求的值． 25．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）有这样一道题，“当，时，求多项式的值”，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？请说明理由． 26．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知多项式的值与字母的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当时，代数式的值10，求当时，代数式的值． 27．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）请回答下列问题： (1)若多项式的值与x的取值无关，求的值； (2)若关于x、y的多项式不含二次项，求的值； (3)若是关于x、y的四次三项式，求k值． 28．（24-25七年级上·上海宝山·单元测试）嘉淇准备完成题目：化简．发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你化简：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是常数．”通过计算说明原题中“□”是几． 29．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：，其中，．”同学们思考时小桐说：本题中，是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有x和y，不给出x，y的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 30．（24-25七年级上·上海闵行·期末）（1）若多项式的值与的取值无关，求的值； （2）如图1的小长方形，长为，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出的值． 【经典例题四 数字类规律探索】 31．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗? （1）1，，3，，5，，7，， ， ，．．． ，．．． （2），，，，，，， ， ，．．． ，．．． 32．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝　　 ； （2）利用你发现的规律计算：． （3）． 33．（24-25七年级上·上海虹口·期中）观察下列三行数： (1)请直接写出： ①每一行的第8个数； ②第三行的第n个数． (2)第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和； (3)用如图的“L”形框圈起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求的值． 34．（2025·上海长宁·模拟预测）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 35．（24-25七年级上·上海长宁·期中）观察下列等式： 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第个算式： 请结合上述三个算式的规律，回答下列问题： (1)写出第5个算式：________； (2)根据你发现的规律，写出第（为正整数）个算式：________________； (3)我们可以用所学知识证明这个结论．请对（2）中的算式进行代数推理． 36．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）观察下列各式： ； ； ； ；…． (1)根据规律计算的值为______； (2)计算的值． 37．（24-25七年级上·上海普陀·期中）观察： ①， ②___________________， ③___________________， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式． 38．（2025·上海虹口·模拟预测）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 39．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）观察下列式子： ； ； ； ． (1)根据以上式子，请直接写出________； (2)根据以上式子，请直接写出________（为正整数）； (3)计算：．（结果可以用含有乘方的形式表示） 40．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 【经典例题五 图形类规律探索】 41．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排列成一行．第2019个棋子是黑色还是白色？ 42．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 43．（24-25七年级上·上海松江·期中）〖综合与实践〗将一根绳子折成三段，然后按如图所示的方式剪开，剪1刀绳子变为4段，剪2刀绳子变为7段，剪3刀绳子变为10段．试探究： (1)剪20刀，绳子变为_________段． (2)按这种方式有可能正好剪得100段吗？若能求出裁剪的刀数，若不能，请说明理由 44．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． (1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）． (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 45．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于点，，，若从点O到点的回形线为第一圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，……依次类推，则第10圈的长为多少？ 46．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，给出四个点阵，表示每个点阵中点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，    （1）请问第个点阵中的点的个数_________． （2）猜想第个点阵中的点的个数________． （3）若已知点阵中点的个数为，问这个点阵是第几个? 47．（24-25七年级上·上海长宁·期中）用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.    （1）按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ … 小木棒的根数 9 … （2）按照这种规律搭下去，搭第个图形需要________根小木棒； （3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数. 48．（2025·上海普陀·模拟预测）从图依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)观察等式的规律，直接写出第6个等式． (2)直接写出第个等式（用含的式子表示），并证明． 49．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图是某圆形景观广场，图中小黑点代表喷水口，其中圆心是广场中心喷水口，小红统计喷水口的数量，发现了一些规律．记每个圆内喷水口的数量从内向外分别记为，，，则． (1)__________，__________ (2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，写出的最大值，并结合图形简述理由； (3)任意两个奇数的平方差还满足（2）中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由． 50．（2025·上海松江·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【经典例题六 整式加减的新定义问题】 51．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）用“&amp;”定义一种新运算：，例如：，则当，时，求式子的值． 52．（24-25七年级上·上海杨浦·开学考试）先化简，再求值 (1)，其中 (2)定义两种新运算：，，化简，并求出当，时的值． 53．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义一种新运算：观察下列式：              （1） = ,= ； （2）若,那么 0(用“＞”、“＜”或“=连接”)； （3）若，请计算的值． 54．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）观察下列各式：定义一种新运算“”： ，，， ，， (1)写出一般结论：　　； (2)如果，那么　　(填“”或“”) (3)先化简，再求值：．其中，． 55．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）对于有理数m，n定义一种新运算“”，规定． (1)若，求多项式的值． (2)若与，试比较P与Q的大小，并说明理由． 56．（24-25七年级上·上海宝山·期中）学习《有理数》和《整式的加减》后，小明对运算产生了兴趣，借助这两章所学的知识定义了一种新运算“”，规则如下：，m，n为有理数，且． (1)初识运算：求的值； (2)探究运算：①先计算和，再说明新定义的运算“＃”是否满足交换律； ②请通过计算说明与的大小关系； (3)应用运算：请直接写出______． 57．（24-25七年级上·上海普陀·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． （1）请你想想：______； （2）若，那么______（填“=”或“≠”）； （3）先化简，再求值：，其中，． 58．（24-25七年级上·上海静安·期中）先化简，后求值： (1)：（其中）． 定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (2)请你想想：___________； (3)若，那么___________（填“=”或“≠”）； (4)先化简，再求值：，其中， 59．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 60．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【经典例题七 整式加减的综合应用】 61．（24-25七年级上·上海崇明·期末）定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 62．（24-25七年级上·上海虹口·期末）定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 63．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，学校要利用一面围墙建一长方形的自行车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)求长方形停车场的宽和护栏的总长度； (2)若，，并且每米护栏造价80元，求建此停车场所需的费用． 64．（25-26七年级上·上海嘉定·单元测试）如图，在某月的日历表中用方框任意框出4个数． (1)分别写出与之间的关系； (2)判断的值是否发生变化．请说明理由； (3)比较与的大小． 65．（24-25七年级上·上海虹口·开学考试）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵，∴321是“和数”；∵，∴321是“谐数”；∴321是“和谐数”． (1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； (2)已知（，，且、均为正整数）是一个“和数”，请求出所有的值． 66．（24-25七年级上·上海静安·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 67．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）对于一个各数位上的数字均不为的自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”． 例如：，是的“和倍数”． 又如：，不是“和倍数”． (1)判断，是否是“和倍数”，说明理由； (2)三位数是的“和倍数”，分别是数其中一个数位上的数字，且；在中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数． 68．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料，完成任务 材料一 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 材料二 定义：对任意一个四位数 （其中，且均为整数），若，则称为“久久数”． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空：3267 （“是”或“不是”）“久久数”，2435 （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 求证：任意一个“久久数”都能被99整除． 证明：依题意可得：，用含的代数式表示 ， ∴（ ）＝…… 请完成填空并补全证明过程： 69．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 70．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式的加减章末70道压轴题型专训（7大题型） 题型一 整式的加减运算压轴题 题型二 整式加减中的化简求值压轴题 题型三 整式加减中的无关型问题 题型四 数字类规律探索 题型五 图形类规律探索 题型六 整式加减的新定义问题 题型七 整式加减的综合应用 【经典例题一 整式的加减运算压轴题】 1．（25-26七年级上·上海金山开学考试）化简下面各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先去括号，再合并同类项，然后即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，然后即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）证明：无论为何值，的值一定大于代数式的值． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减、平方非负性，首先根据整式的减法法则计算可得：，根据平方的非负性可知，所以可知，从而可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， 的值一定大于的值． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）先去括号，再合并同类项：； （4）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）21；（2）2；（3）；（4），40 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算以及化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先将除法转化成乘法，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）先去括号，再合并同类项求解即可； （4）先去括号，再合并同类项，然后代数求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ， ∵ ∴原式． 4．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据． （1）运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小； （2）运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：< （2），， ， ， ， ， ． 5．（24-25七年级上·上海崇明·期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． （） (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，加减运算中不含某项的含义； （1）由题意可得，再计算即可； （2）先合并同类项得到，结合的结果中不含的一次项，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：∵， ∴， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：. 6．（24-25七年级上·上海松江·期末）练习册上一道整式运算的参考答案破损，形式如下： 解：原式：=． (1)求破损部分的整式； (2)若，且，求破损部分整式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求； （2）利用，且，解出x、y以及把x、y的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：设破损部分的整式为， ； （2）解：因为，所以， 因为，所以，所以， 因为 所以． 则原式 ． 7．（24-25七年级上·上海闵行·期末）我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如，类似的，我们把看成一个整体，则，请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)化简； (2)若，计算； (3)已知，，计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）根据得出，然后整体代入求值即可； （3）把式子，看作一个整体，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 8．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 【答案】（1）；（2）15 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，代数式求值，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出以及，最后将的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为是关于x的二次多项式， 所以，则， 因为N是M经过处理器得到的一次多项式，且， 所以，， 所以， 所以． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 作差法 在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一、所谓“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号来确定它们的大小．例如，要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此． 任务： (1)比较大小：_________． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)已知，比较A与的大小关系． 【答案】(1) (2)当时， ；当时， ；当时， (3) 【分析】本题考查了作差法比较大小，整式的加减运算，掌握作差法比较大小的方法是解题的关键． （1）利用作差法比较大小即可． （2）利用作差法比较大小即可． （3）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： ； （2）解：， 当时， ， 当时， ， 当时，； （3）解：， ∵任何数的平方都大于等于0，即， ∴， ． 10．（24-25七年级上·上海虹口·期中）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)①若，则 ； ②若，则 ； (2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】(1)①；②297 (2)是，说明见解析 (3)①495；（2）见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． （1）①②按定义列式求解即可； （2）按定义式子展开化简即可； （3）①任选一个三位数，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；； ②按定义式子化简，注意条件的应用，化简到出现循环数495即可． 【详解】（1）①∵， ∴ ； 故答案为：； ②∵， ∴ ． 故答案为：297； （2）∵， ∴一定能被9整除； （3）①若选的数为325，则用，以下按照上述规则继续计算， ， ， ， ， 故答案为495； ②当任选的三位数为时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于，故， ∴，又， ∴， ∴，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ，，，， 故都可以得到该黑洞数495． 【经典例题二 整式加减中的化简求值压轴题】 11．（24-25七年级上·上海长宁·期末）先化简，再求值． (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键． （1）直接去括号，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案； （2）直接去括号，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式 （2）解：原式 ， 当时，原式． 12．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据整式的加减混合运算化简原式，再将，代入计算，即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，． (1)当，，求m，n的值． (2)当，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减，代入求值； （1）直接把a，b的值代入计算解答即可； （2）把原式化为，然后代入m，n的值解答即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ； （2）解： ， 当，时，原式． 14．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）已知代数式：． (1)化简； (2)当时，求的值； (3)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3)的值是 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值； （1）利用去括号法则、整式的加减运算法则计算出答案； （2）根据题意求出、的值，然后整体代入计算即可； （3）根据的值与的取值无关，得出的系数和为零，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵ ∴，， ∴，， ∴原式； （3）解：， 当的值与的取值无关时， ∴， 解得， 即的值是． 15．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）合并同类项： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】本题考查整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1） （2） （3） ∵ ∴， ∴， ∴ 16．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 【答案】(1) (2)23 (3)37 【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则， （1）直接根据定义进行运算即可； （2）先计算出，再计算即可； （3）先利用定义进行化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 故． （3）解： ， 当时， 原式 ． 17．（24-25七年级上·上海青浦·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． （1）根据可求出A； （2）依题意，，，根据整式的加法计算，即可求解； （2）将代入（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ， （3）当时，． 18．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知含字母，的代数式是：． (1)化简这个代数式． (2)小明取 ， 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ．那么小明所取的字母 的值等于多少？ (3)聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母 的值是多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，正确的计算是关键： （1）去括号，合并同类项，化简即可； （2）根据互为倒数的两数之积为，得到，代入化简后的代数式，求出的值，进而求出的值即可； （3）根据题意，得到代数式的值与字母无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意，得：，代入，得：， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴当，即：时，为定值； 故． 19．（24-25七年级上·上海宝山·期末）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式　　　⋯⋯第一步　　 　　　　　　　　　⋯⋯第二步 　　　　　　　　　　　　　　　　　　⋯⋯第三步 ． 任务： (1)运算从第________步开始出错，这一步出现错误的原因是________； (2)请写出正确的化简步骤，并求值． 【答案】(1)一，完全平方公式用错 (2)，20 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． （1）观察解答过程可得答案； （2）先算括号内的，再算除法，化简后将x，y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是完全平方公式用错； 故答案为：一，完全平方公式用错； （2）解： ∴原式． 20．（24-25七年级上·上海闵行·期中）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，求解即可； （3）把代入，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，交换后为，结果不变，是对称式，故①符合题意； ②，交换任意字母后指数和不变，是对称式，故②符合题意； ③，交换字母后指数积不变，是对称式，故③符合题意； ④，交换字母后为，结果不同，不是对称式，故④不符合题意； 故答案为：； （2）解：， 交换的位置为： ， ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴，， 解得：； （3）解：将代入得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【经典例题三 整式加减中的无关型问题】 21．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）当多项式中不含项时，求的值． 【答案】 【分析】由于多项式中含的项有，所以先将原多项式合并同类项，若不含项，则它们的系数为，由此即可求出的值． 【详解】解：原式， 因为不含项， 故， 解得：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 22．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）关于，的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 【详解】解：∵多项式不含二次项， ∴，， ∴，， ∴当，时， ． 23．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）已知A＝2x2﹣6ax+3，B＝﹣7x2﹣8x﹣1，按要求完成下列各小题． （1）若A+B的结果中不存在含x的一次项，求a的值； （2）当a＝﹣2时，求A﹣3B的结果． 【答案】（1）a＝﹣；（2）23x2+36x+6 【分析】（1）把A与B代入A+B中，去括号合并得到最简结果，由结果中不含x的一次项求出a的值即可； （2）把A与B代入A﹣3B中，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵A＝2x2﹣6ax+3，B＝﹣7x2﹣8x﹣1， ∴A+B＝2x2﹣6ax+3﹣7x2﹣8x﹣1 ＝﹣5x2﹣（6a+8）x+2， 由A+B结果中不含x的一次项，得到6a+8＝0， 解得：a＝﹣； （2）∵A＝2x2﹣6ax+3，B＝﹣7x2﹣8x﹣1，a＝﹣2， ∴A﹣3B＝2x2﹣6ax+3+21x2+24x+3 ＝23x2+（24﹣6a）x+6 ＝23x2+36x+6． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 24．（24-25七年级上·上海金山·期中）已知多项式，； (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值、非负数的性质，解决本题的关键是与x的值无关即是含x的式子为0． （1）根据两个非负数的和为0，两个非负数分别为0，再进行化简求值即可求解； （2）根据的值与x的取值无关，即为含x的式子为0即可求解． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴ ； （2） 因为代数式的值与x无关 所以， 所以， 所以． 25．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）有这样一道题，“当，时，求多项式的值”，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减， 先根据整式的加减法法则计算，再根据结果判断即可． 【详解】解：原式 ， ∴结果与a无关， ∴做题时把错抄成结果相同． 26．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知多项式的值与字母的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当时，代数式的值10，求当时，代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值： （1）先去括号，然后合并同类项计算出多项式的化简结果，再根据多项式的值与字母的取值无关，得到，，即可求解； （2）代入得到，当时，整体代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； 因为多项式的值与字母的取值无关，所以，， 则，； （2）解：当时，原式， ， 当时，原式． 27．（2025七年级上·上海嘉定·专题练习）请回答下列问题： (1)若多项式的值与x的取值无关，求的值； (2)若关于x、y的多项式不含二次项，求的值； (3)若是关于x、y的四次三项式，求k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，多项式的相关定义，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先把多项式合并同类项，再令含x项的系数等于0，求出m、n的值即可； （2）先把多项式合并同类项，然后根据多项式不含二次项，得到关于m、n的一次方程，求出m、n的值，再代入计算即可． （3）根据四次三项式的概念，得关于k的方程，求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵原式的值与x的值无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）解： ， ∵多项式不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：由题意得：， ∴． 又∵， ∴． ∴． 28．（24-25七年级上·上海宝山·单元测试）嘉淇准备完成题目：化简．发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你化简：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是常数．”通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2)5，见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题： （1）先去括号，然后合并同类项化简即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再根据化简的结果为常数，得到含未知数的项的系数为0列式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“□”为， ∴原式 ． ∵该题标准答案的结果是常数， ∴， ∴， ∴原题中“□”是5． 29．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：，其中，．”同学们思考时小桐说：本题中，是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有x和y，不给出x，y的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 【答案】我同意小桐的观点，理由见解析 【分析】本题考查整式的化简求值．将原式去括号，合并同类项后即可求得答案． 【详解】解：我同意小桐的观点， 理由是： ， 因为化简的结果不含有x和y，所以结果跟x和y的取值无关，因此本题中，是多余的条件． 30．（24-25七年级上·上海闵行·期末）（1）若多项式的值与的取值无关，求的值； （2）如图1的小长方形，长为，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】（1）    （2） 【分析】本题考查合并同类项，代数式求值，关键是掌握合并同类项的法则． （1）把多项式合并同类项得，由题意得到，进而可求出的值； （2）设，进而得到，，根据的值始终保持不变来求解． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）设， 由题意得：，， ∴ ∵的值始终保持不变，， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【经典例题四 数字类规律探索】 31．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗? （1）1，，3，，5，，7，， ， ，．．． ，．．． （2），，，，，，， ， ，．．． ，．．． 【答案】（1），，；（2），， 【分析】（1）先确定符号的规律，再确定数字的规律，可得这一列数的第项为； （2）先确定符号的规律，再确定数字的规律，可得这一列数的第项为． 【详解】 解：（1）1，，3，，5，，7，，…… 符号规律是奇数项是正数，偶数项是负数，所以符号为（为正整数）， 数字规律为第项数字是，第项数字是，以此类推第项数字为， ∴第项为， 所以第项为，第项为，第个数为． 故答案为：，，； （2）已知，，，，，，，…… 符号规律是奇数项是负数，偶数项是正数，所以符号为（为正整数）， 数字规律为第项数字是，第项数字是，以此类推第项数字为， ∴第项为， 所以第项为，第项为，第个数为． 故答案为：，，． 【点睛】 此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 32．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）＝　　 ； （2）利用你发现的规律计算：． （3）． 【答案】（1）﹣；（2）；（3）． 【分析】(1)观察已知等式即可得结果； (2)根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果； (3)①结合（1）（2）的计算过程进行计算即可； 【详解】解：（1）＝﹣， （2） ＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1． （3）原式＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）＝×（1﹣+﹣+﹣+…+） ＝×（1﹣）＝． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 33．（24-25七年级上·上海虹口·期中）观察下列三行数： (1)请直接写出： ①每一行的第8个数； ②第三行的第n个数． (2)第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和； (3)用如图的“L”形框圈起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求的值． 【答案】(1)128，130，384（表达式不唯一） (2) (3)2 【分析】（1）根据题目中的数据总结出其规律，即可求解； （2）设这连续的三个数从左到到右依次为a，2a，4a，列出式子进行求解即可； （3）依据题中规律可知：，，，再代入原式计算即可． 【详解】（1） ， 第n个数为， 第一行第8个数为128； 第二行比第一行的数都多2， 第二行第8个数为130； 第三行是第一行数的3倍， 第三行第8个数为384； 第三行是第一行数的3倍，第一行第n个数为， 第三行第n个数为：（表达式不唯一）； （2）依第一行数的规律可设这连续的三个数从左到到右依次为a，2a，4a， 若，则最大与最小差为，即； 若，则最大与最小差为，即； 因为第一行中只有，没有256， 所以这三个连续的数为，，， 所以最大与最小数的和为：； （3）依据题中规律可知：，，， ． 【点睛】本题考查数字类规律型，解题的关键是找出所给数据的规律，并灵活运用． 34．（2025·上海长宁·模拟预测）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 【答案】(1)； (2)7125 【分析】本题主要考查整式数字类规律探索； （1）根据题意，总结出规律即可求出； （2）根据总结出的规律进行运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第4个等式为：， 第个等式为：； 故答案为：；． （2）解： 35．（24-25七年级上·上海长宁·期中）观察下列等式： 第1个算式： 第2个算式： 第3个算式： 第个算式： 请结合上述三个算式的规律，回答下列问题： (1)写出第5个算式：________； (2)根据你发现的规律，写出第（为正整数）个算式：________________； (3)我们可以用所学知识证明这个结论．请对（2）中的算式进行代数推理． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了整式的混合运算和整式规律探究，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中算式找出规律，再求解； （2）根据题中算式找出规律，再写出一般表达式； （3）先计算出左边，再与等式右边比较即可证明． 【详解】（1）解： 第5个算式为：， 故答案为：； （2）解： 第（为正整数）个算式：， 故答案为：； （3）证明：， ， 结论正确． 36．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）观察下列各式： ； ； ； ；…． (1)根据规律计算的值为______； (2)计算的值． 【答案】(1)55 (2) 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是在于观察出分子的变化情况． （1）观察不难发现，从1开始的平方数的和，分母都是6，分子为最后一个数与比它大1的数的积再乘以比这个数的2倍大1的数的积； （2）将原式写成，再根据规律求解即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴； 故答案为：55； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 37．（24-25七年级上·上海普陀·期中）观察： ①， ②___________________， ③___________________， …… 探究： （1）观察等式①②③的规律，并将等式补充完整； （2）请直接写出第④个等式； 拓展： （3）按照你发现的规律，写出第n个等式． 【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3） 【分析】本题考查出指数运算、规律归纳，解题的关键是提取，将左边幂运算简化为右边指数形式，得出通项规律． 探究：（1）观察前三个等式的结构，左边为连续两个2的幂相减（如），通过提取公因数化简，发现右边结果为，补充缺失的指数项即可； （2）根据规律，第④个等式对应，即左边为，化简后右边为． 拓展：通过前几项的指数变化规律，归纳出第个等式为，体现从具体到一般的数学归纳能力． 【详解】解：探究：（1）1，，2，，3， （2）； 拓展：（3）第n个式子：． 38．（2025·上海虹口·模拟预测）观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据上述规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出第个等式：____________________；并求出的值． 【答案】(1) (2)；2025 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系． （1）根据题意材料即可得出第5个等式即可； （2）根据题意材料即可得出第n个等式即可；根据得出的一般等式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； …… ∴第5个等式为： ； （2）解：∵； ； ； ； …… ∴第n个等式为： ； 当时， ． 39．（25-26七年级上·上海闵行·随堂练习）观察下列式子： ； ； ； ． (1)根据以上式子，请直接写出________； (2)根据以上式子，请直接写出________（为正整数）； (3)计算：．（结果可以用含有乘方的形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的除法与规律探索问题及尾数特征． （1）仿照题干信息，即可解决问题； （2）根据题干信息总结归纳出结论即可； （3）根据总结规律将原式变形后即可求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 40．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 【答案】(1)； (2)①；②；③； (3)． 【分析】本题考查了数字的变化，有理数的混合运算，多项式的乘法，解题的关键是掌握数字的变化规律，有理数的混合运算法则，多项式的乘法法则． （1）读懂题意，寻找数字变化规律； （2）利用（1）发现的规律解决问题； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：（n为正整数）； 故答案为：； （2）① ； ②设，（n为正整数） ， ∴， ③ ； （3）原式 ． 【经典例题五 图形类规律探索】 41．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排列成一行．第2019个棋子是黑色还是白色？ 【答案】黑色 【分析】观察排成的一行黑白围棋子，不难发现，按白白黑黑白黑，这样6个为一个循环，那么用2019除以6看余几，即和第几个棋子一样． 【详解】解：由已知排成的一行黑白围棋子，得到：白白黑黑白黑 白白黑黑白黑 白白黑黑白黑…，这样6个为一个循环， 2019÷6=336……3， 因此第2019个棋子和第三个棋子颜色相同，为黑色． 【点睛】本题考查了图形变化类问题，解题的关键是找到图形规律，再通过计算得出答案． 42．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 【答案】(1)8，11 (2)，80 【分析】该题考查了图形规律，找到图形规律是解题的关键． （1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数． （2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把代入式子中，计算出得数． 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为， 故答案为：，． （2）解：观察图形可知： 第1个图中“〇”的个数为5，； 第2个图中“〇”的个数为8，； 第3个图中“〇”的个数为11，； …… 发现规律：第n个图中“〇”有个． 当时，， 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是， 当时，所贴剪纸“〇”的个数是， 故答案为：，80． 43．（24-25七年级上·上海松江·期中）〖综合与实践〗将一根绳子折成三段，然后按如图所示的方式剪开，剪1刀绳子变为4段，剪2刀绳子变为7段，剪3刀绳子变为10段．试探究： (1)剪20刀，绳子变为_________段． (2)按这种方式有可能正好剪得100段吗？若能求出裁剪的刀数，若不能，请说明理由 【答案】(1)61 (2)能，裁剪33刀，可得100段 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是培养学生通过观察、归纳、抽象出规律的能力． （1）根据剪1刀，绳子变为4段，段，剪2刀，绳子变为7段，段，剪3刀，绳子变为10段，段，进而可以得出结论即可求解； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵剪1刀，绳子变为4段，段； 剪2刀，绳子变为7段，段； 剪3刀，绳子变为10段，段； …， ∴剪n刀，绳子变为段． ∴剪20刀，绳子变为段； （2）解：根据题意得， 解得． ∴能，裁剪33刀可得100段． 44．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． (1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）． (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图示找出规律即可求解； （2）根据（1）中的规律计算即可求解； （3）由（2）的计算可得，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，需要改变摆放方式，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒， 第2个图有2个正方形需要根小棒，即， 第3个图有3个正方形需要根，即， ∴第个正方形需要（根）， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形， ∴，即需要根小棒， ∴用18根小棒摆不出6个正方形； （3）解：根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒， 由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根， ∴改变摆放方式，如图所示， ∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒， ∴符合题意． 45．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于点，，，若从点O到点的回形线为第一圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，……依次类推，则第10圈的长为多少？ 【答案】79 【分析】此题考查图形类规律的探究，正确观察图形得到图形的变化规律是解题的关键． 根据第一、二、三圈的长度，再得到规律即可得到答案． 【详解】解：观察图形，可知第一圈长， 第二圈长， 第三圈长，… 所以第n圈长（n为正整数）， 所以， 则第10圈的长度为79． 46．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，给出四个点阵，表示每个点阵中点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，    （1）请问第个点阵中的点的个数_________． （2）猜想第个点阵中的点的个数________． （3）若已知点阵中点的个数为，问这个点阵是第几个? 【答案】（1）17；（2）4n−3；（3）第10个 【分析】（1）观察图形，它们的点数分别是1，5，9，13，…，再由这组数的每一个数找出相同的规律，即而表示出第n个点阵中的点的个数；故可得到第个点阵中的点的个数； （2）根据（1）中找到的规律即可写出第个点阵中的点的个数； （3）由（2）得出的规律，可设点的个数为37的点阵为第x个，列方程，解此方程即得答案． 【详解】（1）由点阵图形可得它们的点的个数分别为：1，5，9，13，…，并得出以下规律： 第一个点数：1＝1＋4×（1−1） 第二个点数：5＝1＋4×（2−1） 第三个点数：9＝1＋4×（3−1） 第四个点数：13＝1＋4×（4−1） … 因此可得： 第n个点数：1＋4×（n−1）＝4n−3． 故第个点阵中的点的个数4×5-3=17； 故答案为：17； （2）第n个点数：s＝4n−3， 故填：4n−3； （3）设这个点阵是x个，根据（2）得： 4x−3＝37 解得：x＝10． 答：这个点阵是第10个． 【点睛】此题考查了学生观察、分析、归纳问题规律的能力．关键是通过观察图形发现第n个点数：1＋4×（n−1）这个规律． 47．（24-25七年级上·上海长宁·期中）用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.    （1）按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ … 小木棒的根数 9 … （2）按照这种规律搭下去，搭第个图形需要________根小木棒； （3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数. 【答案】（1）16，23；（2）；（3） 【分析】（1）根据图形可知，后一个图形中小木棒数量比前一个图形小木棒数量多7，据此可填出表中数据； （2）第一个图形需要9根小木棒，后面每一个图形都比前一个多7根，据此即可求得答案； （3）根据（2）的代数式即可求得时的小木棒的数量． 【详解】（1）第一个图形中小木棒的根数为9； 第二个图形中小木棒的根数为9+7=16； 第三个图形中小木棒的根数为16+7=23； 填表如下： 图形标号 ① ② ③ … 小木棒的根数 9 16 23 … 故答案为：16，23； （2）根据（1）的规律： 可以发现第几个图形中小木棒的根数为：； 故答案为：； （3）当，需要的小木棒的根数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图形得到后一个图形比前一个图形多7根小木棒是解题的关键． 48．（2025·上海普陀·模拟预测）从图依次用等式表示如下，观察点与等式之间的关系，解答下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； (1)观察等式的规律，直接写出第6个等式． (2)直接写出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明过程见解析． 【分析】本题考查了数字变化的规律，有理数的混合运算，能根据所给的等式找到规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据发现的规律写出等式，按照运算法则推导证明即可． 【详解】（1）解：根据规律可得， ⑥， 答：第6个等式是． （2）解：第个等式：． 证明：∵， ∴成立． 49．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图是某圆形景观广场，图中小黑点代表喷水口，其中圆心是广场中心喷水口，小红统计喷水口的数量，发现了一些规律．记每个圆内喷水口的数量从内向外分别记为，，，则． (1)__________，__________ (2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，写出的最大值，并结合图形简述理由； (3)任意两个奇数的平方差还满足（2）中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查的是图形类与数字类的综合探究；多项式乘以多项式，理解题意是关键； （1）根据图形计算，再归纳即可； （2）先通过具体的数据的计算，猜想结论；再结合图形验证即可； （3）从数来说：设两个奇数为和，计算平方差为，分、同为奇数或偶数和一奇一偶两种情况，得出为的整数倍，即可得到结论，再结合图形探究即可. 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴归纳可得：； （2）解： ∵， ， ， 猜想：任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，的最大值为； 由图形可得：,,,,, ，， ∴， ， ， . （3）解：任意两个奇数的平方差满足（2）中的结论，理由如下： 从数来说：设两个奇数为和， ∴ ； 当、同为奇数或偶数时，为偶数， ∴是的整数倍， 当、为一个奇数，一个偶数时，是偶数， ∴是的整数倍， ∴任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，的最大值为； 从图形来说：任意两个奇数的平方差就是圆环内黑点的个数，都是的整数倍. 50．（2025·上海松江·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，见解析 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （2）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （3）根据题意，假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，由此即可求解． 【详解】[规律发现] （1）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； （2）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； [规律应用 （3）不存在， 理由如下：假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，        整理得：， 解得， 不是正整数，与题意中的是正整数不符， ∴不存在正整数，使得“”的个数是“”的个数倍． 【经典例题六 整式加减的新定义问题】 51．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）用“&amp;”定义一种新运算：，例如：，则当，时，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，掌握新定义的运算法则，列出代数式，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 52．（24-25七年级上·上海杨浦·开学考试）先化简，再求值 (1)，其中 (2)定义两种新运算：，，化简，并求出当，时的值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）根据整式的加减运算法则先化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； （）根据新定义运算对代数式进行转化，再根据整式的加减运算法则化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的加减化简求值，新定义运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ， ； （2）解：∵，， ∴原式 ， 当，时， 原式 ， ． 53．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义一种新运算：观察下列式：              （1） = ,= ； （2）若,那么 0(用“＞”、“＜”或“=连接”)； （3）若，请计算的值． 【答案】（1）-2，4a+b；（2）<；（3）6 【分析】（1）根据题意可得新运算法则为，进一步即可求出答案； （2）根据新运算法则和整式的加减运算法则并结合解答即可； （3）根据新运算法则可得，然后再根据新运算法则和整式的加减运算法则整体代入计算即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：﹣2，； （2）∵， ∴， 故答案为：＜； （3）由，得，即， ∴． 【点睛】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算，属于常考题型，准确理解运算法则、熟练进行整式的加减运算是解题的关键． 54．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）观察下列各式：定义一种新运算“”： ，，， ，， (1)写出一般结论：　　； (2)如果，那么　　(填“”或“”) (3)先化简，再求值：．其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算； （1）根据已知等式归纳总结得到一般性结论即可； （2）利用题中的新定义化简，比较即可； （3）原式利用题中的新定义化简，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； 故答案为：． （2）解：如果，那么，，即； 故答案为：． （3）解：根据题中的新定义得：原式， 当，时，原式． 55．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）对于有理数m，n定义一种新运算“”，规定． (1)若，求多项式的值． (2)若与，试比较P与Q的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到整式的加减运算，读懂题意是解题的关键． （1）根据新定义，把，展开后得到，即可得到结果； （2）由条件得到，得到，通过讨论x的取值，得到P，Q的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与， ∴，， ∴， ∴当时，，则， 当时，，则， 当时，，则． 56．（24-25七年级上·上海宝山·期中）学习《有理数》和《整式的加减》后，小明对运算产生了兴趣，借助这两章所学的知识定义了一种新运算“”，规则如下：，m，n为有理数，且． (1)初识运算：求的值； (2)探究运算：①先计算和，再说明新定义的运算“＃”是否满足交换律； ②请通过计算说明与的大小关系； (3)应用运算：请直接写出______． 【答案】(1)=4 (2)①，，定义的运算“”不满足交换律；说明见解析；②，；；说明见解析 (3) 【分析】本题考查定义新运算，理解并掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）①根据定义新运算的法则，进行计算，再进行说明即可； ②分别求出，，两式相减，根据差的情况判断大小即可； （3）根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）①； ； ， 新定义的运算“＃”不满足交换律． ②； ； ； ， ， ； （3） ． 故答案为：． 57．（24-25七年级上·上海普陀·期中）定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． （1）请你想想：______； （2）若，那么______（填“=”或“≠”）； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）≠；（3），11 【分析】（1）根据题目中给出的新定义运算规则进行计算即可； （2）分别计算，，比较后即可得出结论； （3）先求，再将已知字母的值代入即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为： （2）∵，，． ∴． 故答案为：≠ （3） ． 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了新定义运算，仔细观察，找出新定义运算的运算规则及掌握整式的加减的运算方法是求解本题的关键． 58．（24-25七年级上·上海静安·期中）先化简，后求值： (1)：（其中）． 定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (2)请你想想：___________； (3)若，那么___________（填“=”或“≠”）； (4)先化简，再求值：，其中， 【答案】(1)， (2) (3)≠ (4)，6 【分析】（1）先去括号，再按照整式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可； （2）根据题意，总结出变化规律即可； 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）根据题意得：． 故答案为：． （3）∵，，． ∴． 故答案为：≠． （4） ． 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值以及根据新定义总结规律，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则和运算顺序以及正确理解题意，明确新定义的运算法则． 59．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）定义新运算“”，即对任意的有理数，满足． （下列运算结果均不含新运算符号“*”） (1)分别计算和； (2)计算，并用含的代数式表示的运算结果； (3)判断定义的新运算是否满足运算律： ①先计算，再判断交换律是否成立？ ②先计算，再判断结合律是否成立？ 【答案】(1) (2)， (3)①，交换律不成立；②，结合律不成立. 【分析】本题考查的是新定义下的有理数的运算及整式加减运算； （1）根据新运算法则计算即可； （2）根据新运算法则计算即可； （3）①计算进而得出结论；②计算，，进而得出结论； 【详解】（1）解： ， ． （2）由（1）得原式 ． ； （3）①， 所以交换律不成立． ②， ， ， 所以结合律不成立． 60．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 【经典例题七 整式加减的综合应用】 61．（24-25七年级上·上海崇明·期末）定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 与 是关于 2 的平衡数，见解析 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ； 故答案为：； （2）解：与是关于2的“平衡数”，理由如下： ∵ ， ∴a与b是关于2的平衡数． 62．（24-25七年级上·上海虹口·期末）定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)a与b互为“和偶数”；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，绝对值的意义，解题的关键是理解并掌握“和偶数”的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）根据“和偶数”定义可得答案； （2）列出算式，去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于2即可； （3）由c与d互为“和偶数”知，据此可得，然后分类讨论，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4与互为“和偶数”， ∵， ∴与互为“和偶数”． （2）解：a与b互为“和偶数”， 理由：∵ ， ∴a与b互为“和偶数”； （3）解：∵c与d互为“和偶数”， ∴， 即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，c与d互为“和偶数”． 【点睛】 63．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，学校要利用一面围墙建一长方形的自行车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)求长方形停车场的宽和护栏的总长度； (2)若，，并且每米护栏造价80元，求建此停车场所需的费用． 【答案】(1)宽为米，护栏的总长度为米 (2)8400元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则． （1）先根据关系列出代数式求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，，代入求值然后乘以单价即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 长方形停车场的宽为： 护栏的总长度 即长方形停车场的宽为米，护栏的总长度为米； （2）解：把当，，代入得， 元， 答：建此停车场所需护栏的费用为8400元． 64．（25-26七年级上·上海嘉定·单元测试）如图，在某月的日历表中用方框任意框出4个数． (1)分别写出与之间的关系； (2)判断的值是否发生变化．请说明理由； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2)的值不变，为 (3) 【分析】（1）根据日历中数字规律，同行左右相差1，同列上下相差7，列式计算即可； （2）根据前面的计算，代入计算解答即可； （3）作差法比较大小即可． 本题考查了日历的应用，整式的乘除混合运算，整式的大小比较，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据日历中数字规律，同行左右相差1，同列上下相差7，得． （2）解：的值不变． 理由如下： ， ， ，为定值． （3）解： ， ． 65．（24-25七年级上·上海虹口·开学考试）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵，∴321是“和数”；∵，∴321是“谐数”；∴321是“和谐数”． (1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； (2)已知（，，且、均为正整数）是一个“和数”，请求出所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)734或770 【分析】本题考查数字类问题，熟练掌握“和数”与“谐数”的概念是解题的关键． （1）设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，根据“谐数”的概念得，由及必然一奇一偶可得答案； （2）将a变形为，根据“和数”的定义得出，再根据m，n的取值范围得出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，其中，且x，y，z为整数， 由题意知：， ， 的奇偶性相同， 必定一奇一偶， 必为偶数， 任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （2）解：， ， ， ， ， a为“和数”， ，即， ，，且、均为正整数， 或， ， 或， a的值为734或770． 66．（24-25七年级上·上海静安·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 67．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）对于一个各数位上的数字均不为的自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”． 例如：，是的“和倍数”． 又如：，不是“和倍数”． (1)判断，是否是“和倍数”，说明理由； (2)三位数是的“和倍数”，分别是数其中一个数位上的数字，且；在中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数． 【答案】(1)是“和倍数”，不是“和倍数” (2)或或或 【分析】本题主要考查新定义运算，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据“和倍数”的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，所以是整式，则，则可能得值为，或或，由此分类讨论，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：， ∴是“和倍数”， ， ∴不是“和倍数”； （2）解：三位数是的“和倍数”，分别是数其中一个数位上的数字，且， ∴， 在中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为， ∴， ∴， ∵，为整数， ∴， ∴是整数， ∵， ∴，则可能得值为， ∴或或， ①当时，，则或或（舍去）， ∵，同理以组合的其他数均不能被整除， ∴不符合题意，舍去， ∵，，同理以组合的其他数均不能被整除， ∴或； ②当时，，则， 同理，或； ③当时，， ∵， ∴此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，或或或． 68．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料，完成任务 材料一 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 材料二 定义：对任意一个四位数 （其中，且均为整数），若，则称为“久久数”． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空：3267 （“是”或“不是”）“久久数”，2435 （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 求证：任意一个“久久数”都能被99整除． 证明：依题意可得：，用含的代数式表示 ， ∴（ ）＝…… 请完成填空并补全证明过程： 【答案】（1）是，不是；（2）见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用． （1）根据新定义进行判断； （2）用表示，用表示，再把“久久数”进行因式分解证明． 【详解】解：（1），， 是“久久数”， ， 不是“久久数”， 故答案为：是，不是； （2）证明：由题意得：，即，， ∴ ， 任意一个“久久数”都是的倍数； 69．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 【答案】(1)C (2)①；② (3)正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积 【分析】本题考查了整式的加减，读懂题意理解求差法，并会运用是解答本题的关键． （1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了，，三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论； （2）①用分别表示出正方形和圆的周长，利用求差法进行比较即可； ②①用分别表示出正方形和圆的面积，利用求差法进行比较即可； （3）正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 【详解】（1）解：“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较， 体现出的数学思想是转化思想， 故选：C； （2）解：①，， ， ； ②，， ， ； （3）解：正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 70．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，用含，的式子表示出其他8个正方形的边长是解题的关键．第（3）问较难，需要有较强的推理能力及计算能力． （1）根据所给图形，得出第3个正方形的边长为第1，2个正方形的边长之和，再依次表示出4，5号正方形的边长即可解决问题． （2）根据所给图形，表示出第6个正方形的面积，再结合即可解决问题． （3）根据所给图形，用含，的代数式表示出完美长方形的周长，并结合，均为正整数，求这个完美长方形的最小周长． 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 学科网（北京）股份有限公司 $$