专题02 合并同类项重难点题型专训（3个知识点+6大题型+7大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题02 合并同类项重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+7大拓展训练+自我检测） 题型一 合并同类项 题型二 多项式的项、项数或次数 题型三 多项式系数、指数中字母求值 题型四 多项式的升幂、降幂排列 题型五 数字类规律探索 题型六 图形类规律探索 拓展训练一 合并同类项中的求值问题 拓展训练二 杨辉三角问题 拓展训练三 天干地支规律题 拓展训练四 差倒数问题 拓展训练五 规律探索之排列问题 拓展训练六 规律探索之新定义问题 拓展训练七 合并同类项的实际综合应用 知识点一、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D．a 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 知识点二、 数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）观察下列算式： ， 根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）一列数，，，，，按此规律，则第数为 ． 知识点三、 图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）有一串彩色的珠子，按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需8根火柴，第二个图案需15根火柴，…，按此规律，第6个图案需 根火柴棒． 【经典例题一 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）下列计算一定正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知一列数a，b，，，，…按照这个规律写下去，第10个数是 ． 4．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）合并同类项： 【经典例题二 多项式的项、项数或次数】 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它的最高次项是 B．它的次数是5 C．它是三次三项式 D．它的常数项是1 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格，若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格，已知B也是关于x的整式，下列说法正确的个数为（    ） ①若B对应的小方格行数是4，则对应的小方格行数一定是4； ②若对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应小方格列数是3，对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知关于x、y的多项式不含三次项，则的值是 ． 4．（2025七年级上·上海松江·专题练习）若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求的值． 【经典例题三 多项式系数、指数中字母求值】 【例3】（24-25七年级上·上海金山·期中）多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知多项式是关于的三次三项式，则m的值等于（   ） A． B．1 C． D．以上都不对 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如果是一个三次四项式，那么 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）多项式项，则 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【经典例题四 多项式的升幂、降幂排列】 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是2 B．多项式的常数项是1 C．的底数是 D．是按的降幂排列的 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）把多项式 按字母降幂排列是 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·开学考试）把按降幂排列 ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【经典例题五 数字类规律探索】 【例5】（24-25七年级上·上海崇明·开学考试）六一儿童节时，同学们用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连接起来，第2007个小灯泡是（　　）色的． A．红 B．黄 C．绿 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）填空：，，，，，， ， ，，． 3．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【经典例题六 图形类规律探索】 【例6】（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为，第5个图形的周长是（    ）． A．7 B．11 C．12 D．15 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依此规律，第10个图形有（　　）个小图． A．110 B．114 C．112 D．120 2．（24-25七年级上·上海松江·开学考试）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案．照这样的规律摆下去，第n个图案中白色地砖有 块． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形：再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；…如此进行下去．利用上述图形，能得出 ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； （2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 【拓展训练一 合并同类项中的求值问题】 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，这是正方体的展开图，相对面的数字之和为6，则的值为（    ） A． B． C．112 D．80 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝， （1）计算：(－6)☆5＝ ． （2）从－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【拓展训练二 杨辉三角问题】 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 2．（2025·上海静安·模拟预测）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为第个数记为，则 ． 3．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 【拓展训练三 天干地支规律题】 1．（24-25七年级上·上海静安·期末）《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，正值北京二中建校300周年，那么据此推算，当北京二中500周年校庆时，对应的年份是（    ）    A．甲子年 B．乙丑年 C．丙寅年 D．丁卯年 2．（2024·上海闵行·模拟预测）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2075年是 年．（用天干地支纪年法表示） 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）阅读下面材料，回答问题． 中国自古便有“十天干”与“十二地支”的说法，简称“干支”，源于树木的干和枝． 十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥． 十位天干和十二位地支依次顺位相搭配，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑…辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑… 后来天干地支被用以记录时间，即纪年、纪月、纪日、纪时，其中纪年法使用最广泛，如今我国仍然沿用夏历（农历）的纪年方法，即“干支纪年法”，称为农历（夏历）某某干支年（严格说，农历年与公历年并不完全重合）．如公历2013年是农历癸巳年；再如，今年10月初在我国黄海打捞的致远舰遗骸，记载的是历史上著名的中日甲午海战，发生于公历1894年． 十二地支又与十二生肖依次顺位相对应：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 根据以上材料，填空： （1）十位天干和十二位地支依次顺位相搭配， 年为一个最小循环； （2）获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年12月30日，用干支纪年法她生于 年； （3）祖冲之（公元429年4月～500年）是中国古代的杰出数学家、天文学家，他生活在南北朝时期（公元386～589年），请问他的生肖为 ． 【拓展训练四 差倒数问题】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）有一列数满足，之后每一个数都是前一个数的差倒数，即，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为………第n个数记为，若从第二个数起，每个数都等于-1与它前面那个数的差的倒数，则 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，……，，（n是正整数）是按顺序排列的若干个数．其中，第一个数，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：______，______，______； (2)求的值； (3)若表示不超过p的最大整数，记，当时，直接写出n的所有可能的值． 【拓展训练五 规律探索之排列问题】 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．    3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）观察图①，②，③，④得 ； ； ； ； …… (1)观察面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？你能表示出来吗？ (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【拓展训练六 规律探索之新定义问题】 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取，则243 105…若，则第2023次“F”运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．2 D． 2．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）新趁势・新定义  在这样的一列数，满足条件：，（且为整数）． （1） ； （2） ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式：定义一种新运算“”： ， ， ， ， ，…… (1)写出一般性结论：________________； (2)如果，那么__________（填“”或“”）； (3)先化简，再求值：．其中，． 【拓展训练七 合并同类项的实际综合应用】 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 2．（2025·上海松江·模拟预测）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式． 例：先去括号，再合并同类项： 解： (1)直接写出：①______，______； ②原式的运算结果为______； (2)若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除． 3．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）有这样一道题：“求的值，其中”，小马虎把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，你觉得可能吗？请用具体过程说明为什么？ 1．（24-25七年级上·上海嘉定·开学考试）下列各式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）关于x的多项式不含和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）将多项式按的降幂排列的结果为(　　) A． B． C． D． 4．（2025·上海静安·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第20幅图形中“●的个数为（　　） A．399 B．420 C．440 D．441 6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）多项式的次数是 ． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）把多项式按x升幂排列： ． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·上海长宁·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为 ． …… 10．（24-25七年级上·上海宝山·期末）“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何，最终都会得到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某同学对各数位上数字不同的两位数进行了如下操作：将其两个数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字42按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是 ． 11．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）合并同类项：． 12．（24-25七年级上·上海松江·期中）已知多项式是关于x、y的多项式，且该多项式的次数为6．若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 13．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）已知a，b是有理数，关于x、y的多项式的次数为5，且这个多项式中不含项，请你写出这个多项式． 14．（24-25七年级上·上海静安·期中）已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 15．（2025·上海闵行·模拟预测）将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 合并同类项重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+7大拓展训练+自我检测） 题型一 合并同类项 题型二 多项式的项、项数或次数 题型三 多项式系数、指数中字母求值 题型四 多项式的升幂、降幂排列 题型五 数字类规律探索 题型六 图形类规律探索 拓展训练一 合并同类项中的求值问题 拓展训练二 杨辉三角问题 拓展训练三 天干地支规律题 拓展训练四 差倒数问题 拓展训练五 规律探索之排列问题 拓展训练六 规律探索之新定义问题 拓展训练七 合并同类项的实际综合应用 知识点一、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D．a 【答案】C 【分析】此题考查合并同类项，将同类项的系数相加即可合并，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 【详解】解： 故选C． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 知识点二、 数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）观察下列算式： ， 根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，找出尾数规律是解题的关键． 根据乘方运算结果进行比较，每四次一循环，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴每四次一循环， ∴， ∴的尾数为， 故选：D ． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）一列数，，，，，按此规律，则第数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探索，熟练地从所给数字中得出规律，并列出式子是解题的关键．分别将第个数表示为与有关的式子，将第个数表示为与有关的式子，将第个数表示为与有关的式子，即可得到第个数关于的式子． 【详解】解：根据题意可得： 第个数为：； 第个数为：； 第个数为：； 第个数为：； 则第个数为：； 故答案为：． 知识点三、 图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）有一串彩色的珠子，按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查找规律，根据题意，通过观察、归纳、抽象出图形变化规律，由珠子按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，盒子内的珠子数量一定是的倍数加，即数量为，由此讨论验证即可得到答案，准确找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，可知盒子内珠子数量为， A、当，解得，不是整数，选项不符合题意； B、当，解得，不是整数，选项不符合题意； C、当，解得，是整数，选项符合题意； D、当，解得，不是整数，选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需8根火柴，第二个图案需15根火柴，…，按此规律，第6个图案需 根火柴棒． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，找准图形中的变化规律是解题的关键．根据图形的变化规律，即可得到第n个图案中的火柴数量为，代入即可得到答案． 【详解】解：∵第一个图案有8根火柴， 第二个图案有15根火柴，， 第三个图案有22根火柴，， ∴第n个图案有：， ∴第6个图案有：， 故答案为：． 【经典例题一 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）下列计算一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式，故A错误． B、与不能合并，故B错误． C、原式，故C错误． D、原式，故D正确． 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误； 、，该选项正确； 、，该选项错误； 、与不是同类项，不能合并，该选项错误； 故选：． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据积的乘方运算化简，再合并同类项，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知一列数a，b，，，，…按照这个规律写下去，第10个数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查找规律，整式的加法运算，解题的关键在于根据题意这一列数的规律．根据题意可得其规律为后一个式子为前两个式子之和，根据规律求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可得，其规律为后一个式子为前两个式子之和， 即第7个为：， 即第8个为：， 即第9个为：， 即第10个为：， 故答案为：． 4．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）合并同类项： 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【经典例题二 多项式的项、项数或次数】 【例2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）下列关于多项式的说法中，正确的是（    ） A．它的最高次项是 B．它的次数是5 C．它是三次三项式 D．它的常数项是1 【答案】A 【分析】本题考查多项式的相关概念，掌握定义是解决问题的关键．利用多项式定义逐一验证即可． 【详解】解：A、它的最高次项是，故此选项符合题意； B、它的次数是4，故此选项不符合题意； C、它是四次三项式，故此选项不符合题意； D、它的常数项是，故此选项不符合题意． 故选：A 1．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格，若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格，已知B也是关于x的整式，下列说法正确的个数为（    ） ①若B对应的小方格行数是4，则对应的小方格行数一定是4； ②若对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应小方格列数是3，对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据多项式的次数与项数、整式的加减运算法则逐个分析判断即可得． 【详解】解：是三次二次项式， 对应的行数是3，列数是2， ①若对应的小方格行数是4，则是四次多项式，则也是四次多项式，则对应的小方格行数一定是4，故①正确； ②若对应的小方格列数是5，则是五项多项式，不一定是三项，有可能是四项或五项，通过合并同类项之后仍为五项，故②不正确； ③若对应的小方格行数为3，则与中均存在的三次项，通过合并同类项之后的多项式的项数不可能为5，即的列数不为5，与题意不符， 所以对应的小方格行数不可能是3；故③正确； 综上，说法正确的个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式的次数与项数、合并同类项，弄清题意中的行数和列数分别对应次数和项数是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了多项式的次数、项数概念及分类讨论思想，解题关键是根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论消去三次项的方式． 根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论、的值，进而求解． 【详解】 情况一：通过“系数为”消去三次项， 因为和是二次三项式， 所以三次项必须不存在，即三次项系数；同时，为保证最高次数是， 所以的次数得是或，即或． 把，代入，得． 把， 代入，得    ． 情况二：通过“同类项抵消”消去三次项 若，则和式中为，此时要消去三次项， ∴，即． ∵和为三项式， ∴一次项系数（即），此时和式为，是二次三项式． 把，代入，得． 综上，或． 故答案为：4或2． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知关于x、y的多项式不含三次项，则的值是 ． 【答案】5 【分析】先去括号，合并同类项，根据多项式不含三次项，化简后的所有三次项的系数为0，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ； ∵多项式不含三次项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式，代数式求值．熟练掌握去括号，合并同类项法则，正确地进行化简，以及多项式不含某一项，该项的系数为0，是解题的关键． 4．（2025七年级上·上海松江·专题练习）若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求的值． 【答案】 【分析】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：进而根据是同类项，且合并后为0，得出，即可求解． 【详解】解：因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为， 又因为是三项式 ，所以前四项必有两项为同类项，只能是同类项，且合并后为0， 所以有 ， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的定义，合并同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 【经典例题三 多项式系数、指数中字母求值】 【例3】（24-25七年级上·上海金山·期中）多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式中不含有某某项就是指多项式合并同类项后该项的系数为0即可．由于不含项，令前的系数为0即可求解． 【详解】解：∵多项式中，不含项， ∴， 解得：， 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知多项式是关于的三次三项式，则m的值等于（   ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查整式中的多项式的有关概念．根据多项式中的每个单项式叫做多项式的项、这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数解答即可． 【详解】解：因为多项式是关于，的三次三项式， 所以，， 所以． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如果是一个三次四项式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的项数和次数．根据多项式的项数：单项式的个数，次数：最高次项的次数，列式计算即可． 【详解】解：的次数为，的次数为，的次数为2，是常数项， 由是一个三次四项式， 得：， 解得：． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）多项式项，则 【答案】 【分析】本题考查多项式，根据已知条件，列出关于，的方程组，解方程组求出即可．解题关键是掌握多项式的相关概率． 【详解】解：∵多项式项， ∴， 由②得：， 把代入①，得：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为2或或或或或 【分析】此题考查了多项式的概念，一元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据代数式M为二次多项式，得到，即，把与代入方程，计算即可求出k的值； （2）把代入方程，表示出y，根据y为正整数，求出整数k的值即可． 【详解】（1）解：代数式是关于x的二次多项式， ，即， 把与代入方程，得： 解得：； （2）∵ ∴， ∴， ∵关于的方程的解是正整数 ∴或或或15或或 ∴整数的值为2或或或或或． 【经典例题四 多项式的升幂、降幂排列】 【例4】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，各项以和的形式组成多项式（有时加号省略不写），所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．根据升幂排列的定义，将多项式的各项按照x的指数从小到大排列起来． 【详解】解∶多 项式按x的升幂排列为， 故选∶C． 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是2 B．多项式的常数项是1 C．的底数是 D．是按的降幂排列的 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数、多项式的常数项、乘方的底数识别以及多项式的排列顺序．需逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A. 单项式的系数是数字因数，即，而非2，故A错误； B. 多项式的常数项是，而非1，故B错误； C. 中底数是5，负号属于运算符号，若底数为应写作，故C错误； D. 是按的降幂排列的，故D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）把多项式 按字母降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式． 先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列即可． 【详解】解：把多项式 按字母降幂排列是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海宝山·开学考试）把按降幂排列 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式按某字母升（或降）幂排列，熟练掌握升（或降）幂排列定义是解题的关键． 根据y的次数从大到小排列即可． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 【经典例题五 数字类规律探索】 【例5】（24-25七年级上·上海崇明·开学考试）六一儿童节时，同学们用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连接起来，第2007个小灯泡是（　　）色的． A．红 B．黄 C．绿 【答案】B 【分析】根据题干分析得出这串灯泡的排列规律是解决此类问题的关键． 根据题干分析可得，这串彩灯的排列规律是7个灯泡一个循环周期，分别按照“三红、二黄、二绿”的规律接起来，据此计算第2007个小灯泡是第几组循环周期零几个即可解答． 【详解】解：（组）5（个）， 答：第2007个是第287组循环周期的第5个，是黄色的． 故选：B． 1．（2025·上海杨浦·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了数字的变化规律，解此题的关键是明确题意，发现常数项和字母指数的变化特点及规律． 观察代数式的常数项和x的指数部分各自的规律，分别推导出第n项的表达式，再结合选项判断． 【详解】解：当时，第一个代数式为：， 当时，第二个代数式为：， 当时，第三个代数式为：， 当时，第四个代数式为：， ∴第n个代数式是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）填空：，，，，，， ， ，，． 【答案】 【分析】该题考查了数字规律问题，根据题意可得题干数字中数字的符号呈现奇数项为负，偶数项为正的交替规律，分子为项数，分母为，据此求解即可． 【详解】解：根据题中规律可得第7项为，第8项为， 则，，，，，，，，，． 故答案为：，． 3．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】木题考查了数字的规律，找出一般规律是解题的关键；由已知条件找出关于：，：，：，：，：，根据对称规律得、关于点O对称，即可求解． 【详解】解：，P两点表示的数分别是1，2，、关于点O对称， 表示的数是， ，关于点P对称， 表示的数是， 同理可得：：，：，：，：，：， 根据对称规律得、关于点O对称， 点表示的数是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【经典例题六 图形类规律探索】 【例6】（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为，第5个图形的周长是（    ）． A．7 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】通过观察前几个图形的周长，找出其规律，进而推导出第个图形的周长表达式，最后计算第个图形的周长．本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握通过分析前几个图形的周长变化找出规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形是等边三角形，边长为，周长为． 第个图形由个等边三角形组成，周长为． 第个图形由个等边三角形组成，周长为． 以此类推，第个图形的周长为． 当时，周长为． 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依此规律，第10个图形有（　　）个小图． A．110 B．114 C．112 D．120 【答案】B 【分析】本题主要考查找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，再进行解答．根据图分析，可知第一个图形是个小圆，第二个图形是个小圆，第三个图形是由此即可知道第n个图形就是，问第10个图形有多少个小圆，把代入公式即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海松江·开学考试）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案．照这样的规律摆下去，第n个图案中白色地砖有 块． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图形可得每一个图案中白色地砖的块数比它前面一个图案中白色地砖的块数多4块，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案中白色地砖的块数为块， 第2个图案中白色地砖的块数为块， 第3个图案中白色地砖的块数为块， 归纳类推得：第个图案中白色地砖有块， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形：再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；…如此进行下去．利用上述图形，能得出 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，得出规律是解决这类问题的方法．此题注意结合图形的面积找到计算的方法：其中的面积和等于总面积减去剩下的面积．根据规律，各分割部分的和等于正方形的面积减去最后一次分割剩下的部分的面积，而每一次都是分割成相等的两个部分，根据此规律进行计算即可得解． 【详解】解：依题意：， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）（1）小明同学用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形需要__________根小棒； （2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了图形类规律问题，能正确找出规律是解题的关键； （1）根据图形可得每增加一层就增加5根小棒，据此即可解答； （2）根据题意作答即可． 【详解】解：（1）第一个图形需要7根小棒， 第二个图形需要根小棒， 第三个图形需要根小棒， … 则第n个图形需要根小棒， 故答案为：； （2）摆法如图（答案不唯一）所示： 【拓展训练一 合并同类项中的求值问题】 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，这是正方体的展开图，相对面的数字之和为6，则的值为（    ） A． B． C．112 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图和整式化简求值，先确定字母的值，再化简求值即可． 【详解】解：因为正方体的展开图，相对面的数字之和为6， 所以，， ， 把，代入，原式， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝， （1）计算：(－6)☆5＝ ． （2）从－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是 ． 【答案】 5 9 【分析】（1）根据新运算法则求解即可； （2）根据绝对值在性质分a≥b和a＜b解答即可． 【详解】解：（1）(－6)☆5===5， 故答案为：5； （2）当a≥b时，a☆b＝= =a，a最大值为9， 当a＜b时，a☆b＝= =b，b最大值为9， 综上，所有运算结果中的最大值是9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查有理数的加减运算、绝对值性质、合并同类项，理解新运算法则，掌握绝对值的性质是解答的关键． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求代数式的值是解题关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）先合并同类项，再运用“整体思想”代入求值即可； （3）把写成，再整体代入即可得出结果． 【详解】（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 【拓展训练二 杨辉三角问题】 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是（   ） A．153 B．171 C．190 D．210 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，，然后根据规律即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由规律可得，数列中偶数项的数分别为，，，，，奇数项的数分别为，，，，， ， 第37个数是奇数项的第19个， 第37项是． 故选：C． 2．（2025·上海静安·模拟预测）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为第个数记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律探索，根据题意得出规律即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 【答案】(1)；16；； (2)由于十进制计数法的进位以及估算可知，第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051 【分析】本题考查数字规律探究，解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 （1）观察前几排数字和： 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积．因为从第二排开始，数字和依次是，，，⋯，指数比排数少1．可以发现规律：第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）从第三排到第五排，我们看到杨辉三角中的数与11的连乘有这样的对应关系： 第三排： ； 第四排： ； 第五排： ． 按照前面的规律，第六排对应的式子是 ，从杨辉三角看第六排数字是1、5、10、10、5、1 ． 估算方面：11接近10 ， ，是六位数 ，所以的结果应该是六位数． 十进制计数法方面：在杨辉三角中，这些数字相加时，因为满十要进一 ．像第六排的10，在计算时会产生进位．比如个位相加满十向十位进一，十位相加满十向百位进一等等 ，所以实际结果不是简单按照数字排列得到八位数15101051 ，而是六位数161051 ． 【详解】（1）解：第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）解：第六排杨辉三角中的数字包含10和15等超过9的数，十进制中需向高位进位，导致位数合并。例如：1，5，10，10，5，1中，10变为0并向前进1，最终形成161051（六位数）。 因此，实际结果与预期不符是由于进位导致位数减少。 所以第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051． 【拓展训练三 天干地支规律题】 1．（24-25七年级上·上海静安·期末）《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2024年是“甲辰”年，正值北京二中建校300周年，那么据此推算，当北京二中500周年校庆时，对应的年份是（    ）    A．甲子年 B．乙丑年 C．丙寅年 D．丁卯年 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，分别得到天干，地支的周期是解题的关键． 由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200 除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期， 当北京二中500周年校庆时，经过200年，且北京二中建校300周年即2024年是“甲辰”年， 则 ，则 北京二中500周年校庆时的天干为甲， 余8 ，则北京二中500周年校庆时的地支为子， 则北京二中500周年校庆时是甲子年， 故选：A． 2．（2024·上海闵行·模拟预测）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．请问2075年是 年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】乙未 【分析】本题考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键． 先用2075的尾数5查出天干，再用2075除以12的余数查出地支即可． 【详解】解：2075年，尾数5为乙，2075除以12余数为11，11为未，那么2075年就是乙未年， 故答案为：乙未． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）阅读下面材料，回答问题． 中国自古便有“十天干”与“十二地支”的说法，简称“干支”，源于树木的干和枝． 十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥． 十位天干和十二位地支依次顺位相搭配，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑…辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑… 后来天干地支被用以记录时间，即纪年、纪月、纪日、纪时，其中纪年法使用最广泛，如今我国仍然沿用夏历（农历）的纪年方法，即“干支纪年法”，称为农历（夏历）某某干支年（严格说，农历年与公历年并不完全重合）．如公历2013年是农历癸巳年；再如，今年10月初在我国黄海打捞的致远舰遗骸，记载的是历史上著名的中日甲午海战，发生于公历1894年． 十二地支又与十二生肖依次顺位相对应：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 根据以上材料，填空： （1）十位天干和十二位地支依次顺位相搭配， 年为一个最小循环； （2）获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年12月30日，用干支纪年法她生于 年； （3）祖冲之（公元429年4月～500年）是中国古代的杰出数学家、天文学家，他生活在南北朝时期（公元386～589年），请问他的生肖为 ． 【答案】（1）60；（2）庚午；（3）蛇． 【分析】（1）首先要明确天干与地支的汉字相差2个，十二地支代表12年，则有每12年地支比天干多2，当地支比天干多10时，重新开始为一个循环，故用12×（10÷2）求解即可；（2）用1930减去1894的差除以循环周期60，看余数是多少，进行推算即可；（3）用2013减去429的差除以60，看余数是多少，再进行推算即可． 【详解】解：（1）天干与地支的汉字相差2个，十二地支代表12年，则有每12年地支比天干多2，当地支比天干多10时，重新开始为一个循环， 所以：12×（10÷2）=60（年）． 故答案为60． （2）列举甲子表：1 甲子13 丙子25 戊子37 庚子49 壬子2 乙丑14 丁丑26 己丑38 辛丑50 癸丑3 丙寅15 戊寅27 庚寅39 壬寅51 甲寅4 丁卯16 已卯28 辛卯40 癸卯52 乙卯5 戊辰17 庚辰29 壬辰41 甲辰53 丙辰6 已巳18 辛巳30 癸巳42 乙巳54 丁巳7 庚午19 壬午31 甲午43 丙午55 戊午8 辛未20 癸未32 乙未44 丁未56 已未9 壬申21 甲申33 丙申45 戊申57 庚申10 癸酉22 乙酉34 丁酉46 已酉58 辛酉11 甲戌23 丙戌35 戊戌47 庚戌59 壬戌12 乙亥24 丁亥36 己亥48 辛亥60 癸亥 1930﹣1894=36（年）， 1894年是甲午年，排31号，31+36=67，67÷60=1…7，故与7号年份相同， 故1930年是庚午年． 故答案为庚午； （3）（2013﹣429）÷60=1584÷60=26…24， 2013年是农历癸巳年，排在30号，30﹣24=6，所以公元429年是己巳年， 由子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪可知，公元429年是蛇年， 故祖冲之生肖为：蛇． 故答案为蛇． 【拓展训练四 差倒数问题】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）有一列数满足，之后每一个数都是前一个数的差倒数，即，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数，便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，再根据规律求出a2020与a2018，然后将它们相减即可得解． 【详解】解：∵a1=3， ∴， a3==， a4==3， a5==−， …， 所以这列数每3个为一个循环组依次循环， ∵2020÷3=673…1，2018÷3=672…2， ∴a2020=3，a2018=−， ∴a2020−a2018=3−(−)=． 故选：D． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）有若干个数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为………第n个数记为，若从第二个数起，每个数都等于-1与它前面那个数的差的倒数，则 ． 【答案】 【分析】根据每个数都等于-1与前面那个数的差的倒数，求出前4个数，进而得出规律，从而推导各数的结果． 【详解】解：， ， ， ， 数列以，，1三个数字依次不断循环出现， ， ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，，，……，，（n是正整数）是按顺序排列的若干个数．其中，第一个数，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)试计算：______，______，______； (2)求的值； (3)若表示不超过p的最大整数，记，当时，直接写出n的所有可能的值． 【答案】(1)，3， (2)2131 (3)n=630或 【分析】（1）根据定义的运算进行求解即可； （2）根据（1）可看出该数列以，，3这3个数不断循环出现，从而可求解； （3）根据题意，可得，当时求得相应的n值，再分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 故答案为：，3，； （2）解：由（1）可得：该数列以，，3这3个数不断循环出现， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵表示不超过p的最大整数，， ∴， ∴当，且n为3的倍数时，有： ， 解得：， 则当时，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的定义总结出数列存在的规律． 【拓展训练五 规律探索之排列问题】 1．（24-25七年级上·上海青浦·期中）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化规律得出第个图案中有个正方形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知： 第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中有个正方形， ∴， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．    【答案】820 【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律计算即可． 【详解】解：第1个图中有1个小球， 第2个图中有3个小球，， 第3个图中有6个小球，， 第4个图中有10个小球，， …… 照此规律，第n个图形有个小球， 当时， 小球个数为 故答案为：820． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有个小球是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）观察图①，②，③，④得 ； ； ； ； …… (1)观察面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？你能表示出来吗？ (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【答案】(1)从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为， (2)10000 (3)9775 【分析】本题考查了图形的变化类，解题的关键是仔细观察图形并找到规律． (1)根据图形的变化寻找规律：从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为，用代数式表示即可； (2)根据(1)中的规律即可求解； (3)根据(1)中的规律即可求解． 【详解】（1）解：观察图形的变化可知： ； ； ； ； 发现规律∶ 从1开始，1个奇数的和是1；前2个奇数的和等于2的平方，即；前3个奇数的和等于3的平方，即；前4个奇数的和等于4的平方，即，…… ∴从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为． ∴ (n是正整数)； （2）解： ； （3）解： ． 【拓展训练六 规律探索之新定义问题】 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如，取，则243 105…若，则第2023次“F”运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第四次开始，结果就只有两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是4， 第6次“F”运算的结果是1， … 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4， 而2023次奇数，所以最后结果是4． 故选：B． 2．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）新趁势・新定义  在这样的一列数，满足条件：，（且为整数）． （1） ； （2） ． 【答案】 2 【分析】此题考查了数字类规律． （1）根据（且为整数），代入即可求出答案； （2）找到这列数每三个为一个循环周期，且，进一步即可求出答案． 【详解】解：（1）因为，（且为整数）， 所以； 故答案为：2； （2），；…；由此可以看出，这列数每三个为一个循环周期， 因为，， 所以． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式：定义一种新运算“”： ， ， ， ， ，…… (1)写出一般性结论：________________； (2)如果，那么__________（填“”或“”）； (3)先化简，再求值：．其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，以及整式的加减， （1）根据已知等式归纳总结得到一般性结论即可； （2）利用题中的新定义化简，比较即可； （3）原式利用题中的新定义化简，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； 故答案为：； （2）如果，那么，即； 故答案为：． （3） 当，时， 原式． 【拓展训练七 合并同类项的实际综合应用】 1．（24-25七年级上·上海静安·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）把写成，然后将整体代入即可解答； （3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·上海松江·模拟预测）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A、B是关于n的多项式． 例：先去括号，再合并同类项： 解： (1)直接写出：①______，______； ②原式的运算结果为______； (2)若n为任意正整数，试说明的值总能被7整除． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）①根据去括号法则求解即可；②先去括号，再合并同类项即可； （2）将多项式A、B代入，先根据完全平方公式展开，再合并同类项，即可证明结论． 【详解】（1）解：①， 则，， 故答案为：，； ② ， 故答案为：； （2）解： ， 即n为任意正整数，的值总能被7整除． 3．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）有这样一道题：“求的值，其中”，小马虎把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，你觉得可能吗？请用具体过程说明为什么？ 【答案】可能，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减以及化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键．原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：可能， 理由：原式， 因为化简后的结果不含， 所以原式的值与值无关， 所以他计算的结果正确． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·开学考试）下列各式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，只有同类项才能合并，据此逐一求出答案即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，故A错误； B、，故B正确； C、与不是同类项，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）关于x的多项式不含和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式系数、指数中字母求值，熟练掌握定义是解题的关键．根据多项式不含有的项的系数为零，得到方程，解之可得m、n的值． 【详解】解：∵多项式不含和， ∴，， ∴，， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）将多项式按的降幂排列的结果为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，根据题意按的降幂排列即可求解． 【详解】解：将多项式按的降幂排列的结果为， 故选：C． 4．（2025·上海静安·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第20幅图形中“●的个数为（　　） A．399 B．420 C．440 D．441 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律．首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）多项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的次数的定义“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记定义是解题关键．根据多项式的次数的定义即可得． 【详解】解：因为的次数是，的次数是1， 所以多项式的次数是3， 故答案为：3． 7．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）把多项式按x升幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的项的概念和升幂排列的概念．多项式中的每个单项式叫做多项式的项；一个多项式的各项按照某个字母指数从大到小或者从小到大的顺序排列，叫做降幂或升幂排列．在解题时要注意灵活运用．根据多项式的项的概念和升幂排列的概念解答即可． 【详解】解：多项式按x升幂排列：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据题意，得到，进而得到，然后利用整体代入法，求值即可，解题的关键是得到． 【详解】解：∵多项式是关于x、y的四次四项式， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海长宁·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为 ． …… 【答案】 【分析】由图形可得规律为“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数，由此问题可求解． 【详解】解：由图形可得：“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查图形规律及合并同类项，解题的关键是根据图形中所给数据得到规律． 10．（24-25七年级上·上海宝山·期末）“数字黑洞”指的是一类特殊的数字规律：当对某个范围内的数进行特定的重复运算时，无论初始数值如何，最终都会得到一个固定数值或循环，就像被“黑洞”吸引无法逃脱一样．某同学对各数位上数字不同的两位数进行了如下操作：将其两个数字按照从大到小的顺序排列组成最大数，再按从小到大的顺序排列组成最小数（若结果为一位数则补零，如9补为09），然后用最大数减去最小数得到新数，重复以上操作就创造了一个两位数的“数字黑洞”．将数字42按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的减法，根据题意列式计算得出规律从第二次开始，每五次一循环，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第一次操作： 第二次操作：， 第三次操作：， 第四次操作：， 第五次操作：， 第六次操作：即， 第七次操作：， …， 从第二次开始，每五次一循环， ∵， ∴将数字42按照上面的操作重复进行100次后得到的数字是， 故答案为：． 11．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）合并同类项：． 【答案】 【分析】此题主要考查了合并同类项，正确把握合并同类项法则是解题关键．利用合并同类项法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25七年级上·上海松江·期中）已知多项式是关于x、y的多项式，且该多项式的次数为6．若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式．根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得m，n的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：因为多项式的次数为6， 所以， 解得， 因为单项式的次数和该多项式的次数相同， 所以，即， 解得， 所以． 13．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）已知a，b是有理数，关于x、y的多项式的次数为5，且这个多项式中不含项，请你写出这个多项式． 【答案】 【分析】根据多项式的定义解答即可． 【详解】解：∵关于x、y的多项式的次数为5，且这个多项式中不含项， ∴， 解得， ∴这个多项式为：． 【点睛】本题考查了多项式以及合并同类项，解题的关键是掌握与整式相关的概念． 14．（24-25七年级上·上海静安·期中）已知多项式是关于，的六次四项式． (1)求的值； (2)将多项式按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式． （1）根据题意得出，，求出m、n的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，按的升幂重新排列即可得到答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于，的六次四项式， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 将多项式按的升幂排列为： ． 15．（2025·上海闵行·模拟预测）将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【答案】【初探】 【猜想与验证】该猜想正确，见解析，常数的值为6 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数阵发现数字排列的规律是解题的关键． 【初探】根据所给排列方式，发现上下，左右数之间的关系即可解决问题． 【猜想与验证】根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：【初探】根据题意可知，， ，，，，． 【猜想与验证】根据题意，设，则， ，，，， ， 该猜想正确，常数的值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $$