精品解析：2025年宁夏回族自治区银川市唐徕中学宝湖校区九年级中考三模数学试卷

初三数学测试 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列图案中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图(　 　) A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A. 15，15 B. 15，15.5 C. 15，16 D. 16，15 6. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438（1+x）2=389 B. 389（1+x）2=438 C. 389（1+2x）=438 D. 438（1+2x）=389 7. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（　　） A. c＞0 B. 2a+b=0 C. b2﹣4ac＞0 D. a﹣b+c＞0 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 某种病毒近似于球体，它半径约为0.00000000495米，用科学记数法表示为___米． 10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 11. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 12. 方程有两个相等的实数根，则m的值为__________. 13. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是______． 14. 如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，CB，已知⊙O的半径为2，AB=，则∠BCD= 度． 15. 如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为___________km． 16. 如图，在中，，，以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为______． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ． （1）画出关于轴对称的； （2）以为位似中心，在网格中画出的位似图形 ，使与的相似比为． 20. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°； （3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 21. 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 22. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元； （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯． 23. 如图，在中，点为直径延长线上一点，直线切于点，过点作，垂足为，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）如果，，求的长． 24. 如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 25. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 26. 如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学测试 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列图案中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．即可判断． 【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定． 【详解】A、不能合并，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误； 故选：C． 3. 如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点，左视图从图形的左边向右看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，得到结果. 【详解】左视图从图形的左边向右看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线，故选A. 【点睛】本题考查了三视图的定义，熟练掌握该定义可求解. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 5. 某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表： 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 6 4 4 1 则这些队员年龄的众数和中位数分别是（　　） A. 15，15 B. 15，15.5 C. 15，16 D. 16，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据按从小到大顺序排列为：14，14，14，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，17，17，18， 则众数为：15， 中位数为：（15+16）÷2=15.5． 故选B． 【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义． 6. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438（1+x）2=389 B. 389（1+x）2=438 C. 389（1+2x）=438 D. 438（1+2x）=389 【答案】B 【解析】 【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得： 389（1+x）2=438． 故选B． 7. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则逐个判断即可． 【详解】解：解不等式2x+1＞-1，得：x＞-1， 解不等式x+2≤3，得：x≤1， ∴不等式组的解集为：-1＜x≤1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（　　） A. c＞0 B. 2a+b=0 C. b2﹣4ac＞0 D. a﹣b+c＞0 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确； B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣，得2a+b=0，正确； C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确； D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误． 故选D． 考点：二次函数的图象与系数的关系 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 某种病毒近似于球体，它的半径约为0.00000000495米，用科学记数法表示为___米． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．0.00000000495第一个有效数字前有9个0（含小数点前的1个0），从而． 10. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 11. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】由共摸了100次球，发现有25次摸到红球知摸到红球的概率为0.25，设盒子中白球有个，可得，解之即可． 【详解】解：设盒子中白球大约有个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以估计盒子中白球大约有15个， 故答案为：15． 【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，解题的关键是用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 12. 方程有两个相等的实数根，则m的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0， 解得：m=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 13. 如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等角对等边，由平行线的性质可得，，又平分，平分，则，，所以，，从而可得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 14. 如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB，CB，已知⊙O的半径为2，AB=，则∠BCD= 度． 【答案】30 【解析】 【分析】首先在直角三角形OEB中利用锐角三角函数求得∠EOB度数，然后利用同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系求得∠BCD的度数即可． 【详解】∵直径CD垂直弦AB于点E，AB=2， ∴EB=AB=， ∵⊙O的半径为2， ∴sin∠EOB=， ∴∠EOB=60°， ∴∠BCD=30°． 故答案为：30. 15. 如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为___________km． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点A作于点D，分别在和中解直角三角形求出边长即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 由题意得，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形DEF的面积与四边形DNCM的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题． 【详解】连接CD，如图所示， 在中，，， ， 以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， 与的面积之和等于与的面积之和， 四边形DNCM的面积等于的面积， 阴影部分的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和实数的有关性质，分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和实数性质化简各式，再计算即可，熟练掌握相关法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式减法，首先计算括号内的分式，通分相减，然后把除法转化为乘法，约分，即可化简式子，最后把代入计算即可，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 【详解】解： ， 当， 原式 ． 19. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ． （1）画出关于轴对称的； （2）以为位似中心，在网格中画出的位似图形 ，使与的相似比为． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换，熟练掌握位似的性质、轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如上图，即为所求． 20. 某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°； （3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）60，6，12 （2）补全频数分布直方图见解析，144 （3）恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 小问1详解】 解：， ∴， ∴， 故答案为：60，6，12； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： ； 扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接． （1）求证：D是的中点； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）若，则四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解； （2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D是的中点； 【小问2详解】 解：若，则四边形是矩形．证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元； （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯． 【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 （2）21个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； 【小问2详解】 设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯． 23. 如图，在中，点为直径延长线上一点，直线切于点，过点作，垂足为，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，利用切线性质和平行线性质证明，进而证明平分； （）连接，因为是直径，所以，由（）得，则有，故有，然后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 【答案】（1）y＝﹣,y＝﹣x+1；（2）P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，） 【解析】 【分析】（1）先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC＝3，于是可得到C（3，−2），然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式； （2）设P（t，−），根据三角形面积公式和正方形面积公式得到×1×|t|＝3×3，然后解方程求出t即可得到P点坐标． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2）， ∴AB＝1+2＝3， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝3， ∴C（3，﹣2）， 把C（3，﹣2）代入y＝得k＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+1； （2）设P（t，﹣）， ∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18， ∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，根据点的坐标求出正方形的边长，并熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键. 25. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 【答案】（1），点C的坐标为 （2）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求二次函数解析式，考查了二次函数与x轴交点坐标，以及二次函数最值的应用．解题的关键在于熟练运用函数交点、待定系数法及二次函数性质，同时能够灵活应用几何图形中的平行关系，将复杂问题转化为基本的数学模型进行求解． （1）先求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，再将A、B代入二次函数解析式，通过解方程组得到b和c的值；之后令二次函数，解一元二次方程得到与x轴的另一个交点C的坐标； （2）对于的最大值，先设出点P的坐标，根据轴得到E点坐标，进而表示出的长度；再结合，建立与的数量关系，将转化为关于P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：令，则，解得， 一次函数与x轴交点A的坐标为， 令，则， 一次函数与y轴交点B的坐标为， 二次函数经过两点， ∴将代入得： 解得， 二次函数关系式为， 令，即， 解得， 点坐标为， 点C的坐标为． 【小问2详解】 设点P坐标并表示的长度 设点（）， 轴，E点横坐标与P相同为m， ， ， 轴， ， ， ， ， ,， ， ， ， 当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $