精品解析：四川省内江市威远凤翔中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟考试数学试题（五）

四川省内江市2024—2025学年八年级下学期期末 模拟考试数学试题（五） 本测评卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分120分考试时间120分钟 注意事项： 1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区城内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将答题卡收回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，分式的个数有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 一枚一角硬币的直径约为，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（） A. B. 且 C. 且 D. 4. 已知，则等于( ) A. B. C. D. 5. 下列各图中表示y是x的函数的是（　 　　） A. B. C. D. 6. 数学小组的同学为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 中位数是25人，众数是20人 B. 中位数和众数都是8小时 C. 中位数是13人，众数是20人 D. 中位数是6小时，众数是8小时 7. 如图，在等腰直角中，，点是内部一点，，，垂足分别为，，若，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12.5 D. 15 8. 分式方程有增根，则m为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 10. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 12. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了18千米； （2）甲在途中停留了0. 5 小时； （3）乙比甲晚出发0. 5 小时； （4）相遇后，甲的速度大于乙的速度； （5）甲、乙两人同时到达目的地； （6）乙行驶全程用了1.5小时． 其中，符合图象描述的说法有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 第II卷（非选择题共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 如果点A(a＋1，－5)和点B(4，b－2)关于x轴对称，则ab＝_____________． 14. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_______（从小到大）． 15. 如图，正方形的边长为，点是对角线上的一个动点，点在上且，则周长的最小值为_______． 16. 如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确的结论是______． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，在△ABC中，点D,E,F分别在BC,AB,AC 边上，且DE∥AC，DF∥AB． （1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是 形； （2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形； （3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形，证明你的结论(仅需证明第⑶题结论)． 19. 如图所示的港珠澳大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥，它用粗大的钢索将桥面拉住，为检测钢索的抗拉强度，桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各随机选取5根钢索进行抗拉强度的检测，数据统计如下（单位：百吨） 甲、乙两厂钢索抗拉强度检测统计表 钢索 1 2 3 4 5 平均数 中位数 方差 甲厂 10 11 9 10 12 10.4 10 1.04 乙厂 10 8 12 7 13 a b c （1）求乙厂5根钢索抗拉强度的平均数a（百吨）、中位数b（百吨）和方差c（平方百吨）． （2）桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质量，问哪一家的钢索质量更优？ 20. 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于254块，设购买A型钢板x块（x为整数） （1） 求A、B型钢板的购买方案共有多少种？ （2） 出售C型钢板每块利润为120元，D型钢板每块利润为140元．若将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 22. 问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市2024—2025学年八年级下学期期末 模拟考试数学试题（五） 本测评卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分120分考试时间120分钟 注意事项： 1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区城内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将答题卡收回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，分式的个数有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，分式的有： 共有4个. 故选：B 【点睛】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母． 2. 一枚一角硬币的直径约为，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂． 故0.022m=2.2×10-2m． 故选B． 点睛：科学记数法要求前面的部分的绝对值是大于或等于1，而小于10，要注意如果小数点向右移动，则记成10负整数次幂． 3. 函数中，自变量的取值范围是（） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析： 解得：且 故选B. 点睛：这个题目考查了自变量的取值范围.主要考查分式和二次根式. 二次根式,被开方数 分式要求分母不为零. 4. 已知，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后得到x-y=-2xy，将所求式子变形后，把x-y=-2xy代入，约分即可得到结果． 【详解】解：∵，即， ∴， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 5. 下列各图中表示y是x的函数的是（　 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，因此D选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 故选：D． 6. 数学小组的同学为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 中位数是25人，众数是20人 B. 中位数和众数都是8小时 C. 中位数是13人，众数是20人 D. 中位数是6小时，众数是8小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是众数和中位数的定义．解题时注意：判断一组的数据的中位数，需要将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列．众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数，据此进行解答． 【详解】解：因数据总数为50，故中位数为第25和26个数据的平均数，而条形统计图是按从小到大的顺序排列的，前3组的和为24，前4组的和为44， 故第25和26个数据落在第4组，故中位数是8（小时）； 条形统计图中出现频数最大的条形对应第四组，故众数是8（小时）； 故选B． 7. 如图，在等腰直角中，，点是内部一点，，，垂足分别为，，若，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12.5 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先证四边形DEBF为矩形，得BF=DE=2.5，DF=EB，设DF=3x，则EB=3x，得AF=5x，AB=5x+2.5，然后由AB=BC得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵DE⊥BC，DF⊥AB， ∴∠DEB=∠DFB=90°， ∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC， ∴∠ABC=90°， ∴四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=2.5，DF=EB， 设DF=3x，则EB=3x， ∵DF=AF， ∴AF=5x，AB=5x+2.5， ∵DE=2.5， ∴CE=3DE=7.5， ∴CB=7.5+3x， ∵AB=CB， ∴5x+2.5=7.5+3x， 解得x=2.5， ∴AF=5x=12.5， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8. 分式方程有增根，则m为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的值，让最简公分母x−3＝0，得到x＝3，然后代入整式方程算出m的值． 【详解】解：方程两边都乘x−3，得x+x-3＝m ∵原方程有增根， ∴最简公分母x−3＝0， 解得x＝3， 将x＝3代入x+x-3＝m，得m＝3， 故m的值是3． 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误； B、一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查（特殊）平行四边形的判定．熟练掌握（特殊）平行四边形的判定方法，是解题的关键． 10. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据反比例函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算．根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：∵C为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 12. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： （1）他们都行驶了18千米； （2）甲在途中停留了0. 5 小时； （3）乙比甲晚出发0. 5 小时； （4）相遇后，甲的速度大于乙的速度； （5）甲、乙两人同时到达目的地； （6）乙行驶全程用了1.5小时． 其中，符合图象描述的说法有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【解析】 【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】根据题意和图象可知： （1）他们都行驶了18千米． （2）甲车停留了0.5小时． （3）乙比甲晚出发了1-0.5=0.5小时． （4）相遇后甲的速度＜乙的速度． （5）乙先到达目的地． （6）乙行驶全程用了1.5小时． 故只有（4）（5）不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了函数的图象以及通过函数图象的知信息的能力，能够根据图象准确提取信息是解题的关键.． 第II卷（非选择题共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 如果点A(a＋1，－5)和点B(4，b－2)关于x轴对称，则ab＝_____________． 【答案】21 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵A(a＋1，－5)和点B(4，b－2)关于x轴对称， ∴a+1=4，b-2-5=0，解得a=3，b=7 则ab=3×7=21 故答案为21. 【点睛】本题考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键． 14. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_______（从小到大）． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用反比例函数的性质可得出，此题得解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小”是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为，点是对角线上的一个动点，点在上且，则周长的最小值为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案． 【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称， ∴AP=CP， 即AP+PE=CE，此时AP+PE的值最小， 所以此时△PAE周长的值最小， ∵正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，AE=7， ∴∠ABC=90°，BE=12-7=5， 由勾股定理得：CE==13， ∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=13+7=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的P点的位置是解此题的关键． 16. 如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确的结论是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证，得出，，判断①；证，得出，，证四边形是平行四边形，得出，判断②；假设，可得与题干信息不相符的结论，可判断③，证四边形是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；判断④；即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； 在和中， ， ， ，， ，即， ， 四边形是平行四边形， ，故②符合题意； ∴， 当，则， ∵， ∴， ∴，与题干信息不符，故③不符合题意； ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）﹣1﹣；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式、负指数幂、绝对值等实数的运算法则即可求出答案； （2）根据分式的运算法则、分解因式法则等即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝4﹣4-3-（1）+1 ＝﹣3-+1+1 ＝﹣1﹣ （2）原式＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的化简、负指数幂的化简、实数的运算法则、分式的运算法则、分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，在△ABC中，点D,E,F分别在BC,AB,AC 边上，且DE∥AC，DF∥AB． （1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是 形； （2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形； （3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形，证明你的结论(仅需证明第⑶题结论)． 【答案】（1）矩形, （2）菱形, （3）正方形,证明： ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线， 由（1）、（2）可得，AE⊥ED且AE=ED， ∴四边形AEDF是正方形． 【解析】 【分析】（1）DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF是平行四边形，结合∠BAC=90°，即AE⊥ED，即可证得结论； （2）由角平分线的性质与平行线的性质，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质即可证得结论； （3）将（1）（2）条件合并，即有AE⊥ED且AE=ED，由平行四边形的性质即可证得结论． 【详解】（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴AE⊥ED， 即四边形AEDF是矩形， 故答案为：矩形； （2）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵AD是△ABC的角平分线，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE， ∴AE=ED，即四边形AEDF是菱形， 故答案为：菱形； （3）略 【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定，关键是熟练掌握特殊平行四边形的判定方法，注意从边的关系（相等、垂直）进行分析． 19. 如图所示的港珠澳大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥，它用粗大的钢索将桥面拉住，为检测钢索的抗拉强度，桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各随机选取5根钢索进行抗拉强度的检测，数据统计如下（单位：百吨） 甲、乙两厂钢索抗拉强度检测统计表 钢索 1 2 3 4 5 平均数 中位数 方差 甲厂 10 11 9 10 12 10.4 10 1.04 乙厂 10 8 12 7 13 a b c （1）求乙厂5根钢索抗拉强度的平均数a（百吨）、中位数b（百吨）和方差c（平方百吨）． （2）桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质量，问哪一家的钢索质量更优？ 【答案】(1)a=10，b=10，c=5.2；(2)甲厂生产的钢索质量更优. 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和方差的计算公式分别进行解答即可； （2）从平均数、中位数和方差的意义分别进行分析，即可得出甲厂的钢索质量更优． 【详解】解：（1）a=（10+8+12+7+13）÷5=10（百吨）； 把这些数从小到大排列为：7，8，10，12，13，最中间的数是10，则中位数b=10百吨； ； （2）甲厂的钢索质量更优， 从平均数来看，甲厂的平均数是10.4百吨，而乙厂的平均数是10百吨，所以甲厂高于乙厂； 从中位数来看甲厂和乙厂一样； 从方差来看，甲厂的方差是1.04平方百吨，而乙厂的方差是5.2平方百吨，所以甲厂的方差小于乙厂的方差，所以甲厂更稳定； 所以从总体来看甲厂的钢索质量更优． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 20. 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于254块，设购买A型钢板x块（x为整数） （1） 求A、B型钢板的购买方案共有多少种？ （2） 出售C型钢板每块利润为120元，D型钢板每块利润为140元．若将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案 【答案】（1）A、B型钢板的购买方案共有4种；（2）购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大． 【解析】 【分析】（1）根据“C型钢板不少于120块，D型钢板不少于254块”建立不等式组，即可得出结论； （2）先建立总利润和x的关系，即可得出结论． 【详解】解：设购买A型钢板x块，则购买B型钢板（100−x）块， 根据题意得， ， 解得，20≤x≤23， ∵x为整数， ∴x＝20，21，22，23共4种方案， 即：A、B型钢板的购买方案共有4种； （2）设总利润为w，根据题意得， w＝120（2x＋100−x）＋140（x＋300−3x）＝120x＋12000−280x＋42000＝−160x＋54000， ∵−160＜0， ∴当x＝20时，wmax＝−160×20＋54000＝50800元， 即：购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； 【小问3详解】 ∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1）； （2）仍然成立 ①若选图2，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴， ∴， ∴，． ∴，即， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ②若选图3，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴ ∴ ∴，． ∴，即 ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，，求得根据旋转的性质得到，于是得到； （2）如图2，过点作交的延长线于点，则，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，根据全等三角形的性质得到．求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； 如图3，过点作交的延长线于点，则，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质可知，，根据全等三角形的性质得到．求得．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 由旋转可知， （2）略 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $