精品解析：广西壮族自治区南宁市第三十五中学2025年初中毕业班第三次适应性模拟测试 数学 （6月 ）

2025年初中毕业班第三次适应性模拟测试 数 学 （考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列四个剪纸图形中，属于中心对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 检查一枚运载火箭的各零部件 C. 调查某款节能灯的使用寿命 D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度 5. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为30m，若坡度，则此斜坡的水平距离为（　　） A. 75m B. 50m C. 45m D. 30m 9. 人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供．如图是小南早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图．下列描述正确的是（ ） A. 从9时至10时血糖呈下降状态 B. 10时血糖最高 C. 从11时至12时血糖呈上升状态 D. 这段时间有3个时刻血糖浓度达到 10. 某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A. B. 8 C. 10 D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填写在答题卡上．） 13. 当______时，分式的值为零． 14. 有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 15. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 16. 如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在中： （1）尺规作图：分别在边上取点，使得线段等于线段的一半（要求：不写作法，保留作图痕迹，标清楚字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的面积． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 20. 【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物就开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】．取一桶桶装水，打开置于空气中；．每天测量并记录桶装水中的菌落总数；．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 （1）求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后超过几天不能饮用？ 21. 如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交⊙O于E，连接AE、BE，过点A作，垂足F，． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若，，则DE的长是多少？ （3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，写出其变化范围；如果不变，求出其值． 22. 综合探究 如何确定网球发射器的位置？ 素材1 图1是一个网球场，中线米，球网过中点，网高米，中线段有一个自动网球发射器，发射后，网球呈抛物线在正上方飞行． 素材2 图2是发射器在点处发射的示意图，网球落在点处，测得，米，米．当网球飞行的水平距离为米时，离地最高处为米． 素材3 发射器的发射角度不变，网球飞行时的高度不低于米才能顺利过网．为了让网球落在目标点处，将发射器向点移动米，发射口上调米． 问题解决 任务1 确定发射路线 在图2中，以点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的表达式． 任务2 尝试改变发射 尝试当时，计算说明能否实现目标？ 任务3 探究移动距离 求的最小值． 23. 在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： （1）在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在中，，，则到边的距离是___________． （2）如图2有一张三角形纸片，在上，且，点为边上一个动点．将纸片沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，求点到边距离的最小值． （3）如图3，有一矩形纸片，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．做点关于点的对称点，连接，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接，试求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业班第三次适应性模拟测试 数 学 （考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列四个剪纸图形中，属于中心对称图形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念得出答案即可． 【详解】解：图中第一个、第二个、第三个图形，绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，是中心对称图形， 第四个图形旋转后不能重合，不是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念． 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握此概念是解题关键． 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 检查一枚运载火箭的各零部件 C. 调查某款节能灯的使用寿命 D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了的普查和抽样调查，解题的关键是掌握普查适用于：事关重大、人命关天的；样本较小，方便调查的；对结果精确度要求高的；抽样调查适用于：数量巨大，不便于全面调查的；调查具有破坏性的．根据普查使用的情况，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、检测某城市的空气质量，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； B、检查一枚运载火箭的各零部件，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，符合题意； C、调查某款节能灯的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； D、调查观众对春节联欢晚会的满意度，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角板得到，结合平行线即可得到答案； 【详解】解：∵将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若， ∴，， ∴， 故选B； 【点睛】本题考查平行线上放三角板的问题，解题的关键是求出． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况 【详解】解：∆， 所以方程无实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac；当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项，对各选项进行判断即可．熟练掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项是解题的关键． 【详解】解：A中，正确，故符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：A． 8. 如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为30m，若坡度，则此斜坡的水平距离为（　　） A. 75m B. 50m C. 45m D. 30m 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度等于铅直高度比上水平距离，列式计算即可． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是掌握坡度等于铅直高度比上水平距离． 9. 人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供．如图是小南早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图．下列描述正确的是（ ） A. 从9时至10时血糖呈下降状态 B. 10时血糖最高 C. 从11时至12时血糖呈上升状态 D. 这段时间有3个时刻血糖浓度达到 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像可直接进行求解. 【详解】解：由函数图象知：从9时到10时血糖呈下降状态，9时血糖最高，从11时至12时血糖有上升也有下降状态，这段时间有2个时刻血糖浓度达到；所以描述正确的有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键 10. 某公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 11. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A. B. 8 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， ∵点D（-2，3），AD=5， ∴DH=3， ∴， ∴A（2，0），即AO=2， ∵D（-2，3），A（2，0）， ∴AD所在直线方程为：， ∴E（0，1.5），即EO=1.5， ∴, ∴ED=AD- AE=5-=， ∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED， ∴△AOE ∽△CDE， ∴, ∴, ∴在矩形ABCD中，， ∵∠EAO+∠BAF=90°， 又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF， 又∵∠AOE=∠BFA， ∴△BFA∽△AOE， ∴, ∴代入数值，可得AF=2，BF=， ∴OF=AF+AO=4， ∴B（4，）， ∴将B（4，）代入反比例函数，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填写在答题卡上．） 13. 当______时，分式的值为零． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可． 【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键． 14. 有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 先找出4的整数倍的个数，再根据概率公式可得答案． 【详解】一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张， ∴从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是． 故答案为：． 15. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 16. 如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）， 在数轴上表示为 ． 【解析】 【分析】（1）分别根据负整数指数幂的运算法则、立方根的定义以及绝对值的性质进行计算，然后按照实数的运算顺序进行加减运算． （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为得到不等式的解集，再在数轴上表示出该解集． 【详解】解：（1） ； （2） 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、立方根、绝对值的运算以及一元一次不等式的解法，熟练掌握这些运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 18. 如图，在中： （1）尺规作图：分别在边上取点，使得线段等于线段的一半（要求：不写作法，保留作图痕迹，标清楚字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）依据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．所以要作出、的中点、，连接，即为满足条件的线段 ． （2）先通过勾股定理逆定理判断的形状，求出其面积．再利用中位线性质得到与的平行关系，进而判定与相似，最后根据相似三角形面积比与相似比的关系计算的面积 ． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线，垂直平分线与、的交点分别为、，连接，即为所求． 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ． ． 、是、中点， 是中位线， ，， ． ， ． 【点睛】本题主要考查尺规作图（作线段垂直平分线）、勾股定理逆定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质 ．熟练掌握三角形中位线定理构建相似关系，以及相似三角形面积比的应用，是解决本题的关键． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3） 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 20. 【项目化学习】 【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物就开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系 【研究步骤】．取一桶桶装水，打开置于空气中；．每天测量并记录桶装水中的菌落总数；．数据分析，形成结论． 【试验数据】 试验天数天 0 1 2 3 4 菌落总数 15 20 25 30 35 【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数． 【问题解决】 （1）求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后超过几天不能饮用？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、函数关系式，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）利用待定系数法计算即可； （2）令，得到关于的一元一次不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， 桶装水打开后超过天不能饮用． 21. 如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交⊙O于E，连接AE、BE，过点A作，垂足F，． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若，，则DE的长是多少？ （3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，写出其变化范围；如果不变，求出其值． 【答案】（1） 证明：连接AC，OA，OC， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点C是弧AB的中点， ∴， ∴AB⊥OC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OA是半径， ∴AF是⊙O的切线． （2）12 （3）的值不变， 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接AC，OC，OA．想办法证明OA∥BF即可解决问题； （2）证明△BCD∽△ECB，推出，求出CE即可解决问题； （3）如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．证明△ACE∽△ABN，推出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 的值不变 理由：连接AC，OC，OC交AB于H，作交BE的延长线于N， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 的值不变． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键． 22. 综合探究 如何确定网球发射器的位置？ 素材1 图1是一个网球场，中线米，球网过中点，网高米，中线段有一个自动网球发射器，发射后，网球呈抛物线在正上方飞行． 素材2 图2是发射器在点处发射的示意图，网球落在点处，测得，米，米．当网球飞行的水平距离为米时，离地最高处为米． 素材3 发射器的发射角度不变，网球飞行时的高度不低于米才能顺利过网．为了让网球落在目标点处，将发射器向点移动米，发射口上调米． 问题解决 任务1 确定发射路线 在图2中，以点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的表达式． 任务2 尝试改变发射 尝试当时，计算说明能否实现目标？ 任务3 探究移动距离 求的最小值． 【答案】任务1: ；任务2: 此时网球过不了网，不能实现目标；任务3: 的最小值为． 【解析】 【分析】任务1: 以点为原点，为轴建立平面直角坐标系，利用顶点式设该抛物线的解析式为，将代入即可求得答案； 任务2: 根据平移可得新抛物线的解析式，当时，米米，此时网球过不了网，不能实现目标； 任务3: 根据题意得新抛物线为，将代入，并结合，利用解不等式即可求得答案． 【详解】解: 任务1: 以点为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图，则， 抛物线的顶点为， 设该抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得: ， ， 该抛物线的解析式为； 任务2: 不能，理由如下: 将原抛物线沿轴向右平移米， 则新抛物线为， 如图，设此时发射器在处，此时， 由题意知: （米），由平移得米， 则（米）， 点是的中点， （米），（米）， 根据题意网球飞行时点处的高度不低于米才能顺利过网， 令，则（米）米， 此时网球过不了网，不能实现目标； 任务3: 由题意知，新抛物线最高点必须过网，网最高点处坐标为，发射口上调米， 则新抛物线为， 将代入得: ， 即． ， ， ， 即， 整理得，， 当时，解得或（不合题意舍去）； 当时，解得: ， 综上可得； 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 23. 在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： （1）在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在中，，，则到边的距离是___________． （2）如图2有一张三角形纸片，在上，且，点为边上一个动点．将纸片沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，求点到边距离的最小值． （3）如图3，有一矩形纸片，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．做点关于点的对称点，连接，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接，试求面积的最小值． 【答案】（1）4 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据垂线段最短，作出图形，根据折叠的性质求解即可； （3）连接， 过点D作的于点G，根据平行线间的距离及三角形面积得出，当且仅当点E到的距离最小时，面积的最小，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理确定，，结合题意得出点E的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的弧，当点D、E、G三点共线时，点E到的距离最小值为，利用三角形面积即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 ∵垂线段最短， ∴当时，点到边距离的最小， 如图所示： 由（1）得， ∵折叠， ∴， ∴， ∴点到边距离的最小值为2； 【小问3详解】 连接， 过点D作于点G． ∵， ∴． ∴． ∴当且仅当点E到的距离最小时，面积的最小． 由对称可知，． ∴为等腰直角三角形，且． ∴． ∵点C的对应点为点E， ∴， ∴点E的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的弧， ∴当点D、E、G三点共线时，点E到的距离最小值为． ∴面积的最小值为， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，运动轨迹问题及勾股定理解三角形等知识，第三个问题解题的关键是确定点E的运动轨迹，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $