精品解析：2025年河南省洛阳市地矿双语学校九年级下学期6月份数学测试卷

2024-2025学年度6月份第一次练习九年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走1个或2个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的正方体不可能是（ ） A. ④ B. ③ C. ② D. ① 3. 《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 4. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某种兔子身体颜色由一对等位基因控制，其中白色为显性，黑色为隐性．若一只白色兔子（基因型为）与一只黑色兔子（基因型为）交配，其后代中出现白色兔子的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 计算（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　） A. B. C. D. 36 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个只含有字母，且系数为的次单项式是______． 12. 如图，是甲、乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，小华认为甲家庭的全年教育支出费用比乙家庭多，你同意他的看法吗？________（填写“同意”或者“不同意”）． 13. 如图，是的半径，是的弦，于点E，是的切线，交的延长线于点D．若，，则线段的长为______． 14. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，这是一张矩形纸片，为上的一点，，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，且的延长线经过点． （1）若，则______．（用含的式子表示） （2）若，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 19. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，，，两点，与轴交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时，的取值范围； （3）连接，，若的面积为，则的值为 ． 20. 某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本的单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 21. 古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今． 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）． （1）求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：） 22. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 … 运动速度（） … 滑行距离 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离． 23. 综合与实践 在四边形中，点是边上一点 （可与端点重合），点关于直线的对称点为点， 连接． （1）如图1，若四边形为正方形，点与点重合． 与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2， 若四边形为菱形， 为边的中点，请写出与的数量关系及位置关系，并仅就图2的情形说明理由； （3）在 （2） 的条件下， 连接， 将绕点A在平面内旋转，当 时，请直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度6月份第一次练习九年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 根据绝对值的意义，即可解题． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 最接近标准质量的是， 故选：D． 2. 如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走1个或2个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的正方体不可能是（ ） A. ④ B. ③ C. ② D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】分别取走①②③④中的一个或两个，然后再分别确定其左视图，最后再原原几何体的左视图对比即可． 【详解】取走①，②，③中的一个的左视图如下： 取走④的左视图如下： 原几何体的左视图如下： 所以，如果取走④号正方体，则左视图与原几何体的左视图不相同． 故选A． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 3. 《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：依题意， 故选：D 4. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 5. 某种兔子身体颜色由一对等位基因控制，其中白色为显性，黑色为隐性．若一只白色兔子（基因型为）与一只黑色兔子（基因型为）交配，其后代中出现白色兔子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；列表求出所有等可能情况及出现白色兔子的可能情况，利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A a a Aa aa a Aa aa 由表知，所有等可能情况有4种，出现白色兔子的情况有2种， 则后代中出现白色兔子的概率是； 故选：B． 6. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 7. 如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得，，，由勾股定理求出，可得，再证明得，进一步可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 8. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，可得四边形为矩形，即得，再分别解和，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，则， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点距地面的高度为， 故选：． 9. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 10. 如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　） A. B. C. D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选． 【详解】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称， 连接，得， 连接，作，垂足为， 由三角形三边关系和垂线段最短知， ， 即有最小值， 菱形中，，， 在△中，， 解得， 是图象上的最低点 ， 此时令与交于点， 由于，在△中， ，又， ， 又的长度为，图2中是图象上的最低点， ， 又， ， 故选：A． 【点睛】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于通过翻折点轴对称），然后利用三角形三边关系及垂线段最短原理，判断出最小值为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个只含有字母，且系数为的次单项式是______． 【答案】或 （写一个即可） 【解析】 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义即可求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：和是一个只含有字母，且系数为的次单项式， 故答案为：或（写一个即可）． 12. 如图，是甲、乙两个家庭全年支出费用的扇形统计图，小华认为甲家庭的全年教育支出费用比乙家庭多，你同意他的看法吗？________（填写“同意”或者“不同意”）． 【答案】不同意 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，由于甲、乙两家全年支出未知，因此两家全年教育支出费用的多少也无法确定，即可得出结论． 【详解】解：由于甲、乙两家全年支出费用未知，因此两家全年教育支出费用的多少也无法确定，无法比较谁多谁少． 故答案为：不同意． 13. 如图，是的半径，是的弦，于点E，是的切线，交的延长线于点D．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质．根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 15. 如图，这是一张矩形纸片，为上的一点，，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，且的延长线经过点． （1）若，则______．（用含的式子表示） （2）若，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，表示出，再利用，得，从而得到结果； （2）由题意，表示出，利用，求出，结合勾股定理，得到结果． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵把矩形纸片沿折叠，点，的对应点分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：； （2）∵，，设，则， ∵， ∴， ∵把矩形纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 在中， ，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂、二次根式的运算、分式的化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据分式的通分，分式的除法法则化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40； 任务2：6； 任务3：①； 任务4：乙园的柑橘品质更优， 理由如下：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为： ， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：略 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，，，两点，与轴交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时，的取值范围； （3）连接，，若的面积为，则的值为 ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两函数、的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可； （2）由图象可知当在、两点之间时，所以取值在、两点横坐标之间； （3）根据平移性质可知，，求出两直线之间的距离即为的高，通过、坐标求出线段长，列出面积的代数式求解即可． 【小问1详解】 一次函数的图象与函数 的图象交于，两点， ，， 解得：，， 与的解析式为：，； 【小问2详解】 从图象上可以看出，当在两点之间时，， 的取值范围为：； 【小问3详解】 作于，如图， 直线是直线沿轴向上平移个单位长度得到， ，， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 即直线与、坐标轴的交点到原点的距离相等， ， ， ， ，等于平行线、之间的距离， ， ， 、两点坐标为：，， 线段， ， 的面积为， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图象上的点的坐标求函数解析式，通过图象查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键． 20. 某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本的单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 【答案】（1）10元 （2）；当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元 （3）当或时，在甲、乙两家商店购买均可；当时，应在甲商店购买；当时，应在乙商店购买 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）设这款笔记本的单价是x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）根据优惠活动分别写出关于x的函数关系式，设，列关于x和y的二元一次方程组并求解，说明点M的实际意义即可； （3）根据图象和点M的坐标作答即可． 【小问1详解】 解：设这款笔记本的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：这款笔记本的单价为10元． 【小问2详解】 解：当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 由图象可知，点M是函数和图象的交点， 故令，解得，此时， ∴点M的坐标为． 点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元． 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，， 当时，， 当时，， ∴当或时，在家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可；当时，应选择甲商店购买；当时，应选择乙商店购买． 21. 古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今． 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）． （1）求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）证明：和为的切线， ， ， 在四边形中， ， ， 又， ； （2）解：该纺车纺线时不舒适，理由如下： 过点分别作于点，于点，如解图所示，则四边形是矩形， ， ， 由题意得：， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， 该纺车纺线时不舒适． 【解析】 【分析】（1）由和为的切线，得到，在四边形中得到，再由，即可得到； （2）过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，在中和在中，由三角函数求出的长，最后由即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 22. 【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 … 运动速度（） … 滑行距离 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离． 【答案】任务二：观察分析: ； ； 任务三：问题解决： 滑行距离为. 【解析】 【分析】任务二: 观察分析: 待定系数法求解析式, 即可求解； 任务三: 问题解决: 先求得速度为时, , 将代入二次函数解析式, 即可求解； 本题主要考查了二次函数的应用, 解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法解题是关键． 【详解】解: 任务二: 观察分析: 设, 将点, 代入得, , ， ， 设由题意可得， , 解得, ， 任务三: 问题解决: 由题意, , 当时, 即. , 当时, ， 滑动距离为． 23. 综合与实践 在四边形中，点是边上一点 （可与端点重合），点关于直线的对称点为点， 连接． （1）如图1，若四边形为正方形，点与点重合． 与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2， 若四边形为菱形， 为边的中点，请写出与的数量关系及位置关系，并仅就图2的情形说明理由； （3）在 （2） 的条件下， 连接， 将绕点A在平面内旋转，当 时，请直接写出 的值． 【答案】（1）， （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质和正方形的性质证明，证明四边形是平行四边形， 则即可； （2）连接，证明，则，设，求出，，，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点关于直线的对称点为点，点与点重合 ∴垂直平分，，， ∵正方形中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 ，，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形，平分， ∴， ∵为边的中点， ∴ ∵点关于直线的对称点为点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 即 【小问3详解】 设与相交于点，如图， 当将绕点在平面内旋转，当点N旋转到的中点，点旋转到的中点时，满足题意，即将绕点在平面内旋转到时满足题意，此时， 在等边中，设， 由（2）知则，，， ∴， 当将绕点在平面内旋转到与关于点A成中心对称时，即将绕点在平面内旋转到时，三点共线，满足题意，此时，则，， ∵， ∴， 综上可知，的值为或． 【点睛】此题考查了轴对称的性质、旋转的性质、解直角三角形、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特四边形的性质、旋转的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $