广东省揭阳市真理中学2025-2026学年上学期第一次综合训练九年级数学科目模拟试卷01

广东省揭阳市真理中学2025-2026学年第一学期第一次综合训练九年级数学科目模拟试卷01 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 3．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则 m 的值为(　　). A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在 4．如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） 题4 题6 题10 A． B． C． D． 5．学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，若上各取一点，使的值最小，求这个最小值（　　） A．5 B． C． D． 7．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　) A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（　　） A． B．或 C．或 D．或 9．已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 10．下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④．其中正确的命题有（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④ 二、填空题 11．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为　 　. 12．如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为　 　． 题12 题14 13．设 且 则 　 　 14．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点、，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是　 　． 15．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是　 　． 三、解答题 16．解方程： 17．先化简再求值：，其中． 18．如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为． （1）求证：； （2）若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长． 19．“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”.9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． （1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ （2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 20．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______． ②已知实数a，b满足：，则______． （2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围． （3）设实数a，b分别满足，且，求的值． 21．合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，求的面积． 22．某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 23．【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长． 【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度． 答案 1．C 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B 11．【答案】13 12．【答案】 13．【答案】32 14．【答案】 15．【答案】2029 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 是中点，， ． 19．【答案】（1）该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元（2） 20．【答案】（1）①，；② （2）解：∵实数m、n、t满足：， ∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根， ∴，即， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， 且， ∴。 （3）解：∵实数a，b分别满足，且， ∴， ∴方程可变形为， ∴a，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 21．【答案】【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ； 【解决问题】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由（1）得， ，， ∵， ，， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ； 【拓展研究】解：当线段与交于点时，过点作于，如图， 是的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； 当的延长线交于点时，过点作，交延长线于， 由上可知， ， ， 综上所述，的面积是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$