第二十一章 一元二次方程 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

24(cm2). 十位数字：32一2=7. 当0<t<6时，如图①所示. 即原来的两位数为73. 7.D 8.解：(1)设这个增长率为x,则2月份获得利润 20(1十x)万元，3月份获得利润20(1+x)2万元， 依题意，得20(1十x)2-20(1十x)=4.8, ① 整理，得25x2+25x-6=0, 解得x1=0.2=20%,x2=-1.2(不合题意，舍去). SAA0=212-2)(8-t)=24, 答：这个增长率为20%. 整理，得t2一14t+24=0, (2)20×(1+20%)2=28.8(万元). 解得t1=12(舍去)，t2=2. 答：3月份的利润是28.8万元. 9.D 当6<t<8时，如图②所示 P 10.解：(1)(20+2x) (2)设单价应降低x元，则每天的销售量是(20十 2x)台 0 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1250. 整理，得x2-30x十225=0. 解得x1=x2=15. ② 答：单价应降低15元. SAAPQ-2 (2-12)(8-t)=24, (3)选择降价20元的方式.理由如下： 整理，得t2-14t+72=0, 当降价10元时，利润为(40-10)×(20+2×10)= 1200(元)； △<0，无解 当t>8时，如图③所示， 当降价20元时，利润为(40一20)×(20+2×20)= 1200(元)； Px5---------0 当降价30元时，利润为(40一30)×(20+2×30)= 、A 800(元). .1200=1200>800,且要清库存， .选择降价20元的方式. 1.c121D.(5)=180(8不能 ③ 13.解：(2x-1)(x-5)=18 S△A=2(2t-12)(t-8)=24 2x2-11x-13=0 (1)x不可能小于6，不可能大于7. 整理，得t2-14t+24=0, 当x小于6时，x-5<1,2x-1<11, 解得t3=12,t4=2(舍去) 则其面积小于18，∴.x不可能小于6. 综上所述，经过2秒或12秒，△APQ的面积是 当x大于7时，x-5>2,2x-1>13, △ABC面积的一半. 则其面积大于18，∴.x不可能大于7. 专题二一元二次方程的实际应用 (2)由题意，得2x2-11x-13=0. 1.B 2.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染x人， 解得，号：=一1含去). 根据题意，得1十x+x(x十1)=81， 整理，得(x十1)2=81， 答：这橱广告牌原来的边长是米。 解得x1=8,x2=一10（不合题意，舍去）. 本章综合提升 答：每轮传染中平均一个人传染8人. 【本章知识归纳】 (2)81+81×8=729(人). 答：经过三轮传染后共有729人会患流感. ax2+bx+c=0(a≠0) 3.C -b±Wb2-4ac = 4.解：(1)设应该邀请x支球队参加比赛， 2a 依题意，得2x(x一1)=15， 1十x2=- a·x2-C a 解得x1=6,x2=-5(不合题意，舍去). 【思想方法归纳】 答：应该邀请6支球队参加比赛， 【例1】思路分析：本题考查一元二次方程的解及代数式 1、 求值，将原式进行正确的变形，整体代入求值是解 (2)3+2×5×4=13(场). 题的关键 答：实际共比赛13场. 解：：a为方程2x2-3x一1=0的一个根， 5.C .2a2-3a=1, 6.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为 原式=a2-1+3a2-6a=4a2-6a-1, x2一2，由题意，得 .原式=2(2a2-3a)-1=1. 10(x2-2)+x-(10.x+x2-2)=36, 【变式训练1】A 解得x1=3,x2=一2（不合题意，舍去）， 【变式训练2】解：，a为方程x2-3x-6=0的一个根， ∴.a2-3a-6=0, 为x2-6x十8=0，解得x1=4,x2=2,即a=b .a2-3a=6, 4,c=2或a=c=4,b=2, ∴.-3a2+9a-5=-3(a2-3a)-5=-3×6 所以△ABC的周长=4十4+2=10. 5=-23. 【变式训练5】解：4x2-(m-2)x十1=(2x)2 【例2】思路分析：设x2一6=m,则原方程换元为 (m-2)x+12, m2一m一2=0，利用换元法达到降次，进而求解. .-(m-2)x=士2X2xX1, 解：设x2一6=m,则原方程换元为m2-m-2=0. ∴.m-2=4,或m-2=-4, (m-2)(m十1)=0，解得m1=2,m2=-1. 解得m=6或m=-2. ∴.x2-6=2或x2-6=-1. 【变式训练6】解：(1)方程两根互为倒数，根据根与系 解得x1=2V2,x2=-2√2，x3=-√5，x4=V5, 数的关系x1·x2=1且△≥0， 【变式训练3】解：设2x+1=y,则原方程可变形为 即a2=1且(2a-1)2-4a2≥0， y2-3y=-2, 1 a=±1且a≤4： 解得y1-1,y2=2. 当y=1时，2x十1=1，.x=0; ∴.当a为一1时，方程两根互为倒数 1 (2)|x1=x2, 当y=2时，2x十1=2，.x= 21 x1=x2或x1=-x2 1 当x1=x2时，△=0， ∴原方程的解为x1=0,x2=2· 1 即(2a-1)2-4a2=0,-4a+1=0,a= 【变式训练4】解：当a≠b时，由实数a,b满足a2 4； 1 8a十5=0，b2一8b+5=0,可把a,b看成是方程 当x1=-x2时，2a-1=0,a=2 x2一8.x十5=0的两个根， ∴.a+b=8,ab=5, 6-1+8 a-1 (b-1)2+(a-1)2 Yst a-1 (a-1)(b-1) ∴a的值是子 a2+b2-2(a+b)+2 【通模拟】 ab-(a+b)+1 (a+b)2-2ab-2(a+b)+2 1.D2.D3.A4.D5.A6.D7.D8.B 1 ab-(a+b)+1 9.a≠2 10.404611.-2 64-10-16+2.40 =-20; 12.解：(1)她们的解法都不正确，打“×”略.正确的解 5-8+1 -2 当a=b≠1时，：6-1+a-1=a-1+a-1 答过程如下： a-1+b-1-a-l+a-1 3(x-3)=(x-3)2, 移项，得3(x-3)-（x一3)2=0， 1+1=2. 提取公因式，得(x一3)(3一x+3)=0, 【例3】思路分析：(1)先计算根的判别式的值得到△= .x一3=0或6一x=0, 4k2-12k十9，配方得到△=(2k-3)2,根据非负数 的性质易得△≥0，则根据根的判别式的意义即可 解得x1=3,x2=6. (2)ax2=bx(a≠0)的一般解法： 得到结论. 移项，得ax2一bx=0, (2)分类讨论：当b=c时，则△=（2k一3)2=0，解 提取公因式，得x(ax一b)=0, 3 得k=),然后解方程得到6=c=2,根据三角形三 .x=0或ax-b=0, 边关系可判断这种情况不符合条件；当a=b=4或 解得x1=0,x2一a Q=C=4时，把x=4代入方程可解得k= 2,则方 13.解：(1)小宇的说法不正确. 理由如下：解方程200十20x=500,得x=15, 程化为x2-6x十8=0，解得x1=4,x2=2,所以 .30-15=15元， a=b=4,c=2或a=c=4,b=2,然后计算△ABC .15元<16元，.亏本， 的周长. 小宇的说法不正确. 解：1)证明：4=(2+1)2-4×4(k-2)） (2)由题意，得(30一16-x)(200+20x)=2860, 解得x1=1,x2=3. =4k2+4k+1-16k+8, 由于增加销售量可以减少库存，故x=1不合题意 =4k2-12k+9 舍去， =(2k-3)2 .每本科普读物的售价降低3元.即x的值为3. .(2k-3)2≥0，即△≥0， 【通中考】 ∴.无论k取何值，这个方程总有实数根 14.解：(1)A区显示的结果为25+2a2,B区显示的结 (②)当6=c时，4=(2k-3)=0,解得友=，方程 果为一16-6a. (2)这个和不能为一1. 化为x2-4x十4=0，解得b=c=2,而2+2=4，故 理由：根据题意，得25+4a2+(-16-12a)=一1. 舍去； 4a2-12a+10=0,2a2-6a+5=0. 当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程，得 .△=(-6)2-4X2×5=-4<0, 16-4(2k+1)+4(-2)=0解得及=号，方程化 .这个和不能为一1.本章综合提升（答案P6) 本章知识归纳 元二 一 一元二 次方程 次方程 配方法 ax2+bx+c=0(a≠0)，△>0， 的概念 的解法 方程有两个不等的实 公式法 根：△=0，方程有两个 因式分解法 相等的实根；△<0，方程 一元二次 次 无实根 方程的根 的情况 一元二 方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 一元二 次方程 数量关系 列一元二次方 的两根为1,2，则 次方程 的应用 程解应用题 一元二次方程 的探索 的根与系数的 等量关系 关系 思想方法纳》> 【变式训练2】若a为方程x2-3x一6=0的 一个根，求代数式一3a2+9a一5的值， 1.整体思想 把某个式子看成一个整体，从而使问题得到 简化，将问题移至新对象的知识背景中去研究， 能使复杂问题简单化. 台子链接本章 《- 通过将一元二次方程的解代入得到 个代数式的值，再将所求代数式进行化简 2.转化思想 变形，利用整体代入法，求出代数式的值。 通过对条件的转化，结论化繁为简，使问题 【例1】已知a为方程2x2-3.x-1=0的 化难为易，化生为熟，化未知为已知，最终求解一 一个根，求代数式(a+1)(a一1)+3a(a-2) 元二次方程，这个过程体现了转化的思想方法。 的值. “台链接本章 解某些高次方程或具有一定结构特点 的方程时，我们可以通过换元转化的方法， 把方程转化为一元二次方程进行求解，从 而达到降次或变复杂为简单的目的. 【例2】解方程：(x2一6)2一(x2一6) 2=0. 【变式训练1】已知实数x满足(x2-x)2 4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值 是() A.7 B.-1 C.7或-1 D.-5或3 25 优*学秦·课时通 【变式训练3】解方程：(2x十1)2一3(2x+ (2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两 1)=-2. 边b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的 周长 【变式训练4】若实数a,b满足a2-8a十5= 060+5=0,水2号+8号的值 【变式训练5】若方程4x2-(m一2)x十1=0 的左边是一个完全平方式，求m的值. 3.分类讨论思想 当所研究的情形符合题意的值不止一个可 【变式训练6】已知x1,x2是关于x的方程 分情况进行分析，可以采用逆向思维、逻辑推理、 x2十(2a-1)x十a2=0的两个实数根， 抽象分析等不同的策略进行分类讨论，以便更好 (1)当a取何值时，方程两根互为倒数， 地解决问题、 (2)如果方程的两个实数根x1,x2满足 台子链接本章 x1=x2,求a的值. 根据题目中的隐含条件或实际意义确 定未知数的值，题目中情形不唯一时，需进 行分类讨论， 【例3】已知关于x的方程x2一(2k+1)x+ 4(k-2)-0, (1)求证：无论k取何值，这个方程总有实 数根. 一九年级上册数学·」河北专用 26 通模拟 >>>>>>>>>>>> A.1,5 B.2,3 C.1,-5 D.1,-6 1.(2023·石家庄新华区模拟)方程x2一5x=0 7.(2023·唐山丰润区二模)我国古代著作《四元 的解是() 玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十 A.x1=x2=0 B.x1=x2=5 钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准 C.x1=0,x2=-5 D.x1=0,x2=5 2.(2023·唐山古冶区期中)一元二次方程(x十 与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批 3)(x一1)=2x一4化为一般形式是( 椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是 A.x2-1=0 B.x2-7=0 3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好 C.x2+4x+1=0 D.x2+1=0 等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株 3.(2023·廊坊香河三模)若关于x的一元二次 椽？设这批椽的数量为x株，则下列结论正确 方程x2一6x一m=0有两个相等的实数根，则 的是() 这两个根的和是() A.(3x-1)x=6210B.3x=6210 A.6 B.3 C.-6 D.-9 C.x=45 D.x=46 4.(2023·廊坊广阳区模拟)关于x的一元二次 8.(2023·邯郸武安模拟)如果关于x的一元二 方程x2十mx一2=0有一个解为x=1,则该方 次方程ax2+bx十c=0有两个实数根，且其中 程的另一个解为() 一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为 A.0 B.-1 “2倍根方程”，以下说法不正确的是( C.2 D.-2 A.方程x2一3x十2=0是2倍根方程 5.（2023·保定高碑店模拟)已知关于x的一元 B.若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是 二次方程2x2-(m+n)x+mn=0,其中m,n 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根 2倍根方程，则m十n=0 的情况是( ) C.若m十n=0且m≠0，则关于x的方程 (x-2)(mx十n)=0是2倍根方程 n 0 D.若2m十n=0且m≠0，则关于x的方程 A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 x2+(m一n)x-mn=0是2倍根方程 C.没有实数根 9.(2023·保定顺平期中)若关于x的方程 D.无法确定 (a-2)x2+2x-1=0是一元二次方程，则a 6.(2023·石家庄桥西区模拟)已知直线y=mx十 满足的条件是 n如图所示，则关于x的方程x2+m.x=n的 10.(2023·廊坊安次区一模)若a,b是方程x2 根是() 2023x+2=0的两个实数根，则ab(a+b)的 值为 11.应用意识》非零实数m,n(m卡n)满足 m2一m一2=0，n2-n-2=0,则+1的值 -L----9-1----- 为 27 优学秦·课时通 12.(2023·河北模拟)小丽与小霞两位同学解方 (2)若该书店销售此科普读物想平均每月的 程3(x一3)=(x一3)2的过程如下框： 销售利润为2860元，求x的值. 小霞： 小丽： 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 两边同除以 提取公因式，得(x一3)(3-x (x-3),得 3)=0. 3=x-3, .,x-3=0或3-x-3=0, 解得x=6. 解得x1=3,x2=0. (1)你认为她们的解法是否正确？若正确请 在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写 通中考)》%>沙9992》9” 出你的解答过程. (2)请结合上述题目总结：形如a.x2=bx(a≠ 14.(河北中考改编)有一电脑程序：每按一次按 0)的一元二次方程的一般解法. 键，屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区 就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已 知A,B两区初始显示的分别是25和一16，如 图所示.例如：第一次按键后，A,B两区分别 显示 A区 B区 25+a2 -16-3a (1)从初始状态按2次后，分别求A,B两区显 示的结果 (2)从初始状态按4次后，计算A,B两区代数 式的和，请判断这个和能为一1吗？请说明 理由. A区 B区 -16 13.(2023·衡水模拟)某书店销售一本科普读 物，进价为每本16元，若按每本30元销售， 平均每月能卖出200本.经市场调研发现：在 不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降 低1元，则平均每月可多卖出20本.设每本 科普读物的售价降低x元. (1)小宇说：“既然是薄利多销，那么平均每月 的销售量一定能达到500本，列出方程： 200+20x=500.”请判断小宇的说法是否正 确，并说明理由， 一九年级上册数学河北专用 28