精品解析：2025届河南省周口市扶沟县高级中学高考数学押题卷一

扶沟高中2025届模拟押题卷（一） 数 学 2025.5 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则＝(　　) A. 1 B. 2 C. D. 5 3. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（ ） A. B. C. D. 8. 数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为，其图象如图所示.若将满足，的点称为整点，则满足的整点有（ ） A. 9个 B. 17个 C. 25个 D. 33个 二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 11. 已知三次函数，则（ ） A. 函数一定有两个极值点 B. 当时， C. 当时，的极小值为0 D. 在区间上的值域为 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知等差数列的前5项和，，则_______． 13. 写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程__________. 14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点. （1）求证：四边形为直角梯形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 17. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线的斜率为3，求. （2）已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． （1）求t的值； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扶沟高中2025届模拟押题卷（一） 数 学 2025.5 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式不等式与对数不等式分别求解集合，再求交集即可. 【详解】 ， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则＝(　　) A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算，即可得到，再利用复数模的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 6. 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可得解. 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为， 取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则，因为，， 所以，在中，， 所以，解得或，即. 故选：D. 7. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，，，不妨设，则，利用正余弦定理以及三角形的面积公式可得 ，结合离心率可求值. 【详解】设中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，，， 不妨设，则， 中，由正弦定理，得， 中，由余弦定理，得， ∴， ， ∵， ∴， ∵，∴. 故选：D. 8. 数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为，其图象如图所示.若将满足，的点称为整点，则满足的整点有（ ） A. 9个 B. 17个 C. 25个 D. 33个 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，找到在第一象限满足的整点，再找到的整点，则可得四个象限内的整点，再加这一点可得答案. 【详解】由，得，则满足， 因为， 所以，即， 则第一象限内满足的整点有， 其中满足的有，共6个， 所以满足的整点有个. 故选：C. 二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项利用上四分位数的计算方法进行计算；B选项利用对立事件及条件概率公式进行检验；C 选项利用正态分布中的意义进行解释；D选项利用方差公式进行计算. 【详解】对于A选项，将数据从小到大排列为3，4，6，7，8，9，10，11，共8个数， 则，则上四分位数为，故A错误； 对于B选项，，， 由条件概率公式得，得到， 即C，D相互独立，故B正确； 对于C 选项，，， 由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； 对于D选项，由样本数据，，，，的平均数为4， 得，，，，，4的平均数为4， 由，，，，的平均数为22，得， 因此，，，，，4的方差为， ，，，，，9的方差为，故D正确. 故选：BD. 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，得到A正确；B选项， ，故B正确；C选项，先求出，计算出，故C错误；D选项，，D正确. 【详解】由题意得，故， 定义域为，关于原点对称； A选项，， 是函数的一个周期，故A正确； B选项，， 关于，故B正确； C选项，，；， 显然，故在区间上不单调递增，故C错误； D选项， ， 的图象关于点中心对称，D正确． 故选：ABD． 11. 已知三次函数，则（ ） A. 函数一定有两个极值点 B. 当时， C. 当时，的极小值为0 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AD，利用特例法可判断其正误，对于B，利用作差法可判断其正误，对于C，判断导数的符号可判断其正误. 【详解】对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误； 对于B，， 而，故，故，所以， 故B正确； 对于C，， 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 故C正确； 对于D，当，时， 则当或时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 取，则， 考虑方程在上是否有解， 设，则， ， 由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则, 则在上的值域为， 故D成立， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可. 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知等差数列的前5项和，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前和公式求出，进而求得公差，再由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为等差数列的前5项和，， 则，所以， 所以，解得等差数列的公差， 则. 故答案为：. 13. 写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程__________. 【答案】（或 ，两者填一个即可） 【解析】 【分析】对抛物线方程求导，列出直线方程，根据直线与圆相切得到方程，求出答案. 【详解】设公切线与抛物线切于点， 因为，所以， 所以M处的公切线方程为， 即 ， 结合公切线与圆相切，即 与 相切， 故 ， 解得， 所以公切线的方程为或  故答案为：（或 ，两者填一个即可） 14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将的高次方展开并求得除以之后的余数，令余数能被整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率. 【详解】设， 则位四进制数转换为十进制为 ， 若这个数能被3整除，则能被整除． 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 当这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数由，，，组成时，有个； 这个四进制数都由组成时，有个． 因为由，，组成的位四进制数共有个， 所以能被整除的概率． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将进制转化为进制之后，利用二项式定理来求解能否被整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面.点在侧棱上（端点除外），平面交于点. （1）求证：四边形为直角梯形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，则平面. 因为平面，平面平面，则. 又，所以四边形为梯形. 因为平面平面，则， 又平面，所以平面. 又平面，则，所以四边形为直角梯形. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理和判定定理证明，再由线面垂直的性质定理和判定定理证明，即可证明四边形为直角梯形； （2）解法一：以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和直线的方向向量，由线面角的向量公式求解即可；解法二：作，垂足为，由面面垂直的判定定理证得平面，连接，则为直线与平面所成的角，在Rt中，求出，由，代入求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：以为原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， . 因为，则. 设为平面的法向量，则即 取，则，所以. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：因为平面，平面，则平面平面. 平面平面，作，垂足为， 平面，则平面. 连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt中，因为，则. 因为，则. 在中，因为， 由余弦定理，得，则. 由，得，则. 因为，所以， 则. 在Rt中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为 16. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 2 4 6 8 10 期望为． 【解析】 【分析】（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值； （2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”， 则，，； 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”， 则，，； 事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则（C）， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为． 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望． 17. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由等面积法得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边； （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 在中，由， 可得，所以，即， 因，则． 【小问2详解】 由（1）知，则，即：， 所以①，②， 在中，由余弦定理得， 即③， 由①②③得：，解得； 【小问3详解】 如图，因平分，由（1）知， 故， 在中，设，则， 在中，，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 故有（*）． 在中，由正弦定理，得，则， 得，代入（*）式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”． 于是．即的面积的最小值为． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线的斜率为3，求. （2）已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②证明：由①可得，则 两式相加得. 由，得. 要证，只需证. 设，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 从而得证. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案. ②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明. 【小问1详解】 解：由题意得. 因为曲线在处的切线的斜率为3， 所以，得. 【小问2详解】 ①法一：解：令，得.令，则. 当时，单调递增； 当时，单调递减.故. 当趋近正无穷时，趋近，又， 所以，即的取值范围为. 法二：由题意得. 若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点. 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得. 当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；. 故的取值范围为. ②略 【点睛】关键点睛：利用导数证明不不等式，常用方法有如下几种： 方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明； 方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证的关键在于对不等式作等价转换；因为，转换为：不等式的证明. 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． （1）求t的值； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）1； （2），； （3）16. 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上，坐标代入求参数值； （2）根据已知得、，联立抛物线得，根据等差数列的定义有，最后应用裂项相消法及数列的单调性求范围； （3）由（2）及已知得为，应用点线距离公式、两点距离公式以及三角形面积公式求的面积. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，则，解得； 【小问2详解】 由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去得，解得或， 因为，故，即， 故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以，所以， 又是关于的递增函数，故，的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $