精品解析：2025年陕西省咸阳市永寿县马坊中学中考第七次中考模拟数学试题

机密★启用前 2025年陕西省初中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 2. 春运被誉为一年一度的“大迁徙”，游子们借着春节回家．记者从国铁集团了解到，2025年2月4日，全国铁路客运量为1704万人次，则1704万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. 15 C. D. 8. 二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”如图1所示的窗棂的外边框可抽象为正六边形（如图2所示）．若该正六边形窗棂的边长为2，则该窗棂的高为______． 11. 如图，四边形内接于，，，则的度数为______． 12. 春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打______折销售． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为______． 14. 如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解方程：． 18. 如图，为平行四边形的对角线，试在边上确定一点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 20. 两个可以自由转动的转盘如图所示，每个转盘都被分成了面积相等的几个扇形，且分别标有数字，同时转动两个转盘，分别记录转盘停止时指针所指区域内的数字（若指针恰好指向分界线，则需重新转动）．请解答下列问题． （1）第一个转盘转到奇数的概率为______； （2）转盘停止时，用画树状图或列表的方法，求指针所指区域内的两个数字之积为偶数的概率． 21. 2025年春节期间，小明和家人去西安旅游，他们来到西安的地标建筑钟楼．如图，小明在远处抬头看钟楼，此时他看钟楼顶端的仰角是，他往前走了38米（米），转身拍照，发现此时钟楼影子的顶端和他的影子的顶端重合，已知此时他的影长是米，小明的身高是米（眼睛与头顶之间的距离忽略不计），求钟楼的高度．（参考数据：） 22. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的智能送餐机器人欢欢和乐乐从厨房门口出发给客人送餐，欢欢比乐乐先出发，设欢欢行走的时间为，欢欢和乐乐行走的路程分别为，，，与之间的函数关系图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）欢欢出发多长时间后被乐乐追上？ 23. 5月日是我国“防灾减灾日”，为增强学生防灾减灾意识，某学校开展了防灾减灾安全知识培训．培训结束后，为了解这次培训的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行防灾减灾安全知识测试（测试满分分，得分均为不小于的整数），将测试成绩分为四个等级：基本合格（），合格（），良好（），优秀（），并制作了如下两幅统计图（部分信息未给出）． 根据图中给出的信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数为______，扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数为______； （2）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图； （3）估计该校有多少人的成绩在良好及以上． 24. 如图，在中，已知为直径，为圆上一点，过点作的切线，交的延长线于点，为的延长线上一点，过点作的垂线，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 26. （1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______； （2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值； （3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2025年陕西省初中学业水平考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可． 【详解】数轴上表示数﹣的点到原点的距离是， 所以﹣的绝对值是， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 错因分析 容易题．失分原因是绝对值和相反数的概念混淆． 2. 春运被誉为一年一度的“大迁徙”，游子们借着春节回家．记者从国铁集团了解到，2025年2月4日，全国铁路客运量为1704万人次，则1704万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：1704万． 故选：B． 3. 如图，，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角的性质得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 未知数系数化为1得：， 故选：C． 5. 如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． 由直角三角形的性质，可得，由等腰三角形的性质，可知，根据勾股定理计算即可得的长． 【详解】解：∵是直角三角形，为斜边上的中线， ∴点为的中点，， ∵， ∴， 又∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 6. 已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 7. 如图，在菱形中，，点，分别在和上，沿将折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形性质、图形折叠的对称性（对应线段相等）及含特殊角（）直角三角形的边角关系．解题关键在于通过辅助线构造可解的直角三角形，将几何条件转化为代数方程，结合勾股定理实现几何向代数的转化，其中设未知数建立等量关系是突破核心．首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ，， 设，则， ， ， 在菱形中，， ， ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得，（不符合题意，舍去） ， 故选：． 8. 二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵， ∴，②说法错误； ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，⑤说法正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 10. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”如图1所示的窗棂的外边框可抽象为正六边形（如图2所示）．若该正六边形窗棂的边长为2，则该窗棂的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点A作交于点H，首先求出，然后求出，得到，勾股定理求出，进而利用三线合一性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点H ∵六边形是正六边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11. 如图，四边形内接于，，，则的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．由四边形内接于，可得，根据圆周角定理得出，根据等边对等角得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打______折销售． 【答案】八五 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设商店打折，根据题意，列式，进行计算，即可解答． 【详解】解：设商店打折， 依题意， 解得 即商店打八五折销售． 故答案为：八五 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 先分别求得，，从而可求得，，进而求得，再求得，然后利用求出结果． 【详解】解：在反比例函数中， 当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，是的中点，是边上一动点，连接，，将沿折叠得到，连接．当取得最小值时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得出，，再利用勾股定理求得，结合折叠的性质可得出，从而可得出当点落在上时，，此时的值最小，再利用证明，从而可得，再利用正切求得，进而求得当取得最小值时，的长． 【详解】解：如图1，∵四边形是正方形，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，点在上，延长交于点G，作于点H， 则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及有理数乘法、零指数幂、立方根的计算．注意运算顺序及符号处理是解题的关键．先计算乘法，处理零指数幂，计算立方根，然后计算加减即可求解． 【详解】解：， ， ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；7． 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，先利用平方差公式、单项式乘多项式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键是掌握分式方程的解法． 先去分母，再利用单项式乘以多项式展开，然后去括号、合并同类项，求得方程的根，再验根． 【详解】解：． 去分母，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 即． 经检验，是原分式方程的根． 18. 如图，为平行四边形的对角线，试在边上确定一点，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等边对等角等知识，准确作图的关键．根据垂直平分线的作法作线段的垂直平分线，交于点，连接，点即为所求． 【详解】略 19. 如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， 根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知，结合已知（对顶角相等），可证得（），即可根据全等三角形的性质定理证得． 【详解】略 20. 两个可以自由转动的转盘如图所示，每个转盘都被分成了面积相等的几个扇形，且分别标有数字，同时转动两个转盘，分别记录转盘停止时指针所指区域内的数字（若指针恰好指向分界线，则需重新转动）．请解答下列问题． （1）第一个转盘转到奇数的概率为______； （2）转盘停止时，用画树状图或列表的方法，求指针所指区域内的两个数字之积为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）列出表格，根据表格计算即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：转动第一个转盘一次，有种结果，其中转到奇数的结果有种， ∴第一个转盘转到奇数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 第一个转盘 第二个转盘 由表格可知，共有种等可能的结果，其中转盘停止时，指针所指区域内的数字之积为偶数的结果有种， ． 21. 2025年春节期间，小明和家人去西安旅游，他们来到西安的地标建筑钟楼．如图，小明在远处抬头看钟楼，此时他看钟楼顶端的仰角是，他往前走了38米（米），转身拍照，发现此时钟楼影子的顶端和他的影子的顶端重合，已知此时他的影长是米，小明的身高是米（眼睛与头顶之间的距离忽略不计），求钟楼的高度．（参考数据：） 【答案】36米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，过点作于点，易得过点．设米，在中，根据，利用，得出米．证明，得出，即，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，易得过点． ，，， 四边形、四边形、四边形为矩形， 米． 设米，在中，， ， 米． ∵，， ∴， ， 即， 解得， （米）， 答：钟楼的高度约为36米． 22. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能+”引发热议．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的智能送餐机器人欢欢和乐乐从厨房门口出发给客人送餐，欢欢比乐乐先出发，设欢欢行走的时间为，欢欢和乐乐行走的路程分别为，，，与之间的函数关系图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）欢欢出发多长时间后被乐乐追上？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，利用待定系数法求出函数关系式，理解函数图象中坐标点的意义以及待定系数法的运用是解题的关键． （1）利用待定系数法，设出函数表达式，再代入已知点坐标求解； （2）求与函数图象交点的横坐标即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为． 的图象过点，， 解得 ； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为． 的图象经过点， ，解得， ． 令，解得． 故欢欢出发后被乐乐追上． 23. 5月日是我国“防灾减灾日”，为增强学生防灾减灾意识，某学校开展了防灾减灾安全知识培训．培训结束后，为了解这次培训的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行防灾减灾安全知识测试（测试满分分，得分均为不小于的整数），将测试成绩分为四个等级：基本合格（），合格（），良好（），优秀（），并制作了如下两幅统计图（部分信息未给出）． 根据图中给出的信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数为______，扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数为______； （2）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图； （3）估计该校有多少人的成绩在良好及以上． 【答案】（1）， （2）人， 补全频数直方图如图所示． （3）人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，条形统计图和扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角，由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是掌握上述知识点． （1）根据基本合格的人数与所占比例求出抽取的学生人数，根据“优秀”的人数除以抽取的学生人数乘以，可求得扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数； （2）先求出合格的人数，再补全条形统计图； （3）用抽取人中成绩在良好及以上所占的比例乘以该校总人数即可解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 扇形统计图中“优秀”所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意，得合格的人数为． 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校有人的成绩在良好及以上． 24. 如图，在中，已知为直径，为圆上一点，过点作的切线，交的延长线于点，为的延长线上一点，过点作的垂线，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 为的切线， ， ， ． ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接由为的直径得到，根据切线的性质推出，利用推出，即可得到； （2）由（1），知，证明，由对应边成比例求出，，，再利用三角函数解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），知． 又， ， ， ，即， ， ， ， ． 在中，， 在中，， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、直角所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键 25. 如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 26. （1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______； （2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值； （3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理、定弦对定角的隐圆模型、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，求得等边的高为，再利用三角形面积公式求解即可； （2）易得，进而设的半径为，则，，可知，即，据此求解即可； （3）作，交的延长线于点，易证，所以，导角易得，即平分，所以，进而求出面积最小值即可得解，余下思路参考（2）中解法． 【详解】解：（1）是等边三角形，，， ，， 等边的高为， 则， 故答案为：； （2）如图，连接，，，作于点． 设的半径为，由圆周角定理可知，， ， ． 在中，，， ． ， ，即， ， ， ； （3）的面积存在最小值． 如图，作，交的延长线于点． ， ， ， ， ． ，， ， ， ． 作于点，于点， ， ， ， 面积最小时，面积最小． 作，则， 作的外接圆，，连接，，设的半径为． ， ，， ，即，， 当，，三点共线时，最小，最小为， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $