精品解析：四川省成都市成都金苹果锦城第一中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试卷

金苹果锦城第一中学初2023级八下期末模拟评估（一） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 2. 如果a＞b，那么下列结论不一定正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，P，边的垂直平分线分别交，于点N，Q．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. ，的大小关系与的取值有关 6. 将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为（ ）． A. 0 B. C. D. 7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 8. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______． 10. 若分式的值为0，则的值为_____． 11. 如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为__________cm． 12. 如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若B，则的周长为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解不等式组：． （2）解方程：． 15. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点O逆时针旋转得到的；写出，，三点的坐标； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 17. 如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， （1）若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． （2）若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 18. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知代数式的值为3，则代数式的值为_________． 20. 若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是_____． 21. 有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为_______． 22. 如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______． 23. 如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某农场为了提高农作物产量和减少人力成本，计划引入，两种型号的自动化灌溉装置．已知每套型装置每天比每套型装置少灌溉亩地，且农场使用型装置灌溉亩地与使用型装置灌溉亩地所用天数相同． （1）每套型装置和每套型装置每天分别能灌溉多少亩地？ （2）每套型装置售价为万元，每套型装置售价为万元，农场计划购买，两种型号的装置共套，要求型装置的数量不超过型装置的． ①设购买型装置台，购买金额万元，请写出与之间的函数关系式； ②请为农场设计一个最经济的购买方案，并计算该方案下的最低购买总金额． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． （1）当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金苹果锦城第一中学初2023级八下期末模拟评估（一） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 如果a＞b，那么下列结论不一定正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．∵a＞b， ∴a+3＞b+3，原变形正确，故此选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴，原变形正确，故此选项不符合题意； C．∵a＞b， ∴a-3＞b-3，原变形正确，故此选项不符合题意； D．a＞b，不妨设a=1，b=-2，则a2＜b2，原变形不一定正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】】本题考查不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质：1．不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；2．不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3．不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是分解因式，故本选项不符合题意； C ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； D．从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 4. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，P，边的垂直平分线分别交，于点N，Q．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，分别是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，又由三角形的内角和定理可得，结合，易求得的度数，继而求得答案．此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 【详解】解：在中，分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. ，的大小关系与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 6. 将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为（ ）． A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左减上加，确定平移后坐标，解答即可，本题考查了平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】∵点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴平移后坐标为， ∵与点重合， ∴， 解得 故， 故选B． 7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 8. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 利用旋转变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：由旋转变换的性质可知：，， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 ． 10. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质，过点作于， 过点作交的延长线于，则可得到是矩形，然后证明，即可得到，确定是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可． 【详解】解：过点作于， 过点作交的延长线于， ∵， ， ∴四边形是矩形，， ∴， 又∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 另一端离地面的高度为， 故答案为：． 12. 如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据图象法确定不等式的解集即可，熟练掌握图象法求不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为： 13. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若B，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，求解即可． 【详解】解：由图中的尺规作图得：是的平分线， ∵， ∴是等腰三角形 ∴，， ∴∠BEC=90°， ∴BC＝ ∵点F为的中点， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）解不等式组：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先解两个一元一次不等式，然后找出它们的公共部分即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为． 15. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求______； （2）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【小问1详解】 解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； 【小问2详解】 略 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点O逆时针旋转得到的；写出，，三点的坐标； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点、、的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交轴于点，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交轴于点，则点， 则， ∵的面积是面积的倍， ， ， ， ∴点的坐标为或． 17. 如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， （1）若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． （2）若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵为边上的中点， ∴是的中位线， ， ∵为边上的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2） 解：， 证明如下： 如图，延长，交的延长线于点， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）延长，交的延长线于点，证明，推出，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18. 在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【答案】（1），； （2） 解：． 证明： 如图， 延长至点， 使得 ， 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，再由三角形中位线性质可得； （）如图， 延长至点， 使得 ， 连接，同理（）即可求解； （）如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得 ， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得 ， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ， ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值， 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知代数式的值为3，则代数式的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，由题意可得，再将整体代入所求式子，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解的确定，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求解不等式组中的两个不等式，得到解集，再根据该解集恰有三个整数解（即0、1、2），确定的范围，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式：， ， ， ， ， ， 解第二个不等式：， ， ， ， 因此，不等式组的解集为：， 由于该解集恰有三个整数解，即整数解为0、1、2， 故需满足： 解得：， 故答案为：． 21. 有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解分式方程，因为分式方程的解为正整数，进而根据概率公式求解即可． 【详解】∵， ∵分式方程的解为正整数， ∴a+1>0， ∴a>-1， ∴a＝0，1，3 当a=3，x＝1（分式分母为0，不合题意，舍去）， ∴a＝0，1， ∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了解含参的分式方程和求概率的问题，确定分式方程有正整数解时的a的值是解题关键． 22. 如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交于点H，连接，根据题意得到，易证，由等腰三角形的性质推出，推出，证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，即可证明是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点C作交于点H，连接， 点E与点A关于线段所在直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 23. 如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据对称性得出，说明点在以点A为圆心，4为半径的圆上，当、、在同一直线上时，最小，根据最小值，求出，得出点的坐标为，设点P的坐标为：，根据两点间距离公式得出，，根据，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∵原点O关于的对称点为， ∴， ∴点在以点A为圆心，4为半径的圆上，如图所示： ∴当、、在同一直线上时，最小， ∵的最小值为1， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 当轴时，连接，，如图所示： ∵过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点， ∴点P的横坐标为3， 设点P的坐标为：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵原点O关于的对称点为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，坐标与图形，两点间距离公式，勾股定理，解题的关键是根据对称性，求出点B的坐标． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某农场为了提高农作物产量和减少人力成本，计划引入，两种型号的自动化灌溉装置．已知每套型装置每天比每套型装置少灌溉亩地，且农场使用型装置灌溉亩地与使用型装置灌溉亩地所用天数相同． （1）每套型装置和每套型装置每天分别能灌溉多少亩地？ （2）每套型装置售价为万元，每套型装置售价为万元，农场计划购买，两种型号的装置共套，要求型装置的数量不超过型装置的． ①设购买型装置台，购买金额万元，请写出与之间的函数关系式； ②请为农场设计一个最经济的购买方案，并计算该方案下的最低购买总金额． 【答案】（1）每套型装置每天能灌溉亩地，每套型装置每天能灌溉亩地 （2）①；②当购买型装置套，型装置套时，购买总金额最少，最低购买总金额为万元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，找到等量关系列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每套型装置每天能灌溉亩地，则每套型装置每天能灌溉亩地，根据农场使用型装置灌溉亩地与使用型装置灌溉亩地所用天数相同列方程即可得到结论． （2）①由题意可得到购买型装置为套，根据题意得到； ②根据型装置的数量不超过型装置的，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设每套型装置每天能灌溉亩地，则每套型装置每天能灌溉亩地， 由题意得：， 解得：； 经检验是原方程的解， ， 答：每套型装置每天能灌溉亩地，每套型装置每天能灌溉亩地； 【小问2详解】 ①由题意可得：购买型装置为套， ， 与之间的函数关系式为； ②由题意得：， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为， 答：当购买型装置套，型装置套时，购买总金额最少，最低购买总金额为万元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将向右平移两个单位至，则，过轴作点的对称点，连接交轴于点，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定点坐标，进而确定点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 即， 则， 解得：， ， ∵与轴交于点， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 26. 如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． （1）当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）①； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）2或 【解析】 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【小问1详解】 ①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②略 【小问2详解】 解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $