精品解析：2024年浙江省台州市路桥中学自主招生数学试卷

2024年学科素质检测试题卷 数学 考生须知： 1．全卷共三大题，18个小题．满分150分，考试时间90分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卷规定的位置上． 3．请在答题卷上规定地方作答，做在试题卷上或超出密封线区域书写的答案无效． 一、选择题（每小题6分，共48分） 1. 若关于x的不等式组所有整数解的和是10，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ） A. B. 24 C. D. 12 5. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等腰内接于圆O，底边是直径，E为的中点，点D在上，且与相交于点F，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 20 B. 18 C. 10 D. 9 8. 如图，在扇形中，，，D为的中点，P为弧上一动点（不与C，B重合），则的最小值为（　　） A. B. C. 10 D. 二、填空题（每小题7分，共42分） 9. 若，则=_______． 10. 对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为__________． 11. 如图，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、．则该六边形的面积是________． 12. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边上，且，以为边向下作矩形，使得点E在边上，反比例函数的图象经过边与的交点G．若，，则k的值为________． 13. 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，作于点，于点，设．设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值是________． 14. 将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____． 三、解答题（共60分） 15. 在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？ 16. 在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”． （1）若点A的坐标为（0，2），点（2，2），（1，），（，1）中，点A的“等距点”是_______________； （2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标； （3）记函数（）的图象为，的半径为2，圆心坐标为.若在上存在点M，上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围． 17. 如图，直线y与x轴、y轴分别交于A，B两点，动圆M始终与直线相切，设切点为C，圆心M在线段上，且圆M与y轴至少有一个交点，圆M的半径为r，设圆M与x轴的交点为D，E，点E在点D左侧．若圆M与y轴有两个交点，则分别为点F，G，点F在y轴的正半轴．点H为圆M上半圆一动点，连接交x轴于点P． （1）求圆M半径r的取值范围； （2）当，求的值； （3）若，求． 18. 已知抛物线：和：， （1）如何将抛物线平移得到抛物线？ （2）如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A．直线经过点A，交抛物线于另一点B．请你在线段上取点P，过点P作直线轴交抛物线于点Q，连接． ①若，求点P的横坐标； ②若，求点P的横坐标． （3）如图2，的顶点M，N在抛物线上，点M在点N右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、与y轴不平行．若的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n．求m与n的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年学科素质检测试题卷 数学 考生须知： 1．全卷共三大题，18个小题．满分150分，考试时间90分钟． 2．请将学校、姓名、班级填写在答题卷规定的位置上． 3．请在答题卷上规定地方作答，做在试题卷上或超出密封线区域书写的答案无效． 一、选择题（每小题6分，共48分） 1. 若关于x的不等式组所有整数解的和是10，则m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析: 首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的和是10就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 详解: 由①得x＜m； 由②得x≥1； 故原不等式组的解集为1≤x＜m． 又因为不等式组的所有整数解的和是10=1+2+3+4， 由此可以得到4＜m≤5． 故选A． 点睛: 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，是一道较为抽象的中考题，得出关于m的不等式组是关键． 2. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 3. 如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得，，再求出OE，从而得到，过点O作于，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得，然后由代入数据计算，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵绕顶点逆时针旋转到处， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 过点作于，如图， ， 解得：， 在Rt中，， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小． 4. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ） A. B. 24 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上， ∴＝﹣+， ∴a﹣b＝﹣c， 又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4， ∴ab＝4，即ab＝8， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a﹣b）2+2ab＝c2， ∴（﹣c）2+2×8＝c2， 解得c＝2， 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键． 5. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，等腰内接于圆O，底边是直径，E为的中点，点D在上，且与相交于点F，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于，交于，设，则，，利用圆周角定理得到，则根据勾股定理计算出，，再证明，利用相似比计算出，根据平行线分线段成比例定理，利用可计算出，利用，，所以，接着利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义得到的值． 【详解】解：作于，交于，如图，设，则， ， 为的中点， ， 为直径， ， 在中，， 在中，， ， ， ，即，解得， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．也考查了相似三角形的判定与性质． 7. 如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（　　） A. 20 B. 18 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由图2知：AB+BC=9，设AB=m，则BC=9-m，则tan∠MAB=tan∠NMC，即，即，化简得：y=-x2+x-9，当x=-=时，y=-9+=，即可求解． 【详解】由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m， 如图所示，当点M在BC上时， 则AB＝m，BM＝x﹣a，MC＝9﹣x，NC＝y， ∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC， tan∠MAB＝tan∠NMC，即， 即，化简得：y＝-x2+x-9， 当x＝﹣＝时， y＝﹣9+=， 解得：m＝5， 则AM＝5，BC＝4， 故ABCD的面积＝20， 故选A． 【点睛】本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB+BC=9是本题解题的关键． 8. 如图，在扇形中，，，D为的中点，P为弧上一动点（不与C，B重合），则的最小值为（　　） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，如图，作，使，连接，，则，推出，得到，于是得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：如图，作，使，连接，， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 二、填空题（每小题7分，共42分） 9. 若，则=_______． 【答案】4043 【解析】 【分析】设x=2020-a,y=2019-a，故xy=2021,原式=x2+y2,即可利用完全平方公式进行求解． 【详解】设x=2020-a,y=2019-a， 故xy=2021,x-y=（2020-a）-（2019-a）=1 ∴=x2+y2=（x-y）2+2xy=1+2×2021=4043 故答案为：4043． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知换元思想． 10. 对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 11. 如图，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、．则该六边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查面积及等积变换，解直角三角形，解答本题的关键是把这个六边形进行拆分，充分利用内角都为这一特点．首先把这个六边形分割成两个等腰三角形，一个矩形和一个直角梯形，分别根据面积公式求出三角形、矩形和梯形的面积，这些图形的面积之和即为六边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点，过上点作，作于点，作于点， 六边形的六个内角都是， 和均为等腰三角形，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 六边形的面积是， 故答案为：． 12. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边上，且，以为边向下作矩形，使得点E在边上，反比例函数的图象经过边与的交点G．若，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键． 如图，连接，，由“”可证，可得，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求的长，即可求点坐标，代入解析式可求的值． 【详解】解：连接，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），连接，作于点，于点，设．设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质等知识点，分别用表示出和是解题的关键．证明，得出，然后根据三角形面积公式求出，进而得出，列出的式子，根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴时，的最大值为． 14. 将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论． 【详解】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒， ∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满， ∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数， 则10x+9y+6z＝108， ∴x＝＝， ∵0＜x＜10，且为整数， ∴36﹣3y﹣2z是10的倍数， 即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30， 当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝， ∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数， ∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24， ∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1， 当z＝10时，y＝2，x＝3， 当z＝7时，y＝4，x＝3， 当z＝4时，y＝6，x＝3 当z＝1时，y＝8，x＝3， 当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝， ∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数， ∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24， ∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍） 当z＝5时，y＝2，x＝6， 当z＝2时，y＝4，x＝6， 当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝， ∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数， ∴6﹣2z＝3， ∴z＝（舍） 即：满足条件的不同的装法有6种， 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键． 三、解答题（共60分） 15. 在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？ 【答案】4 【解析】 【分析】先设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答． 【详解】解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口； a+30b=30c   ①， a+10b=2×10c    ②， a+5b≤5×x×c， 由①-②得：c=2b，a=30c-30b=30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx， ∵b＞0， ∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5， 答：至少要同时开放4个检票口． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意列关系式是解题的关键 16. 在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”． （1）若点A的坐标为（0，2），点（2，2），（1，），（，1）中，点A的“等距点”是_______________； （2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标； （3）记函数（）的图象为，的半径为2，圆心坐标为.若在上存在点M，上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围． 【答案】 （1），； （2）点的坐标为或． （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等距点的定义可求点A的等距点的坐标; （2）根据等距点的定义可求点A的坐标; （3）根据点N是点M的“等距点”， 易知当点N在⊙T上运动时，点M在L上运动，由此可求出t的取值范围． 【详解】（1）略 （2）∵点和点是点A的两个“等距点” ， ∴． ∴点A在线段MN的垂直平分线上． 设与其垂直平分线交于点，， ∴，． ∴. ∴． ∴点的坐标为或． （3）． 【点睛】本题是三角形的等腰直角三角形的综合题，也是新定义问题，理解并运用等距点是关键. 17. 如图，直线y与x轴、y轴分别交于A，B两点，动圆M始终与直线相切，设切点为C，圆心M在线段上，且圆M与y轴至少有一个交点，圆M的半径为r，设圆M与x轴的交点为D，E，点E在点D左侧．若圆M与y轴有两个交点，则分别为点F，G，点F在y轴的正半轴．点H为圆M上半圆一动点，连接交x轴于点P． （1）求圆M半径r的取值范围； （2）当，求的值； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与轴，轴分别交于、两点，求得，两点的坐标，从而可求得与，再利用正切求得，然后证明是等边三角形，用表示出、、，分别根据，点E的横坐标为， ，求得的范围； （2）先说明，设，再用分别表示出， ，从而可得，结合，可得出，进而证明，列出比例式求解即可求得； （3）先证明，列出比例式，从而可得，进而求得，设，用分别表示出、，再利用勾股定理求得，从而可得出，再求． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵直线与轴，轴分别交于、两点， 当时，； 当时，， 解得：， ，， ，， ， ， ∵与圆切于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， ， ∴点E的横坐标为， ， ， ； 【小问2详解】 如图（2）连结、， ∵是直径， ∴， ，， ， 设，则， ， ， 又， ， ，， ∴， ； 【小问3详解】 如图， 作于点N，连结， ∵圆M与x轴的交点为D，E， ∴为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 设， 则，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，一次函数与坐标轴交点，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质等内容，，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18. 已知抛物线：和：， （1）如何将抛物线平移得到抛物线？ （2）如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A．直线经过点A，交抛物线于另一点B．请你在线段上取点P，过点P作直线轴交抛物线于点Q，连接． ①若，求点P的横坐标； ②若，求点P的横坐标． （3）如图2，的顶点M，N在抛物线上，点M在点N右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、与y轴不平行．若的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n．求m与n的数量关系． 【答案】（1） 解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 所以将先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到或将先向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到； （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）先得到抛物线的顶点坐标是，根据两个抛物线的顶点坐标即可确定平移方式； （2）①如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，确定出点A、C、D的坐标，进而由，轴，可得，两点关于轴对称，设关于轴的对称点为，从而可得直线的解析式为，继而解方程组即可求得答案；②如图2，，设P，Q，分别表示出长，，再根据，得到关于m的方程，解方程即可求得答案； （3）如图3，分别求出直线、、的解析式，作轴交于点，表示出的长，继而根据三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点， ， 当时，， 当时，或， ∴，， ∵直线经过， ∴，则直线解析式为：， 即， ∵，轴， ∴，两点关于轴对称， 设关于轴的对称点为，则， ∴利用待定系数法可得直线的解析式为， 由，得，，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为； ②如图2，，直线解析式为：， 设P，Q， 则有， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， (舍去)， ∴； 【小问3详解】 如图3， ∵， ∴，， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 由得，， 依题意有，， ∴， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 由，得：， ∵，， ∴直线的解析式为， 作轴交于点，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了抛物线的平移、抛物线与直线的交点、待定系数法、勾股定理、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，准确画出符合题意的图形，利用数形结合思想进行解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $