精品解析：浙江省金华市浦江县月泉中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试题

八年级数学独立作业 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式中，成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分对角 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 6. 当时，下列函数：①；②；③；（4），函数值随自变量增大而增大的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，函数与直线y＝x＋1在第一象限交于点，则代数式的值是（ ） A. B. C. ． D. 9. 如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 12. 已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为________ 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________． 14. 在二次函数中，当时，则的取值范围是______． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为____． 16. 准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为_____，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为____米．（保留根号） 三．解答题（本题共8大题，共72分） 17. 计算： 18. 解方程： （1） （2） 19. 近年来网约车十分流行，为了解本市区“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机的月收入情况，九年级某班学生在两家公司各随机抽取10名司机月收入（单位：千元）的数据，统计如图所示： 公司 平均月收入 中位数 众数 方差 “美团” ① 6 6 “滴滴” 6 ② 4 ③ 根据以上信息，整理分析数据如下： （1）完成表格填空：①________；②________；③________； （2）若该市区“滴滴”网约车公司有600名司机，请你估计月收入不少于9千元的司机约有多少人？ （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5． （1）求k和m的值； （2）当x≥8时，求函数值y的取值范围． 21. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长． 22. 某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 （1）求y关于x的函数表达式； （2）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值． 23. 已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围． （3）当时，二次函数的最小值为，请求出的值，并说明理由． 24. 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC． （1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； （2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值； （3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】A、不是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故正确； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列等式中，成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可． 【详解】A．不能合并，原式计算错误； B．，原式计算错误； C．，正确； D．，原式计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的加减及乘法运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及同类二次根式的概念． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 由一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，且， 故选：． 5. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线平分对角 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形和菱形的性质可求解． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，对角相等，菱形的对角线互相垂直平分，对角相等，对角线平分对角， 菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线平分对角， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握矩形和菱形的性质． 6. 当时，下列函数：①；②；③；（4），函数值随自变量增大而增大的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．一次函数当时，函数值总是随自变量增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性． 【详解】解：①为一次函数，且时，函数值总是随自变量增大而增大， ∴时，函数值随自变量增大而增大； ②为一次函数，且，函数值总是随自变量增大而增大， ∴时，函数值随自变量增大而增大； ③为反比例函数， ∵， ∴在每个象限内，函数值随自变量增大而增大， ∴和函数值随自变量增大而增大； ∵函数无意义， ∴在区间不连续，函数值不随自变量增大而增大； ④为二次函数，对称轴为，开口向上， ∴当时，函数值随自变量增大而增大， ∴时，函数值随自变量增大而增大； 综上所述：函数值随自变量增大而增大的有①②④共3个； 故选：C． 7. 如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等腰三角形的判定得出，再求出即可． 【详解】解：是的中位线，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，函数与直线y＝x＋1在第一象限交于点，则代数式的值是（ ） A. B. C. ． D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点分别代入与直线y＝x＋1，可得，即可求解． 【详解】解：∵函数与直线y＝x＋1在第一象限交于点， ∴，， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，根据题意得到是解题的关键． 9. 如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当值由小变大时，先经过点A，把点A的坐标代入即可；最后和直线有交点时最大，即联立的方程中,解题即可． 【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是， ∵过点的反比例函数解析式为 ∴ 随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意。 经过点的直线解析式设为，代入得 ，解得， ∴, 由 得,根据,得 综上可知 故答案为: ． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形有交点，解题的关键必须找出临界点． 10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L， ∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF， ∴△ADF≌△CDF， ∴FC=AF，∠ECF=∠DAF， ∵∠ALH+∠LAF=90°， ∴∠LHC+∠DAF=90°， ∵∠ECF=∠DAF， ∴∠FHC=∠FCH， ∴FH=FC， ∴FH=AF； （2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF， ∴∠HAE=45°； （3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA， ∵ HF⊥AE，HG⊥BD， ∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH， ∴∠AFO=∠GHF． ∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°， ∴△AOF≌△FGH． ∴OA=GF． ∵BD=2OA， ∴BD=2FG； （4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC， ∴∠IMC=∠ECM=45°， 由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM， 又∵MC=CM， ∴△MEC≌△CIM， ∴CE=IM， 同理，可得：AL=HE， ∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8． ∴△CEH的周长为8，为定值． 故（1）（2）（3）（4）结论都正确． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 12. 已知5个数、、、、的平均数是，则数据，，，，的平均数为________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握算术平均数的计算是关键．根据平均数的算法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则，，，，的平均数为： ． 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接CE，设DE=x，则AE=8-x，判断出OE是AC的垂直平分线，即可推得CE=AE=8-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出DE的长是多少即可． 【详解】详解：如图，连接CE， 设DE=x，则AE=8-x， ∵OE⊥AC，且点O是AC的中点， ∴OE是AC的垂直平分线， ∴CE=AE=8-x， 在Rt△CDE中， x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴DE的长是3． 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的对角线互相平分和中垂线的性质是解题的关键． 14. 在二次函数中，当时，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，当有最大值4， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要查反了比例函数中比例系数的几何意义．如图：过点A作y轴的垂线得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积，进而求得k的值． 【详解】解：如图：过点A作轴，连接， ∵垂直于轴于，， ∴四边形为矩形， ∵，即， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：9． 16. 准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为_____，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为____米．（保留根号） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，先根据BD与水平线成45°角，从而得到直线BD与直线平行，再根据，得出MN平行于直线，利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，再根据直线MN和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据求出直线MN的解析式，再求出直线MN与y轴的交点M的坐标，求出BM的长度，再根据，求出BG即可． 【详解】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点， 过点B作BG⊥MN于G，如图： ∵抛物线的顶点C的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入得：， 解得：， ∴， ∵，BC⊥y轴， ∴BD与直线平行，且BD与y轴的夹角是45°， ∵， ∴MN与直线平行，， ∴设MN的解析式为， ∵MN与抛物线只有一个交点， ∴方程组只有一组解， ∴方程有两个相等的实数根， 将方程整理得：， ∴， 解得：， ∴MN的解析式为， 令，得， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，，， ∵， ∴（米）， ∴此时水住与遮阳棚的最小距离为米． 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键． 三．解答题（本题共8大题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和负整数幂、零次幂的意义，解题的关键根据相关运算法则进行计算． 根据二次根式混合运算的运算法则和负整数幂、零次幂的意义进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法和解分式方程． （1）直接用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ， ， ，， 【小问2详解】 ， ， ， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得：， 检验把代入分母中，， 分式方程的解为． 19. 近年来网约车十分流行，为了解本市区“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机的月收入情况，九年级某班学生在两家公司各随机抽取10名司机月收入（单位：千元）的数据，统计如图所示： 公司 平均月收入 中位数 众数 方差 “美团” ① 6 6 “滴滴” 6 ② 4 ③ 根据以上信息，整理分析数据如下： （1）完成表格填空：①________；②________；③________； （2）若该市区“滴滴”网约车公司有600名司机，请你估计月收入不少于9千元的司机约有多少人？ （3）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由 【答案】（1）6，， （2）180 （3） 选美团， 理由：因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定． 【解析】 【分析】本题考查频率分布直方图、扇形统计图、样本估计总体，求中位数和方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）用600乘以月收入不少于9千元的司机的百分比即可； （3）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：“美团”平均月收入为： （千元）； “滴滴”中位数为第5位和第6位数的平均数：（千元）； “滴滴”方差为： 故答案为：6，，； 【小问2详解】 解：月收入不少于9千元的司机约有（人）， ∴月收入不少于9千元的司机约有180人； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5． （1）求k和m的值； （2）当x≥8时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值； （2）求出x=8时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=5， ∴m=5， ∴点A的坐标为（2，5）， 把A（2，5）代入y=，得k=10； （2）由（1）得反比例函数解析式为：y= ∵当x=8时，y=， 又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小， ∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 21. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中，  ， ∴（HL）， ∴AO=CO， 又∵OE=OD， ∴四边形AECD为菱形． （2）EF和AD的长分别为4和10 【解析】 【分析】（1）先证明，可知AO=CO，再由OE=OD，可证四边形AECD为菱形； （2）在中，由勾股定理可得，，再由中，由勾股定理可得，，可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AB平分 ， ∴BF=BO=3， 在中，由勾股定理可得， ， 在和中， ， ∴（HL）， ∴AO=AF， 设AO=AF=x，AE=4+x， 在中，由勾股定理可得， ， 得， 解得， ∴AE=4+6=10， 即AD=10， ∴EF和AD的长分别为4和10． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定和性质． 22. 某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 （1）求y关于x的函数表达式； （2）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值． 【答案】（1） （2）当销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润是450元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的相关性质，是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求得和的值，即可得解； （2）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出关于的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出，求出其对称轴，根据二次函数的性质，可得答案． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 由题意得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ， ∴当时，有最大值450元； ∴当销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， 二次函数的对称轴为， ∵，当销售单价不超过38元时，利润随着的增大而增大， ， ， a的最小值为6． 23. 已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围． （3）当时，二次函数的最小值为，请求出的值，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用平移的性质得到平移后的点的坐标，再利用二次函数的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，即时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；②当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；③当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，二次函数经过点，对称轴为直线， ，解得 二次函数的表达式． 【小问2详解】 由题意，点，，连结，将向上平移5个单位长度，设平移后的点的对应点为，点的对应点为， 平移后的，点，， 又令，即， ， 抛物线与轴的交点为和． 将再向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点， ． 令，则， 或， 的长度为5， ． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 由题意，二次函数的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ①当时，即时， ， 最小值为． （不合题意，舍去）或． ②当时， ， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去． ③当时， ， 二次函数的最小值为， （不合题意，舍去）或． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC． （1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标； （2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值； （3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标． 【答案】（1）(3，4) （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题； （2）取点F（6，0），连接FP，CF，则O、F关于直线对称，由（1）知，点P的横坐标为3，即点P在直线上，故PC+PO=PF+PC，则当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，由此求解即可； （3）分当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，两种情况利用菱形的性质求解即可； 【小问1详解】 解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3， ∴点B的坐标为(4，3)， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴k=12， ∴反比例函数解析式为y=， 设点P的横坐标为m(m>0)， ∵． ∴， ∴， 当点，P在这个反比例函数图象上时，则 ， ∴点P的坐标为(3，4)． 【小问2详解】 解：取点F（6，0），连接FP，CF， ∴O、F关于直线对称， 由（1）知，点P的横坐标为3， ∴点P在直线上， ∴PF=PO， ∴PC+PO=PF+PC， ∴当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF， ∴PO+PC的最小值=PF+PC=CF=； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为（m，n），点P的坐标为（3，t） 如图3-1所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，由菱形的性质可知PB=BC=4， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， ∴点Q的坐标为或； 如图3-2所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，由菱形的性质可知PC=BC=4， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， ∴同理可得点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或 【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，已知两点坐标求两点距离，轴对称最短路径问题等等，解题关键在于作辅助线和分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $