精品解析：福建省龙岩市上杭县紫金中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

2024-2025学年第二学期八年级第二次月考试卷 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 5. 某校举行年度十佳校园歌手大赛，林老师根据七位评委所给的分数，把最后一位参赛同学的得分制作成如下表格，对七位评委所给的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不会发生变化的是（　　） 平均数 中位数 众数 方差 分 分 分 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共26分） 11. 计算：______． 12. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____． 13. 将直线沿轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为___________． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 15. 已知点和点在一次函数的图象上，则___________．（填“”，“”或“”） 16. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 三、解答题（本题有9小题，共84分） 17. 计算： 18. 如图，在中，；求证： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 90 二班 87.6 80 （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据表格填空：___________，___________，___________； 21. 如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． （1）求证：； （2）求修建的桥梁的长． 22. 如图，矩形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，过点作，垂足为点．若，求和的值． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． （1）求和的值； （2）若点为轴负半轴上的一点，连接，若，求点的坐标． 24. 已知四边形是正方形． （1）如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点、和正方形顶点三点在一条直线上，连接，求证：； （2）在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； （3）若正方形边长为4，为所在直线上一动点，连接，为中点，连接，以为直角边，为直角，如图3构造等腰，连接，当在运动时，求线段的最小值． 25. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级第二次月考试卷 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 在四个选项中符合的是2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 2. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法运算可判断A，根据二次根式的性质与化简可判断B，C，D，从而可得答案． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及化简，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出第三边长即可． 【详解】以2，3为直角边的直角三角形斜边长为， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理可得，即可得到解答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 即为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5. 某校举行年度十佳校园歌手大赛，林老师根据七位评委所给的分数，把最后一位参赛同学的得分制作成如下表格，对七位评委所给的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不会发生变化的是（　　） 平均数 中位数 众数 方差 分 分 分 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数即为中位数，因而，去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而平均数、众数和方差均有可能改变， 故选：． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大． 6. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定k，b的取值是关键．根据一次函数的性质确定k，b的符号，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 7. 如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，，，，则DE的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分可得，在中由勾股定理可得，由可得，然后在中运用勾股定理即可求得DE的长． 【详解】∵四边形ABCD为菱形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理，灵活运用菱形对角线垂直平分的性质结合勾股定理是解题关键． 8. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，正确求出点A的坐标是解题的关键．先求出点A的坐标，再根据不等式的解集即为直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：把点代入到中得：， ∴， ∴， ∴由函数图象可知当时，直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处， ∴关于x的不等式的解集是， 故选D． 9. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是， 故选A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共26分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键． 12. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3， ∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2． 考点：方差． 13. 将直线沿轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，即可得出直线平移后的解析式． 【详解】解：将直线沿x轴向左平移2个单位后再向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 故答案为：． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得，．则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ，， 故答案为：24． 15. 已知点和点在一次函数的图象上，则___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键是熟知一次函数的增减性．根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，且， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； 根据可得， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合性很强，难度较大，解题的关键是能够综合运用上述知识． 三、解答题（本题有9小题，共84分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，；求证： 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，由此即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】．解：原式 当时， 原式 20. 某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题： 一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 90 二班 87.6 80 （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据表格填空：___________，___________，___________； 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）；； 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图，平均数、中位数、众数及其意义，利用统计图表得出所需数据是解题关键． （1）先求出C等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用条形统计图，结合平均数公式和中位数的定义，即可求出、的值，利用扇形统计图可知，二班级的同学最多，即可得出的值． 【小问1详解】 解：（人），即C等级的人数为2 【小问2详解】 解：一班平均数为（分）， ； 25名同学参加比赛， 中位数为第13名同学的成绩， 由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级， 一班中位数是分， ； 由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多， 二班的众数为分， ， 故答案为：；；． 21. 如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． （1）求证：； （2）求修建的桥梁的长． 【答案】（1） 证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 22. 如图，矩形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，过点作，垂足为点．若，求和的值． 【答案】（1） 为所求作的角平分线，如下图所示； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点，即可获得答案； （2）首先根据矩形的性质可得，，，，结合角平分线的性质和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后在中，由勾股定理求出，根据等积法求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． （1）求和的值； （2）若点为轴负半轴上的一点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作轴于点，证明，得到，求出直线的表达式为，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数过点， ∴， ∴一次函数表达式为， 将点代入得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入，得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 已知四边形是正方形． （1）如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点、和正方形顶点三点在一条直线上，连接，求证：； （2）在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； （3）若正方形边长为4，为所在直线上一动点，连接，为中点，连接，以为直角边，为直角，如图3构造等腰，连接，当在运动时，求线段的最小值． 【答案】（1） 证明：在正方形中， ， ， 即， ，， △△； （2） 证明：如图2，设与的交点为， 过作于，过作于，于， 在等腰△，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， △△， ，， ， ， ， ， ， 平分； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，由此得，根据证明△△； （2）作辅助线构建正方形和等腰直角三角形，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． （3）作辅助线构建正方形和全等三角形，可得△是等腰直角三角形，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3， 过作于，，交的延长线于，延长、交于，连接延长交，于点， ， ， ，， △△， ， ， ， △为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形， ， △是等腰直角三角形， 当时最小， 即． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 25. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上打9折； 方案二：套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元． ：面食套餐 25元 温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用． 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择套餐和套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务1：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人；任务2：；任务3：当订购套餐15份，订购套餐为16份时，该班订餐总费用最低，订餐总费用最低为740元 【解析】 【分析】任务1：根据题意可设设这20人中选择套餐的有人，，则选则套餐的有人，，根据“费用合计为565元”列出方程，解方程即可得到答案； 任务2：由当全班选择套餐人数不少于20人时，即，得到，从而得到选择套餐人数为，根据套餐、套餐的优惠方式即可算出总共花费了多少钱； 任务3：分三种情况：①当时，②当时，③选择优惠方案三，分别计算出所花费的费用，进行比较即可得到答案． 【详解】解：任务1：20人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足， 设这20人中选择套餐的有人，， 则选则套餐的有人，， ， ， ， 答：选择套餐的有13人，选择套餐的有7人； 任务2：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， 当全班选择套餐人数不少于20人时， 即， ， 选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， 订餐总费用为； 任务3：两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）可知，订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ②当时，，， ∴订餐总费用为， ， 随着的增大而增大， 当时，订餐总费用最小为（元）； ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， 总费用满850元立减110元， 当时，订餐总费用最小为（元）； 综上所述，当订购套餐15份，订购套餐为16份时，订餐总费用最低为740元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程、一次函数，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $