精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷

2024年秋高2024级期中数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题，每题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集概念即可求解. 【详解】由，， 可得：. 故选：A 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. 下列各组中的两个函数为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一函数的定义域与对应关系相同，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】A项：的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以是不同函数，故A错误； B项：，即对应关系不同，故B错误； C项：的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以是不同函数，故C错误； D项：两个函数的定义都是实数集，对应关系也相同，是同一函数，故D正确. 故选：D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；举反例判断BCD. 【详解】对于选项A：若，由不等式的性质可得，故A正确； 对于选项BD：例如，可得，，故BD错误； 对于选项C：利用，可得，即，故C错误； 故选：A. 5. “”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 设函数，且，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用的奇偶性求函数值. 【详解】设，则为奇函数，所以. 又，所以. 所以. 故选：B 7. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得. 【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增， 故有，解得. 故选：D. 8. 对于两个实数，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则. 其中说法正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①按定义求解即可；②按定义展开再利用裂项相消法求解；③按定义展开转化为等量关系，再由特值说明推出关系不正确. 【详解】两个实数，. ①，故①错误； ② ，故②正确； ③若， 由定义可得， 令，， 则等式左边，右边， 故左边右边，即满足条件， 但当，时， , 即，不满足，故③错误； 综上所述，三个说法中正确的只有1个. 故选：B. 二、多选题，全对得6分，部分对得3分，错选不得分，共18分． 9. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断. 【详解】A选项：，若，则，选项错误; B选项：,，设，，，，则，选项错误; C选项：若，则，选项正确； D选项：，设，，则，选项错误. 故选：ABD. 10. 若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将不等式转化为,求的最大值即可. 【详解】将不等式转化为, 令， 则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减， 即单调递增，所以最大值为，所以. 故选：ABC 11. 已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，结合条件可得选项A正确；由得选项B错误；令，可得，选项C正确；令可得，令可判断选项D正确. 【详解】A.令得，，即，解得，选项A正确. B. ∵， ∴不是奇函数，选项B错误. C.令，得， ∴，即， ∴是偶函数，选项C正确. D.令，得， ∴. 令，得， 在中，令，得，选项D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题，每个5分，共15分． 12. 设函数，则______. 【答案】20 【解析】 【分析】根据自变量范围选择对应解析式依次求解即可. 【详解】解：∵函数， ， . 故答案为：20. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 14. 对于任意实数，定义，设函数，，则函数的最小值是______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据新函数定义求出函数的解析式，根据一次函数和二次函数作出图象，结合图象可得答案. 【详解】由得，解得， 所以， 由得，解得，或， 所以（，或）， ， 可得的图象如下图， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题，要写出必要的解答过程，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分． 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. 【小问1详解】 因为， ∴，又 ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 16. 解关于的不等式. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集； （2）由分式不等式有，进而求解集； （3）由题设有，讨论大小求对应解集. 【小问1详解】 ，故解集为； 【小问2详解】 ，故解集为； 【小问3详解】 ，即， 当，解集为； 当，解集为； 当，解集为. 17. 已知函数. （1）证明：为奇函数； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据减函数的定义证明； （3）利用奇偶性变形不等式，再由单调性化简即可得． 【小问1详解】 任取，则， ，所以是奇函数； 【小问2详解】 设，且是上的任意两个实数， ，，，， 则， 即， 所以在区间上是减函数； 【小问3详解】 不等式化为， 是奇函数，则， 又在区间上是减函数， 所以，解得． 18. 为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【解析】 【分析】（1）由题意求出的解析式即可； （2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可. 【小问1详解】 由题意可得，，， 所以. 【小问2详解】 当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋高2024级期中数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题，每题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组中的两个函数为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 6. 设函数，且，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于两个实数，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则. 其中说法正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、多选题，全对得6分，部分对得3分，错选不得分，共18分． 9. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知函数对任意实数x，y都满足，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题，每个5分，共15分． 12. 设函数，则______. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 14. 对于任意实数，定义，设函数，，则函数的最小值是______. 四、解答题，要写出必要的解答过程，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分． 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 16. 解关于的不等式. （1）； （2）； （3）. 17. 已知函数. （1）证明：为奇函数； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 18. 为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） （1）求的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）用定义证明函数在为单调递增函数； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $