第十九章二次函数和反比例函数强化训练2025-2026学年北京版九年级数学上册

第十九章二次函数和反比例函数强化训练2025-2026学年 北京版九年级上册 一、选择题 1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2.关于函数的图象，有下列说法： ①对称轴为直线   ②抛物线开口向上 ③图象经过原点       ④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3.若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1 4．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 5.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 6.表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 7.反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 8.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（    ） A．逐渐变大或变小 B．等于定值16 C．等于定值8 D．另有答案 9．如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ）    A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m 二、填空题 11．已知函数是关于x的二次函数，当k＝ 时，图象开口向上；当k＝ 时，图象开口向下． 12．已知反比例函数，当y=6时，x= ． 13.反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______． 14．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______． 15.如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ． 16．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 三、解答题 17.已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 18．已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积. 19.为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 21.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式； (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D． ①在线段MB上是否存在点P，使△PCD的面积最大．如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由； ②在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】 一、选择题 1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.关于函数的图象，有下列说法： ①对称轴为直线   ②抛物线开口向上 ③图象经过原点       ④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 3.若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1 【答案】C． 4．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 【答案】B 5.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 6.表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 7.反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 8.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（    ） A．逐渐变大或变小 B．等于定值16 C．等于定值8 D．另有答案 【答案】B 9．如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 10．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ）    A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m 【答案】B 二、填空题 11．已知函数是关于x的二次函数，当k＝ 时，图象开口向上；当k＝ 时，图象开口向下． 【答案】 4 －2 12．已知反比例函数，当y=6时，x= ． 【答案】 13.反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______． 【答案】m>1 14．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______． 【答案】x＝3 15.如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ． 【答案】 16．一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m 三、解答题 17.已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入反比例函数解析式，可得：， ∴反比例函数解析式为． （2）解：由（1）可得：， ∵当时，函数值是， 又∵当时，， ∴， 解得：． 18．已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积. 【答案】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点 在图像上且在 轴上，即 时 的坐标 ∴ ∴ ∴ 的面积 19.为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2）假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 21.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式； (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D． ①在线段MB上是否存在点P，使△PCD的面积最大．如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由； ②在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （1） 解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得 ，解得， 所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2） 解：存在． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴M（1，4）， 设直线BM的解析式为y＝kx+n， 把B（3，0），M（1，4）代入得，解得， ∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6， 设P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3）， ∴S＝•m•（﹣2m+6）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+， ∵1≤m＜3， ∴当m＝时，S有最大值，最大值为； 此时P点坐标为（，3） （3）存在． ∠PDC不可能为90°； 当∠DPC＝90°时，则PD＝OC＝3，即﹣2m+6＝3，解得m＝，此时P点坐标为（，3）， 当∠PCD＝90°时，则PC2+CD2＝PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2＝（﹣2m+6）2， 整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝﹣3﹣3（舍去），m2＝﹣3+3， 当m＝﹣3+3时，y＝﹣2m+6＝6﹣6+6＝12﹣6，此时P点坐标为（﹣3+3，12﹣6）， 综上所述，当P点坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）时，△PCD为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$