专题02 二次函数（期中知识清单，15个考点梳理+题型解读 +提升训练）九年级数学上学期北京版

专题02 二次函数（15个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数 首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简， 然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数自变量的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单03】二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： （1）当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． （2）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． （3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【清单07】二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 （1）函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． （2）利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单08】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． （1）描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． （2）函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单09】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单10】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【清单11】二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时，同样进行分类讨论． 【考点题型一】二次函数的定义 【例1】（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义，形如的函数为二次函数． 【详解】解：根据定义，为二次函数； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的定义；掌握定义是解题的关键． 【变式1 -1】（2023·北京东城·模拟预测）用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：， 即：， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 【变式1 -2】（21-22九年级上·北京·单元测试）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，，5． 【考点题型二】已知二次函数求字母的值 【例2】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）关于x的函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 【变式2 -1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正方体有6个面，每个面的面积为据此可求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式2 -2】（14-15九年级上·北京·阶段练习）若是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【变式2 -3】（22-23九年级上·北京西城·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可． 【详解】解：∵为二次函数， ∴， ∴，故． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键． 【考点题型三】列二次函数关系式 【例3】（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图，线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是 ， ．（填“正比例函数”或“一次函数”或“二次函数”） 【答案】 一次函数 二次函数 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：根据题意得：，因此属于一次函数关系， ，属于二次函数关系． 故答案为：①一次函数；②二次函数． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式3 -1】（21-22九年级上·北京西城·期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案. 【详解】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 故答案为： 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键. 【变式3 -2】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式3 -3】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【考点题型四】y=ax2的性质 【例4】（21-22九年级上·北京西城·期中）下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3 C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝−1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D． 【详解】解：∵二次函数， ∴当x＝−1时，y＝3，故选项A不符合题意； 它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意； 当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式4 -1】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线上y＝(m－4)x2有两点A(－3，y1)、B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是（    ） A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≠4 【答案】A 【分析】把A、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m分别表示出y1和y2，利用条件可得到m的不等式，可求得m的取值范围． 【详解】解：∵A（−3，y1）、B（2，y2）在抛物线上， ∴y1＝9（m−4），y2＝4（m−4）， ∵y1＞y2， ∴9（m−4）＞4（m−4）， ∴m＞4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 【变式4 -2】（20-21九年级上·北京房山·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线 C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象性质即可判断． 【详解】解：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误； B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【变式4 -3】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）点在二次函数的图象上，，下列推断正确的是（    ） ①对任意的，都有 ； ②对任意的，都有 ； ③存在，满足，且； ④对于任意的小于1的正实数t，存在，满足，且． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意可得当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小，可得到①错误；由，可得点，关于y轴对称，从而得到②正确；③错误；再由，可得，然后根据当点，在y轴两侧时，此可设点在y轴左侧，则在y轴右侧，可得，可得④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴，开口向上， ∴当在y轴右侧时，y随x的增大而增大，当在y轴左侧时，y随x的增大而减小， ∴当时．都有，故①错误； ∵， ∴， ∴点，关于y轴对称， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， 当点，在y轴两侧时，此可设点在y轴左侧，则在y轴右侧， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意的小于1的正实数t，存在，，满足，且，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式4 -4】（23-24九年级上·北京密云·期末）若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解． 【详解】解：中， 的图象开口向下，对称轴为y轴， 距离y轴越远的点纵坐标越小， ， ， 故答案为：． 【变式4 -5】（14-15九年级·上海·期末）如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 【答案】m＞1 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 【变式4 -6】（21-22九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为，，开口向上 又∵ ∴当时，最小为，时，最大为 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式4 -7】（22-23九年级上·北京·期中）已知为抛物线上任意两点，且．若对于，都有，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围． 【详解】解：因为为抛物线上任意两点， 所以、， 代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，且， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意列出关于a的不等式是解题的关键． 【考点题型五】y=ax2+k的性质 【例5】（23-24九年级上·北京西城·期末）下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 【变式5 -1】（23-24九年级上·北京房山·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 【变式5 -2】（23-24九年级上·北京·课后作业）二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 【变式5 -3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】将、分别代入可求得、，即可判定大小关系． 【详解】解：将代入得，， 将代入得，， 显然， 即． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查根据二次函数解析式，求因变量的值．注意计算的准确性． 【变式5 -4】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线关于轴对称，得出顶点横坐标为，求解，得出的值，得抛物线解析式为，根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于轴对称的图象解析式为，整理即可得出答案． 【详解】 解：∵抛物线关于轴对称，即对称轴为轴， ∴顶点在轴上，即顶点横坐标为， ∴， ∴， ∴此时抛物线解析式为， 关于轴对称的图象解析式为，即． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质计算求解是解题的关键． 【变式5 -5】（21-22九年级上·北京密云·期末）如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 【变式5 -6】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数的图象都在x轴的下方，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可知抛物线的开口向下，且最大值小于0，得出不等式组，求出取值范围即可． 【详解】∵二次函数的图像都在x轴的下方， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键． 【变式5 -7】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 【考点题型六】y=a(x-h)2的性质 【例6】（21-22九年级上·北京朝阳·期末）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 【变式6 -1】抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 【变式6 -2】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）抛物线和的对称轴分别是（    ） A．y轴，直线 B．直线， C．直线，直线 D．y轴，直线 【答案】D 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：的对称轴为y轴； 的对称轴为直线x=-2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h得出是解题关键． 【变式6 -3】（21-22九年级下·北京·阶段练习）命题1是“a＜0”；命题2是“函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大”，则下列说法正确的是（　　） A．由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1 B．由命题2可以推导出命题1，但是由命题1无法推导出命题2 C．既可以由命题1推导出命题2，也可以由命题2推导出命题1 D．既无法由命题1推导出命题2，也无法由命题2推导出命题1 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可判断当a< 0时，函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大；当函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大，则a≤ 0，从而可对各选项进行判断． 【详解】函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大； 当函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大， 则a≤ 0， 所以由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式6 -4】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】将点A，B坐标代入解析式求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：将，代入得，， ∴． 故答案为：． 【变式6 -5】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二函数的图象和性质的应用，注意：当二次项系数时，抛物线的开口向下． 【变式6 -6】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上， 当时，最小为， 又∵， ∴时，最大为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性． 【变式6 -7】将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝ ． 【答案】﹣12． 【分析】将抛物线化成顶点式，可得h，k的值，代入计算即可. 【详解】解：∵y＝x2﹣6x+5 ＝x2﹣6x+9﹣4 ＝（x﹣3）2﹣4， ∴h＝3，k＝﹣4， ∴hk＝3×（﹣4）＝﹣12． 故答案是：﹣12． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键. 【考点题型七】y=a(x-h)2+ k的性质 【例7】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知二次函数．下列说法：①其图象的对称轴为直线；②其图象顶点坐标为③当时，随的增大而减小；④该函数与轴交点为则其中说法正确的有 （填序号）。 【答案】①③④； 【分析】根据二次函数的性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴是抛物线的对称轴，顶点坐标为，时随的增大而增大，时随的增大而减小，与轴交点为， 故答案为：①③④； 【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握顶点式的性质． 【变式7 -1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）对于抛物线，下列判断正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，本选项符合题意； C、抛物线的顶点坐标是，本选项不符合题意； D、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式7 -2】（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 【变式7 -3】（22-23九年级上·北京·期中）平面上有一个图形与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形上，则称是“点与图形的联系点”，设抛物线：（为常数）顶点为，点关于轴的对称点为，若抛物线上存在点是点与图形的联系点，则所有可能的的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，以及新概念的理解．根据抛物线的表达式可知，可得，当时，的坐标为，当时，的坐标为，分别求出的值，再求出的和即可． 【详解】解：∵抛物线：（为常数）顶点为， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴当时，的坐标为，当时，的坐标为， ∴当的坐标为时，则，， 此时，，解得（舍），， 当的坐标为时，则，， 此时，，解得，， ∴所有可能的的和为， 故选：B． 【变式7 -4】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先根据题意得到二次函数的对称轴为，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式7 -5】（22-23九年级上·北京海淀·期中）已知关于的二次函数，当时，的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值1；当时函数有最小值，进而求得它们的范围． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为， 在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：， 故答案为：． 【变式7 -6】当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．求出二次函数对称轴为直线，再分三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 【变式7 -7】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，有一组拋物线，它们的顶点在直线上，并且经过点，当时，，8，，根据上述规律，写出执物线的解析式（顶点式）为 ，和拋物线的顶点坐标 及它与轴的交点坐标 ．    【答案】 和 【分析】根据的坐标求出直线的解析式，它们的顶点在直线上即可求出顶点坐标，根据横坐标的变化规律可知的横坐标为，代入直线可求出坐标． 【详解】解：设直线的解析式为， 由于， ， 解得， 故直线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，且顶点在直线上， ， 则， 故设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 故执物线的解析式（顶点式）为； 由于当时，，8，， 每个数都是前两个数的和， 的横坐标为， ， 故的顶点坐标； 同理，抛物线经过点， 求得抛物线的解析式为， 它与轴的交点坐标为和． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，找到规律是解题的关键． 【考点题型八】y=ax2 +bx +c的性质 【例8】（21-22九年级上·北京西城·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线与y轴交点的坐标为 C．当时，抛物线的对称轴在y轴右侧 D．对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点 【答案】D 【分析】根据二次函数的系数的几何意义和判别式的意义，逐一判断选项，即可. 【详解】∵a=1>0， ∴抛物线的开口方向向上， ∴A错误， ∵令x=0，代入，得：y=-2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为， ∴B错误， ∵对称轴是：直线x===， ∴当时，抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴C错误， ∵, ∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点， ∴D正确 故选D. 【点睛】本题主要考查二次函数图象和性质，理解二次函数的系数的几何意义，是解题的关键. 【变式8 -1】（22-23九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将一般式化成顶点式，利用配方法，将其配成完全平方式，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式8 -2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）抛物线，当时，函数y的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了抛物线图像与性质，根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为，处于取值范围内，将对称轴代入抛物线解析式即可得到y的最小值，再根据距离对称轴越远的函数值越大，即可得到y的最大值，并注意根据取值范围，y的取值能否等于最小值和最大值，即可解题． 【详解】解：由题可知：抛物线开口向上，对称轴为， ， 的最小值为， ， 的最大值为， 当时，函数y的取值范围是， 故答案为：． 【变式8 -3】（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)将化成的形式：__________； (2)补全表格，则__________，__________（），并在坐标系中利用描点法画出次二次函数的图象； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … 【答案】(1) (2)1，3，图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由（1）知：， 令，， 解得：，， ∴，； 则在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； 【变式8 -4】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，，有，直接写出t的值为________； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数对称性求解即可； （2）把点，代入后根据计算即可． 【详解】（1）∵， ∴点，关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）代数法1： 解：∵对称轴为 ∴ ∴抛物线解析式为 ∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵，， ∴， ∴或 ， 解得：或， 代数法2： 解：设抛物线解析式为， ∵点，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴或． 数形结合法： ①当时，，位于对称轴两侧， 关于的对称点为， ∵时，y随x增大而增大，且都有， ∴恒成立， ∴恒成立， ∵，， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∵， ∴当时，必有， 不合题意，舍去． ③当时，，都位于对称轴右侧， ∵时，y随x增大而增大，且都有， ∴恒成立， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或． 【变式8 -5】（21-22九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断，进而求解． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，异号， ∴， ∴，选项A正确． 当时，， ∴选项B错误， 当时，， ∴，选项C错误． 当时，中有1个值为0即可， ∴选项D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【变式8 -6】（安徽省芜湖市第二中学2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围 【答案】m≤2 【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为x= ∵当x>1时，y随x增大而增大 ∴≤1即m≤2 故答案为m≤2． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键． 【变式8 -7】（2021年湖北省武汉市洪山区中考数学5月模拟试题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），其中点A（﹣1，0）,C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为直线x＝1，①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0 ；③二次函数的最大值的最小值为4；④﹣1≤a≤﹣．则其中正确结论的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】根据对称轴即可判断①；由题意抛物线开口向下，由图象上点的坐标特征即可判断②；求得c＝﹣3a，由2≤c≤3，即可判断④；求得二次函数的最大值＝c+c＝c，由2≤c≤3得出二次函数的最大值的最小值，最大值的最大值为4，即可判断③． 【详解】解：由对称轴可知：＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0）由于与y轴的交点C在(0,2)和（0，3）之间（包括这两点）， ∴抛物线的开口向下， ∴x≥3时，y≤0，故②错误； ∵抛物线经过A（﹣1，3）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∵2≤c≤3， ∴2≤﹣3a≤3， ∴﹣1≤a≤﹣．故④正确； ∵抛物线的开口向下，b＝﹣2a， ∴抛物线有最大值：＝c﹣a， ∵c＝﹣3a， ∴a＝﹣c， ∴二次函数的最大值＝c+c＝c， ∵2≤c≤3． ∴二次函数的最大值的最小值，最大值的最大值为4；故③错误 故答案为①④． 【点睛】本题考查二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，属于中等难度题型． 【考点题型九】二次函数图像与各系数关系 【例9】（21-22九年级上·北京·开学考试）二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口方向向上， ∴． ∵对称轴， ∴， 又∵该抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∴；故①错误； ②根据图象知，当时，，即；故②正确； ④当时，，即， 由②可得：， ∴， ∴；故④错误； ③∵对称轴， ∴， ∵， ∴，即；故③正确； 综上所述，正确的说法是：②③； 故选：B． 【变式9 -1】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ①；②；③；④； ⑤若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线图象综合，根据抛物线开口向下，；对称轴为，，得到，，判断；；设抛物线与x轴的交点为且在正半轴上，结合，对称轴是直线， 判定，从而判定时，，结合，可判断 得正误；结合，，得到， 结合，可判定④的正误；根据题意， ，得到；故，结合，得到，解得或，可判断⑤的正误． 【详解】∵抛物线开口向下， ；对称轴为，， ∴，， ∴；； 故①错误；②正确； 设抛物线与x轴的交点为且在正半轴上， ∵，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴时，， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴故④正确； 根据题意， ， ∴； ∴， ∵， ∴， 解得或，可判断⑤的正误． 故⑤错误； 故选B． 【变式9 -2】（2020·山东滨州·中考真题）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 【变式9 -3】（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【变式9 -4】（23-24九年级上·北京昌平·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③当时，，即，根据,可得，即可判断；④根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③正确； ④∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 【考点题型十】函数图像的综合判断 【例10】（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 【变式10 -1】（23-24九年级上·北京丰台·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】一次函数，，则图像过一三象限，，则图像过二四象限，二次函数，时开口朝上，时开口朝下，根据特点逐项分析即可． 【详解】解：A、一次函数过二四象限，即，二次函数开口朝上，即，矛盾，该选项不符合题意； B、一次函数过一三象限，即，二次函数开口朝上，即，该选项符合题意； C、一次函数过一三象限，即，二次函数开口朝下，即，矛盾，该选项不符合题意； D、一次函数过一三象限，即，二次函数开口朝下，即，矛盾，该选项不符合题意； 故答案选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质特点，准确分析是解题的关键． 【变式10 -2】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先先确定的正负，对于二次函数的开口方向以及对称轴分析． 【详解】解：由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，故选项A正确； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，与图像不符，故选项B错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，与图像不符，故选项C错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝下，与图像不符，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图像性质是解题的关键． 【变式10 -3】（22-23九年级上·北京·期末）已知函数与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a＜0，直接判断抛物线的开口方向，对称轴，双曲线所在的象限，选择正确结论． 【详解】解：当a＜0时，二次函数y=ax2+ax的图象开口向下，对称轴x=-； 函数y=的图象在二、四象限，符合题意的是图象B． 故选B． 【点睛】主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，应该熟记且灵活掌握． 【变式10 -4】（11-12九年级上·北京朝阳·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（  　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由反比例函数的图象确定k的范围，再利用二次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0， ∴2k<0，∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧， 抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上； 观察各选项，只有D符合. 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象和性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键. 【考点题型十一】二次函数的图像平移 【例11】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 【变式11 -1】（23-24九年级上·北京海淀·期中）将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可． 【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即， 故选：C． 【变式11 -2】（24-25九年级上·北京东城·开学考试）将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即， 故答案为：． 【考点题型十二】根据两点对称求二次函数对称轴 【例12】（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：点，点，点在抛物线上， ，，． 且． ①当时，有， ②当时，有， ． ． ． ． 综上：． 【变式12 -1】（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，求b的值； (2)若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标满足其表达式，从而根据不等式求参数的范围． （1）根据点，在抛物线上，且，可求得的值； （2）根据题意，可知点，，在抛物线上，再由，即可求得的范围． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴为． 点，在抛物线上，且， ． ． （2）点，，在抛物线上， ，，． ， ． 即，． ， ， ，， ， ． ， ． 即，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，b的取值范围是． 【变式12 -2】（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于大于1的实数m，都有求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质质以及分类讨论是解题的关键． （1）把代入，求得两点坐标，即可根据二次函数的对称性质求解； （2）根据二次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， 抛物线经过和 抛物线对称轴为 （2）解：依题意，点在抛物线上 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 当时，都有 若时， 当时，都有 时，都有 当时，对于都有 当时，不合题意，舍去． 当时，不合题意，舍去． 综上所述，的取值范围是 【考点题型十三】利用二次函数求最短路径 【例13】（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 【变式13 -1】（21-22九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点 C． （1）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为　 　． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）3． 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的腰长求出OB＝OC＝3，进而求出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先确定出抛物线的对称轴，进而求出点C'的坐标，找出PA+PC的最小值为AC'，再求出点A坐标，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，连接BC， ∵△OBC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°， ∴OB＝OC， ∵腰长为3， ∴OB＝OC＝3， ∴B（3，0），C（0，3）， 将点B（3，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n中，得，， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴直线为x＝2， ∵点C（0，3）， ∴点C关于抛物线的对称轴x＝2的对称点C'（4，3）， 连接AC'交抛物线的对称轴于P，此时，PA+PC的值最小，最小值为AC'， 针对于抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得，x＝1或x＝3， ∴A（1，0）， ∵C'（4，3）， ∴AC'， 即：PA+PC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用、轴对称的应用－最短距离问题，二次函数的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键. 【考点题型十四】二次函数最值问题 【例14】（23-24九年级下·北京·阶段练习）若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质及解不等式，先把二次函数化为顶点式，再列不等式求解即可． 【详解】解：， ∵二次函数的最小值是非负数， ∴． ∴． 故选D． 【变式14 -1】（16-17九年级下·北京·课后作业）已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值．将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据y的最小值为，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ①若，当时，， 解得：； ②若，当时，， 解得(舍)； ③若，当时，， 解得：或(舍)， ∴m的值为或， 故选：D． 【变式14 -2】（24-25九年级上·北京·开学考试）二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式14 -3】（23-24九年级上·北京·期末）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． (1)函数在区间上的最小值是 (2)求函数在区间上的最小值． (3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式． 【答案】(1) (2)当x=0时，函数y有最小值 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据函数解析式可得对称轴为直线为，函数图象开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此可得当时，y有最小值，最小值为； （2）根据解析式可得二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此可得当时，y有最小值，最小值为； （3）分顶点横坐标在区间左侧， 顶点横坐标在区间上， 顶点横坐标在区间右侧，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线为，函数图象开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； （2）解：二次函数对称轴为直线，且图象开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； （3）解：将二次函数配方得： ∴对称轴为直线：，顶点坐标为，图象开口向上， 若顶点横坐标在区间左侧，则，即． 当时，函数取得最小值： 若顶点横坐标在区间上，则，即． 当时，函数取得最小值： 若顶点横坐标在区间右侧，则，即． 当时，函数取得最小值： 综上讨论，得． 【考点题型十五】二次函数的应用 【例15】（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程； （2）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时，分类讨论求解即可； 【详解】（1）解：对称轴为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴抛物线的图象开口朝上， 无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， ∵对称轴为， ∴， 得，则有：，， 此时代入，解得， ∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小， ∴此时； 综上所述，． 【变式15 -1】（21-22九年级上·北京大兴·期中）某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 【变式15 -2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图象．先根据函数开口向下判断，再根据抛物线与轴有两个交点即，即可判断①；根据时，，即可判断②；根据二次函数与一元二次方程之间的关系，以及二次函数的对称性，即可判断③；根据二次函数对称轴得到，以及时，，代换得到，即可判断④． 【详解】解：由图可知：即，，，， 抛物线与轴有两个交点即， ，故①错误； 时，， ，故②正确； 此抛物线经过点，则是方程的一个根， 对称轴为， 则一定是方程的一个根，故③错误； ， ， 时，， ，故④正确， 综上所述，正确的是②④， 故选：C． 【变式15 -3】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为 ． 【答案】4 【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 当y=0时，，解得：， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标． 【变式15 -4】（21-22九年级上·北京朝阳·期末）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，， 故答案为：，． 【变式15 -5】（2024·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象及不等式的性质进行求解． （1）根据对称点即可求对称轴； （2）由题意可知，抛物线与轴的交点为，①当时，抛物线开口向上，不成立；②当时，抛物线开口向下，且经过，，若抛物线经过点，则，若抛物线经过点，则，（i）当时，或，不合题意，（ii）当时，，因此对于，存在，对于，都有，所以成立；（iii）当时， 不合题意，故． 【详解】（1）解：由题意得与 对称轴对称， ∴； （2）解：由题意可知，抛物线与轴的交点为， ①当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，没有最大值， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 不成立． ②当时，抛物线开口向下，且经过，， 若抛物线经过点，则， 若抛物线经过点，则， （i）当时，或， 对于，都有， 与“对于，存在”不符，所以不合题意， （ii）当时，， ∴对于，存在， 对于，都有， 成立； （iii）当时， 当时，， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 综上所述：． 【变式15 -6】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系. （1）根据待定系数法即可求得； （2）令求出x的值，即可求解. 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得： . （2）令即， 解得：， 抛物线开口向上， 时，。 【变式15 -7】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 【答案】(1) (2)对称轴是，顶点坐标是，图象如图所示 (3)当或 当或 当 【分析】对于（1），关系式右边先提出2，再配方形成完全平方公式的形式即可； 对于（2），根据（1）中的顶点式得出顶点坐标和对称轴，并画出抛物线； 对于（3），观察图象判断即可． 【详解】（1）； （2）由（1）可知二次函数的顶点式为， ∴二次函数关系式的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线与y轴的交点是，画出抛物线，如图所示． （3）观察图像可知当，或时，； 当或时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，画二次函数图像，观察图像求值等，理解图像与x轴的上下关系就是函数值与0的大小关系是解题的关键． 【变式15 -8】（23-24九年级上·北京西城·期中）对于抛物线．    … … … … (1)它与轴交点的坐标为______________，与轴交点的坐标为______________，顶点坐标为______________； (2)在坐标系中利用描点法画出此拋物线； (3)根据图象回答：时，的取值范围是______________； (4)利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是______________． 【答案】(1)，；； (2)见解析 (3)或 (4) 【分析】（1）解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标；把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标； （2）通过列表、描点、连线画出二次函数图象； （3）观察函数图象确定抛物线在轴上方时的取值范围即可； （4）先利用二次函数的性质得到当时，函数值的范围为，则利用二次函数的图象可确定关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解时的范围． 【详解】（1）当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，； 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， ∵， 抛物线的顶点坐标为； 故答案为：，；；； （2）列表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点、连线，如图，    （3）根据函数图象可得，当时，的取值范围是或； 故答案为：或； （4）当时，； 当时，， ∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，二次函数与坐标轴交点，二次函数与一元二次方程的关系，画二次函数图象，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【变式15 -9】（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标； (3)根据图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、一次函数的应用，解题的关键是： （1）由待定系数法即可求解； （2）令，得到，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标； （3）观察图象可得当或，抛物线都在直线的上方，即． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得： 抛物线的解析式为； （2）令，得， 解这个方程，得，， 此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为； （3）观察图象可知，当或，． 【变式15 -10】（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）顶点为Q． (1)求抛物线顶点Q的坐标． (2)在平面内有三点，点C是由点B向下平移4个单位得到的； ①直接写出点C的坐标； ②若抛物线（）与三角形有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，平移的性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． （12）由题意知，，进而可得顶点Q的坐标； （2）①由平移的性质求解即可；②由题意知，分抛物线与三角形的边相交；抛物线与三角形的边相交，两种情况作图求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴顶点Q的坐标为； （2）①解：由平移的性质可知，； ②解：由题意知，分抛物线与三角形的边相交；抛物线与三角形的边相交，两种情况求解； 当抛物线与三角形的边相交时，如图1，                   图1 由题意知，当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴； 当抛物线与三角形的边相交时，如图2，                  图2 当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴； 综上所述，． 【变式15 -11】（23-24九年级上·北京西城·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形花园的面积为时，求的长； (3)如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值 【答案】(1) (2)长为或 (3)花园面积最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用： （1）根据矩形面积=长×宽求解． （2）令，然后解一元二次方程，即可作答．． （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． 解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为． （2）解：令，则， 解得或， ∴长为16m或12m． （3）解：∵点P在矩形内部， ∴， 解得． ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 【变式15 -12】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，两点在一次函数与二次函数的图象上． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量的取值范围为______； (3)直接写出所求的抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，坐标与图形变化—轴对称等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点B坐标代入一次函数解析式求出m的值，再把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，最后把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方自变量的取值范围即可得到答案； （3）设是抛物线关于轴对称的抛物线图象上的一点，则点在抛物线的图象上，把代入中求出m、n的关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴； 把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，， ∴当时，自变量的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设是抛物线关于轴对称的抛物线图象上的一点， ∴点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式15 -13】（21-22九年级上·北京·期中）如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为． (1)①当运动停止时，的值为 　　． ②设，之间的距离为，则与满足 　　（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ． (2)设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示）； ②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】(1)①，②一次函数关系； (2)①；②，的值最大为6 【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案； （2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1时，S的值最大为6． 【详解】（1）①，，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动， 当运动停止时，的值为， 故答案为：2； ②由已知可得；， 而， ， ，是一次函数， 故答案为：一次函数关系； （2）①由已知可得：，， ； ②， 且， 时，的值最大为6． 【点睛】本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示、的长度． 【变式15 -14】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即，两个索塔均与桥面垂直，主桥的长为m，索塔顶端与锚点的距离DE为m．缆索最低处的吊杆长为m，桥面上与点M相距m处的吊杆长为m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题．    (1)根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标：______，______ (2)求这条抛物线的解析式； (3)求引桥的长． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题考查二次函数的实际应用 （1）根据建立平面直角坐标系，题目已知的线段长度，即可表示出坐标； （2）根据点坐标，即可求得抛物线对应的函数表达式； （3）令，求得的长，然后利用勾股定理求得的长。 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．    依题意可知m，13m，m，m 故可得 （2）解：∵主桥的长为m ∴由抛物线的对称性可知(m)， ∴可得 设抛物线对应的函数表达式为 ∵抛物线经过点， ∴将点的坐标代入得 ， 解得 ∴ 故这条抛物线的解析式为： （3）解：∵抛物线对应的函数表达式为 当时， ,即m ∵ ∴， 在中， ∴(m) 答∶引桥的长为m． 【变式15 -15】（23-24九年级上·北京·期中）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2). 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可. 【详解】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)， ∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2. 将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ， ∴此抛物线的解析式为. (2)存在， 设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2， 当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°， ∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)． 解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)． 　②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2. 解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)． 类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)． 当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)， 综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2). 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题. 【变式15 -16】（23-24九年级下·北京·期中）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克． (1)求y月x之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利润为1600元． 【答案】(1)； (2)，售价为50元或70元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数与一元二次方程的应用： （1）设，把，；，代入求解即可； （2）利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，再令函数值为1600并求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，；，代入，得， 解得 ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）解：由题意得： ， ∴当时，， 解得∴，， 经检验，，均符合题意． 答：W与x之间的函数表达式为；当售价为50元或70元时，利润为1600元 【变式15 -17】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图所示，，两点在二次函数与一次函数图象上． (1)求的值和二次函数的解析式． (2)请直接写出使时，自变量的取值范围． (3)二次函数交轴于，请求出的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)3 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应用 （1）把代入一次函数，解方程即可求得的值；把，分别代入二次函数，得到关于和的方程组，解得和的值，则可得二次函数的解析式． （2）根据函数图象，位于上方的函数值大，可直接得出答案． （3）先利用二次函数交轴于，求得点的坐标，再根据点的坐标，可得轴，按照直角三角形面积公式计算即可得的面积． 【详解】（1）解：在一次函数图象上 ； ，两点在二次函数图象上 ， 解得：； 二次函数的解析式为； （2）解：由图象可得时，自变量的取值范围为或； （3）解：二次函数交轴于， ， 又， 轴，如图， 的面积为：． 的面积为3． 【变式15 -18】（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年北京跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 图1图2 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 4． 竖直高度 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)， (2) (3)不能，见详解 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点， ， ， ， 解得∶， 故答案为∶，； （2）， 当时∶， 解得∶或(不合题意，舍去)； （米）， 当时∶， 解得∶或(不合题意，舍去)； 故答案为∶； （3） 当时 即她在水面上无法完成此动作，她当天的比赛不能成功完成此动作． 【变式15 -19】（21-22九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若这条抛物线过点(m－2，y1)，(m＋n，y2)，且y1＜y2，结合图像，求n的取值范围． （3）直线y＝﹣x＋b与x轴交于A(3，0)，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点，若△OAP和△OAQ中有且仅有一个为钝角三角形，结合图像，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）-2≤m≤1或2≤m≤5， 【分析】（1）根据二次函数顶点坐标公式求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质列出不等式，求解即可； （3）根据题意可得直线AB的解析式为，得B（0，3），在直线上，当时，点P与点B重合，当时，，则，得点，，若和中有且仅有一个为钝角三角形，则或，进行计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵此二次函数对称轴为x=m，且a=1＞0开口向上， ∴当时，y的值随x的增大而减小，当时，y的值随x的增大而增大， 又∵， ∴， 化简得， ∴或； （3）将A(3，0)带入中得，， ∴， 当x=0时，y=3， 所以B（0，3）， 如图所示， 在直线上，当时，点P与点B重合， 当时，， 则， 则点，， 若和中有且仅有一个为钝角三角形，则 或， 解得，或， ∴m的取值范围是：或． 【点睛】本题考查了二次函数的有关性质，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 【变式15 -20】（22-23九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． (1)求抛物线的对称轴和点A的坐标； (2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； (3)已知点，．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，点A的坐标是； (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求对称轴，根据当时，即可求得点A的坐标； （2）根据对称性即可求解； （3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线，可知． ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线与y轴交于点A，当时，， ∴点A的坐标是； （2）∵点B是点A关于直线的对称点， ∴点B的坐标为． （3）∵点A ，点B ，点 P，点Q， ∴点 P在点A 的上方，点Q在直线上． ①当时，，点Q在点A的右侧． （i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段与抛物线没有公共点； （ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合， 结合函数图象，可知线段与抛物线恰有一个公共点 ②当时，，点Q在点B的左侧． （i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合， 结合函数图象，可知线段与抛物线恰有一个公共点； （ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧， 结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解． 【变式15 -21】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为__________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)米 (3)不能 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用 （1）把点代入即可； （2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可； （3）根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 故答案为：1； （2）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为， 即， 坡地经过点， 的解析式为， 如解图， 设抛物线上一点，过点作轴交于点， 则，的长为， ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值为， 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）解：不能； 理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ， 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 【变式15 -22】（23-24九年级上·北京东城·期中）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可； ②用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． 【详解】（1）解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ②由①可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； （2）解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 【变式15 -23】（22-23九年级上·北京·期中）抛物线与轴交于、，与轴交于点．      (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，点，为抛物线上一动点，为抛物线对称轴上一动点，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)、 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，此时最小，最小值为的长，求出的长，利用待定系数法求出直线的表达式，再求出点的坐标； （3）根据平行四边形的性质和判定，找出点、点的位置，再求出相应的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴，解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点， 连接，此时最小，最小值为的长， ∵抛物线的表达式为， ∴，对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 设：直线的表达式、为：， 由题意得：，解得，， ∴， 当时，， ∴． （3）：①如图：    ∵，当点的横坐标为时，此时 ∴， 又∵ ∴ 此时，，故四边形为平行四边形； ②如图：    当点为，为时， ∴，， ，， ∴，，故四边形为平行四边形； ③当为对角线时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，轴， 同理求得：点P的坐标为， ∴， 点Q的坐标为； 综上：点的坐标为、、． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、最短路径问题及平行四边形与二次函数的综合问题，利用对称或平行处理问题及分类讨论平行四边形的存在问题是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数（15个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数 首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简， 然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数自变量的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单03】二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： （1）当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． （2）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． （3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【清单04】待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【清单05】抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【清单06】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【清单07】二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 （1）函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． （2）利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单08】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． （1）描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． （2）函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【清单09】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【清单10】二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【清单11】二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时，同样进行分类讨论． 【考点题型一】二次函数的定义 【例1】（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -1】（2023·北京东城·模拟预测）用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【变式1 -2】（21-22九年级上·北京·单元测试）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【考点题型二】已知二次函数求字母的值 【例2】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）关于x的函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式2 -1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式2 -2】（14-15九年级上·北京·阶段练习）若是二次函数，则的值是 ． 【变式2 -3】（22-23九年级上·北京西城·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【考点题型三】列二次函数关系式 【例3】（22-23九年级上·北京昌平·期中）如图，线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是 ， ．（填“正比例函数”或“一次函数”或“二次函数”） 【变式3 -1】（21-22九年级上·北京西城·期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ． 【变式3 -2】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 【变式3 -3】（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【考点题型四】y=ax2的性质 【例4】（21-22九年级上·北京西城·期中）下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3 C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【变式4 -1】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线上y＝(m－4)x2有两点A(－3，y1)、B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是（    ） A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≠4 【变式4 -2】（20-21九年级上·北京房山·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线 C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0 【变式4 -3】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）点在二次函数的图象上，，下列推断正确的是（    ） ①对任意的，都有 ； ②对任意的，都有 ； ③存在，满足，且； ④对于任意的小于1的正实数t，存在，满足，且． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【变式4 -4】（23-24九年级上·北京密云·期末）若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 【变式4 -5】（14-15九年级·上海·期末）如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 【变式4 -6】（21-22九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【变式4 -7】（22-23九年级上·北京·期中）已知为抛物线上任意两点，且．若对于，都有，则a的取值范围是 【考点题型五】y=ax2+k的性质 【例5】（23-24九年级上·北京西城·期末）下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式5 -1】（23-24九年级上·北京房山·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5 -2】（23-24九年级上·北京·课后作业）二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【变式5 -3】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式5 -4】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 【变式5 -5】（21-22九年级上·北京密云·期末）如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式5 -6】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数的图象都在x轴的下方，则k的取值范围是 ． 【变式5 -7】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 【考点题型六】y=a(x-h)2的性质 【例6】（21-22九年级上·北京朝阳·期末）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【变式6 -1】抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6 -2】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）抛物线和的对称轴分别是（    ） A．y轴，直线 B．直线， C．直线，直线 D．y轴，直线 【变式6 -3】（21-22九年级下·北京·阶段练习）命题1是“a＜0”；命题2是“函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大”，则下列说法正确的是（　　） A．由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1 B．由命题2可以推导出命题1，但是由命题1无法推导出命题2 C．既可以由命题1推导出命题2，也可以由命题2推导出命题1 D．既无法由命题1推导出命题2，也无法由命题2推导出命题1 【变式6 -4】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【变式6 -5】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式 ． 【变式6 -6】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【变式6 -7】将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝ ． 【考点题型七】y=a(x-h)2+ k的性质 【例7】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知二次函数．下列说法：①其图象的对称轴为直线；②其图象顶点坐标为③当时，随的增大而减小；④该函数与轴交点为则其中说法正确的有 （填序号）。 【变式7 -1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）对于抛物线，下列判断正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【变式7 -2】（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7 -3】（22-23九年级上·北京·期中）平面上有一个图形与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形上，则称是“点与图形的联系点”，设抛物线：（为常数）顶点为，点关于轴的对称点为，若抛物线上存在点是点与图形的联系点，则所有可能的的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式7 -4】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7 -5】（22-23九年级上·北京海淀·期中）已知关于的二次函数，当时，的取值范围为 【变式7 -6】当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为 ． 【变式7 -7】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，有一组拋物线，它们的顶点在直线上，并且经过点，当时，，8，，根据上述规律，写出执物线的解析式（顶点式）为 ，和拋物线的顶点坐标 及它与轴的交点坐标 ．    【考点题型八】y=ax2 +bx +c的性质 【例8】（21-22九年级上·北京西城·期末）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线与y轴交点的坐标为 C．当时，抛物线的对称轴在y轴右侧 D．对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点 【变式8 -1】（22-23九年级上·北京大兴·期末）将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式8 -2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）抛物线，当时，函数y的取值范围是 【变式8 -3】（23-24九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)将化成的形式：__________； (2)补全表格，则__________，__________（），并在坐标系中利用描点法画出次二次函数的图象； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … 【变式8 -4】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)若对于，，有，直接写出t的值为________； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 【变式8 -5】（21-22九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8 -6】（安徽省芜湖市第二中学2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围 【变式8 -7】（2021年湖北省武汉市洪山区中考数学5月模拟试题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），其中点A（﹣1，0）,C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为直线x＝1，①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0 ；③二次函数的最大值的最小值为4；④﹣1≤a≤﹣．则其中正确结论的序号为 ． 【考点题型九】二次函数图像与各系数关系 【例9】（21-22九年级上·北京·开学考试）二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9 -1】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ①；②；③；④； ⑤若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．④⑤ 【变式9 -2】（2020·山东滨州·中考真题）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9 -3】（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【变式9 -4】（23-24九年级上·北京昌平·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【考点题型十】函数图像的综合判断 【例10】（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式10 -1】（23-24九年级上·北京丰台·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式10 -2】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式10 -3】（22-23九年级上·北京·期末）已知函数与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【变式10 -4】（11-12九年级上·北京朝阳·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（  　　）. A． B． C． D． 【考点题型十一】二次函数的图像平移 【例11】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式11 -1】（23-24九年级上·北京海淀·期中）将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式11 -2】（24-25九年级上·北京东城·开学考试）将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 【考点题型十二】根据两点对称求二次函数对称轴 【例12】（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【变式12 -1】（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，求b的值； (2)若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围． 【变式12 -2】（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于大于1的实数m，都有求的取值范围． 【考点题型十三】利用二次函数求最短路径 【例13】（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【变式13 -1】（21-22九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点 C． （1）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为　 　． 【考点题型十四】二次函数最值问题 【例14】（23-24九年级下·北京·阶段练习）若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（      ） A． B． C． D． 【变式14 -1】（16-17九年级下·北京·课后作业）已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式14 -2】（24-25九年级上·北京·开学考试）二次函数的最小值是 ． 【变式14 -3】（23-24九年级上·北京·期末）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． (1)函数在区间上的最小值是 (2)求函数在区间上的最小值． (3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式． 【考点题型十五】二次函数的应用 【例15】（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 【变式15 -1】（21-22九年级上·北京大兴·期中）某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式15 -2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与y轴交于，对称轴为，对于此二次函数，有以下四个结论： ①； ②；③若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根 ；④，中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【变式15 -3】（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为 ． 【变式15 -4】（21-22九年级上·北京朝阳·期末）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ． 【变式15 -5】（2024·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【变式15 -6】（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【变式15 -7】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 【变式15 -8】（23-24九年级上·北京西城·期中）对于抛物线．    … … … … (1)它与轴交点的坐标为______________，与轴交点的坐标为______________，顶点坐标为______________； (2)在坐标系中利用描点法画出此拋物线； (3)根据图象回答：时，的取值范围是______________； (4)利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是______________． 【变式15 -9】（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，一次函数的图象过点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标； (3)根据图象，直接写出时，x的取值范围． 【变式15 -10】（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）顶点为Q． (1)求抛物线顶点Q的坐标． (2)在平面内有三点，点C是由点B向下平移4个单位得到的； ①直接写出点C的坐标； ②若抛物线（）与三角形有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围． 【变式15 -11】（23-24九年级上·北京西城·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边），设，则． (1)求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形花园的面积为时，求的长； (3)如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值 【变式15 -12】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，两点在一次函数与二次函数的图象上． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量的取值范围为______； (3)直接写出所求的抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为______． 【变式15 -13】（21-22九年级上·北京·期中）如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为． (1)①当运动停止时，的值为 　　． ②设，之间的距离为，则与满足 　　（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ． (2)设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示）； ②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？ 【变式15 -14】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息；这座桥的缆索(即图2中桥上方的曲线)的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即，两个索塔均与桥面垂直，主桥的长为m，索塔顶端与锚点的距离DE为m．缆索最低处的吊杆长为m，桥面上与点M相距m处的吊杆长为m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题．    (1)根据题意，在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标：______，______ (2)求这条抛物线的解析式； (3)求引桥的长． 【变式15 -15】（23-24九年级上·北京·期中）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点． (1)求出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15 -16】（23-24九年级下·北京·期中）某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克． (1)求y月x之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利润为1600元． 【变式15 -17】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图所示，，两点在二次函数与一次函数图象上． (1)求的值和二次函数的解析式． (2)请直接写出使时，自变量的取值范围． (3)二次函数交轴于，请求出的面积． 【变式15 -18】（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年北京跳水冠军赛女子单人米跳台决赛中，陈芋汐以分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 图1图2 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 4． 竖直高度 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则____（填）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【变式15 -19】（21-22九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若这条抛物线过点(m－2，y1)，(m＋n，y2)，且y1＜y2，结合图像，求n的取值范围． （3）直线y＝﹣x＋b与x轴交于A(3，0)，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点，若△OAP和△OAQ中有且仅有一个为钝角三角形，结合图像，求m的取值范围． 【变式15 -20】（22-23九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． (1)求抛物线的对称轴和点A的坐标； (2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标； (3)已知点，．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【变式15 -21】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为__________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【变式15 -22】（23-24九年级上·北京东城·期中）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【变式15 -23】（22-23九年级上·北京·期中）抛物线与轴交于、，与轴交于点．      (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，点，为抛物线上一动点，为抛物线对称轴上一动点，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$