专题03 反比例函数（期中真题汇编，北京专用北京版）九年级数学上学期

专题03 反比例函数 2大高频考点概览 考点01 反比例函数定义及图像性质 考点02 反比例函数与一次函数综合 地 城 考点01 反比例函数定义及图象性质 一、单选题 1．(23-24九上·北京房山区·期中)已知蓄电池两端电压为定值，电流与的函数关系为．当时，，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)对于反比例函数，下列结论中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限 D．若，则 二、填空题 3．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为    4．(23-24九上·北京第九中学·期中)如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是    5．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是 ． 三、解答题 6．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n的值； (2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围． 7．(23-24九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请结合图象直接写出时，的取值范围是____________． 8．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)已知反比例函数图象经过． (1)求的值； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 地 城 考点02 反比例函数与一次函数综合 一、单选题 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、解答题 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k≠0）交于点A（2，a）． (1)求a与k的值； (2)在图中画出双曲线（k≠0）； (3)设P（m，n）是双曲线（k≠0）上一点（点P与点A不重合），直线与y轴交于点B（0，b），当时，结合图象，直接写出b的值． 1 2 3 … 4 2 … 3．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 4．(23-24九上·北京房山区·期中)小宇在学习过程中遇到了一个函数． 下面是小宇对其探究的过程，请补充完整： (1)对于函数，当时，随的增大而减小， 对于函数，当时，随的增大 而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而____________； (2)当时，对于函数与的几组对应值如下表： 1 2 2 在平面直角坐标系中，画出当时函数的图象．    (3)过点作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题： 若直线与函数的图象有两个交点，则___________． 5．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点．    (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标____________； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标． 6．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 7．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 8．(23-24九上·北京平谷区·期中)电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究： 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据： 速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160 续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310 则设______为，______为，是的函数； (2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有______： ①随的增大面减小； ②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大； ③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小． (4)若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 2大高频考点概览 考点01 反比例函数定义及图像性质 考点02 反比例函数与一次函数综合 地 城 考点01 反比例函数定义及图象性质 一、单选题 1．(23-24九上·北京房山区·期中)已知蓄电池两端电压为定值，电流与的函数关系为．当时，，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵当时，， ， 解得， ， 则当时，， 故选：A． 2．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)对于反比例函数，下列结论中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：A、当 时， ，即图象必经过，故本选项正确，不符合题意； B、因为 ，所以在每一象限内，随的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、因为 ，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； D、若，图象位于第四象限内，随的增大而增大，此时，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 3．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为    【答案】4 【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于， 解得：， ∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键． 4．(23-24九上·北京第九中学·期中)如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是    【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点 ∴的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 5．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．根据题意可得，再结合图像即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过点，轴，的面积小于， ， 解得：， 由图可知，反比例函数的图像过一、三象限，故， ， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25九上·北京顺义区仁和中学·期中)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n的值； (2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式． （1）把代入反比例函数，求出的值即可；把代入反比例函数的解析式可求出； （2）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）观察函数图象可知，自变量取值范围是：或． 7．(23-24九上·北京房山区·期中)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请结合图象直接写出时，的取值范围是____________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，由函数图像求不等式解集． （1）把点代入求得的值，求出点坐标，然后根据待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数的另一个交点，再根据函数图像即可求得． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 当时，， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）当时，，， 一次函数与反比例函数的另一个交点为， 由图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 8．(23-24九上·北京石景山区古城中学·期中)已知反比例函数图象经过． (1)求的值； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）用待定系数法求反比例函数的解析式； （）根据反比例函数的增减性即可； 此题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数图象经过， ∴； （2）由（）得：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∴反比例函数图象上两点，，， ∴． 地 城 考点02 反比例函数与一次函数综合 一、单选题 1．(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点一定在上，选项中有点和在上，此时观察图2，发现时，接近3，所以点的位置是图1中的点．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当时，此时的面积为0，说明点一定在上这一信息． 【详解】解：，，四边形是矩形， 当时，点到达点，此时的面积为0，说明点一定在上， ∵观察图2，发现时，接近3， 从选项中可得只有点最符合实际情况， ∴点的位置可能是图1中的点． 故选：D． 二、解答题 2．(24-25九上·北京门头沟区·期末)在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k≠0）交于点A（2，a）． (1)求a与k的值； (2)在图中画出双曲线（k≠0）； (3)设P（m，n）是双曲线（k≠0）上一点（点P与点A不重合），直线与y轴交于点B（0，b），当时，结合图象，直接写出b的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或6 【分析】（1）把A（2，a）代入得，得到A（2，2），把A（2，2）代入得即可； （2）如图，利用描点法画函数图象； （3）分P点在第三象限和点在第一象限两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把A（2，a）代入得， 则A（2，2）， 把A（2，2）代入得． （2）表如下： 1 2 3 … 4 2 … 描点连线如图所示． （3）当P点在第三象限，如图，作轴于C，轴于D，， ∵， ∴， ∴，， 当时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为，即b的值为﹣2； 当点在第一象限，如图，作轴于C，轴于， ∵， ∴， ∴，， 当时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，即b的值为6， 综上所述，b的值为-2或6． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了相似三角形的判定与性质． 3．(24-25九上·北京房山区·期中)如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)12 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出的值，得到反比例函数的解析式，再将代入反比例函数解析式，求出的值，得到点的坐标，最后将，代入一次函数解析式得：，求出、的值即可； （2）在中，当时，，求出点的坐标，得出，最后根据三角形面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：， 解得：， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数图象上，且点的横坐标为， 当时，， ， 把，代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：在中，当时，， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 4．(23-24九上·北京房山区·期中)小宇在学习过程中遇到了一个函数． 下面是小宇对其探究的过程，请补充完整： (1)对于函数，当时，随的增大而减小， 对于函数，当时，随的增大 而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而____________； (2)当时，对于函数与的几组对应值如下表： 1 2 2 在平面直角坐标系中，画出当时函数的图象．    (3)过点作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题： 若直线与函数的图象有两个交点，则___________． 【答案】(1)减小；减小 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了函数的图象和性质，解题的关键是： （1）首先判断出当时，的变化，根据两部分的函数增减性一致即可分析； （2）利用表格中的数据，描点，连线即可； （3）根据（1）中结论判断出直线l在y轴左侧必定与函数有一个交点，再找到直线l在y轴右侧有一个交点时的m值即可． 【详解】（1）解：对于函数，当时，， 则随的增大而减小， ∴对于函数，当时，随的增大而减小， 故答案为：减小，减小； （2）如图所示：    （3）由（1）可得：对于函数，当时，随的增大而减小， 而中，y值可以无限大，也可以无限小， 故直线l在y轴左侧必定与函数有一个交点， 则只需在y轴右侧与函数有一个交点即可， 如图，当时满足题意， 综上：．    5．(23-24九上·北京门头沟大峪中学·期中)在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到点N，我们称点N为点M关于点P的二次关联点．已知点．    (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联点的坐标____________； (2)若点A关于点P的二次关联点与点A重合，求点P的坐标（画出图形、写出结果即可）； (3)若点A关于点P的二次关联点在直线上，求此时点A的二次关联点的坐标及P点坐标． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)二次关联点的坐标为 【分析】（1）如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，证明，则，进而可得，； （2）如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，，由，，可得，，则，进而可得； （3）如图3，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，过作于，设，则，同理（1），，则，，，，，由，，可得，解得，，进而可求． 【详解】（1）解：如图1，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，记旋转后对应的点为，与直线的交点为，则垂直平分，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，记旋转后对应的点为，关于直线对称的点为，过作轴于，过作于，    设，则， 同理（1），， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．(24-25九上·北京昌平一中教育集团·期中)定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据两个图形之间的距离的定义，画出图形即可判断； ②当直线在点A的上方时，过点作直线，过点作，交BA的延长线于点，两个图形任意两点的距离中的最小值等于1时，直线解析式b的值，同理可求出当直线在点的下方时，直线解析式b的值，再结合图象即可得出结论； （2）当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时，设直线交直线于点，可求，，进而求出，同理求出当正方形EFGH在直线y=-x+2的右侧时，求出，结合图象即可判断． 【详解】（1）①如图1中， 观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，． 故答案为：，； ②如图②中， 当直线在点的上方时，过点作直线， 过点作，交BA的延长线于点． 不妨假设，则， ， ， ， 当直线在点的下方时，过点作直线， 不妨假设，同法可得， ， ， 观察图象可知，满足条件的的取值范围为； （2）如图3中， 当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时， 设直线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时， 同法可得， ∴， 观察图象可知，满足条件的m的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，两个图形之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 7．(24-25九上·北京首都师范大学附属中学永定分校·期中)在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键． （1）由点 可得， ，再根据题意将点 到矩形的最短距离算出来， 若大小等于， 则符合题意，即可求解； （2）先求出正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 再根据直线在坐标轴内平移，找出直线上关联点到正方形距离等于 时的临界点时的值即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”， 故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值， ， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 8．(23-24九上·北京平谷区·期中)电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究： 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据： 速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160 续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310 则设______为，______为，是的函数； (2)建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，下列说法正确的有______： ①随的增大面减小； ②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大； ③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小． (4)若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内． 【答案】(1)续航里程，速度 (2)见解析 (3)②③ (4)35，100 【分析】本题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义． （1）根据表格，由函数定义求解即可； （2）利用表格数据，描点法画函数图象即可； （3）由函数图象即可得出结果； （4）由函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可设续航里程，速度为， 故答案为：续航里程，速度； （2）解：函数图象如图所示： （3）解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大； 汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小； 正确的有：②③， 故答案为：②③； （4）解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在35至100千米/小时范围内， 故答案为：35，100． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $