2024年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学三模试卷

2024年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在下列实数中，是有理数的是（　　） A.3 B． C． D． 2．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（　　） A.2 B． C． D． 4．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．长方体 B.三棱锥 C.圆锥 D.三棱柱 5．如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（　　） A． B． C． D． 6．某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（　　） A．中位数，方差 B．众数，方差 C．平均数，中位数 D．中位数，众数 7．函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形ABCD，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（　　） A．四边形ABCD的面积 B．四边形EFGH的面积 C．的面积 D．的面积 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为___________． 10．分解因式：___________． 11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12．如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是___________． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 13．如图，已知内接于，AB是的直径，若，则___________． 14．一个圆锥的底面半径为3，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为___________． 15．定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为___________． 16．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是___________． 17．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线上，将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在双曲线上的点处，则___________． 18．如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为___________． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．先化简，再求值．，其中． 21．如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下： 规则（部分） ①…… ②游戏时抛掷一枚质地均匀的额正方体骰子（每个面点数分别为1，2，3，4，5，6），根据掷得的点数移动棋子（如棋子在A处时，掷得1点，就移动1格到B处，掷得2点，就移动2格到c处）； 在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在处． （1）掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是___________； （2）掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到处的概率． 22．4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：， b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在这一组的是： 84 85 85 86 86 88 89 C．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下： 分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全a中频数分布直方图； （2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是___________；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是___________； （3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀． 23．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ 24．如图，已知：在四边形中，相交于点． （1）求证：． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 25．如图，A、B、C、D四点在上，BD为的直径，于点，DA平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； 26．已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 27．如图1，中，，点为斜边的中点，点是线段上的动点，点关于直线对称点为点，连接，连接． （1）当为等边三角形，的大小为___________； （2）如图2，延长，交射线于点，大小是否发生变化？若不变，请求出的大小；若变化，请说明理由． （3）如图2，，点由点运动至点的过程中，的面积最大值为___________，扫过的面积为___________． 28．抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； （1）如图①．连接，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标___________． （2）如图②，若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． （3）如图②，在第（2）的条件下，线段CA的延长线交OE于点H，点H恰好为QE的中点，求点Q的横坐标． 答案和解析 1．【答案】C 【解析】解：有理数指整数可以看作分母为1的分数．正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数， 所给实数，有理数的是． 故选：C． 根据有理数的定义判定即可． 本题考查实数，解题的关键是掌握有理数的定义． 2．【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】 解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意； 故选：． 3．【答案】C 【解析】解：，故不符合题意； B、与不能合并，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．【答案】D 【解析】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体 是三棱柱， 故选：D． 通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键． 5．【答案】A 【解析】解：矩形的四个内角为，正六边形的每个内角为， ， 故选：． 由周角的性质可直接求解． 本题考查了矩形的性质，多边形的内角和外角，掌握这些性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为：， 故该组数据的众数为15岁， 总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15， 则中位数为：（岁）， 故统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案． 本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7．【答案】D 【解析】解：当时，， 图象与轴交于点（-1，0）， 故选：D． 根据图象与解析式的关系找出图象上的特殊点进行判断． 本题考查了函数的图象，掌握图象与解析式的关系是解题的关键． 8．【答案】D 【解析】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，直角三角形的长直角边为，短直角边为． ， ． ． ． 故选：D． 设直角三角形的长直角边为，短直角边为，直角三角形的长直角边为，短直角边为，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中． 本题考查勾股定理的应用．用直角三角形的直角边长表示出阴影部分的面积是解决本题的关键． 9．【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数， 当原数绝对值时，是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 10．【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． 先化简，再运用公式法进行因式分解． 本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键． 11．【答案】 【解析】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 利用分式和二次根式有意义的条件确定关于的不等式，从而确定答案． 考查了二次根式及分式有意义的条件，属于基础题，比较简单． 12．【答案】 【解析】解：七年级共有500名学生，体重“标准”的学生有350名， ． 故答案为：． 根据概率公式计算即可． 本题主要考查了概率的计算．某事件的概率=这个事件发生的结果数除以总的结果数． 13．【答案】29 【解析】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：29． 根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论． 本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，准确计算是解题的关键． 14．【答案】 【解析】解：设侧面展开图所得扇形的半径为， 根据题意得，解得， 所以该圆锥体的侧面积． 故答案为：． 设侧面展开图所得扇形的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据扇形面积公式求解． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15．【答案】 【解析】解：如图所示： ，三角形的面积为2， ， ， ． 故答案为：． 根据等腰三角形的三线合一和面积公式解答即可． 此题考查三角形，关键是根据等腰三角形的三线合一和面积公式解答． 16．【答案】且 【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且，即， 解得， 故答案为：且． 根据关于的一元二次方程有两个实数根可知且，求出的取值范围即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 17．【答案】2 【解析】解：对于直线， 令，得到；令，得到，即，． 过作轴，交轴于点，过作轴，过作垂直于于，如图所示． 四边形为正方形， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 把坐标代入反比例解析式得：，即， 同理得到， ， ， 把代入反比例解析式得，即， 则将正方形沿轴负方向平移2个单位长度，使点恰好落在双曲线上的点处，即．故答案为：2． 对于直线解析式，分别令与为0求出与的值，确定出与坐标；过作轴，交轴于点E，过作轴，过作垂直于于，如图所示，通过证明得到点坐标，进而求出反比例函数的解析式；同理得到，进而确定点的坐标和点的坐标，即可确定出的值． 此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握性质是解本题的关键. 18．【答案】 【解析】解：在上截取，连接， 是中点， ，在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 在上截取，证明和全等， 得到， 则，由此得出最小值． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值． 19．【答案】解：（1） （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 【解析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．【答案】解：原式 将代入，原式． 【解析】首先将括号里面通分运算进而化简，再利用已知数据代入求出答案． 此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 21．【答案】 【解析】解：（1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到D处， 掷1次骰子，移动后该棋子到处的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到E处的结果有：，（6，2），共5种， 移动后该棋子恰好到处的概率为． （1）由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到处，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及移动后该棋子恰好到E处的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．【答案】88.5 94 【解析】解：（1）成绩为的学生人数为（人）， 补全的频数分布直方图如图所示： （2）将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是（分）； 八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94； 故答案为：； （3）（人）， 答：估计这两个年级共有360人达到了优秀． （1）根据频数分布直方图的数据可得成绩为的学生人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）求出七、八年级学生参加活动的成绩为优秀的百分比可得答案． 本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，中位数和众数，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 23．【答案】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元． 【解析】设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，利用数量总价单价，结合用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出型充电桩的单价，再将其代入中，即可求出型充电桩的单价．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． （2）解：如图，作线段的垂直平分线，分别交于点，连接，则四边形BEDF即为所求． 【解析】（1）结合平行线的性质、全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．【答案】（1）证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， 于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 【解析】（1）连接，则， 而， 所以， 则， 因为于点， 所以， 即可证明是的切线； （2）由为的直径， 得， 因为， 所以， 则， 求得， 则， 所以． 此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、直角所对的圆周角是直角、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 26．【答案】解：（1）设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨， 根据题意得：， 解得：． 答：1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨． （2）由题意可得：， ． 均为正整数， 有、和三种情况． 故共有三种租车方案，分别为： ①A型车1辆，B型车7辆； ②A型车5辆，B型车4辆； ③型车9辆，型车1辆． 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关 系，列出关于、的二元一次方程组； （2）由（1）的结论结合共运货31吨，找出． （1）设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出，即，由a、b均为正整数即可得出各租车方案． 27．【答案】 【解析】解：（1）是等边三角形， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， 故答案为； （2），不发生变化，理由如下： 设， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ， ， ， ； （3）如图1， 作的外接圆，连接，作于， ， ， ， 当共线时，最大， 如图2， 以为圆心，为半径作，则过点，作射线，交于， 则扫过的面积是弓形的面积， ， ， ， 故答案为． （1）可得出，进而求得，进一步得出结果； （2）设，可表示出，，可得出， 从而， 从而得出， 进而得出； （3）作的外接圆，连接，作于，可得出当共线时，最大； 以为圆心，为半径作，则过点，作射线，交于，可得出扫过的面积是弓形的面积， 可求得， 从而得出． 本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，确定圆的条件，扇形的面积公式等知识，解决问题的关键是设角，导角得出角之间的关系． 28．【答案】（4，3） 【解析】解：（1）①令， 解得：或3， 令，则， 则点的坐标分别为， ，解得：， 故抛物线的表达式为：； ②当与全等时， 则点关于抛物线的对称轴对称， 则点， 故答案为：（4，3）； （3）设点，点、， 把点、坐标代入一次函数表达式： 得：， 解得：， 故函数的表达式为：， 即点坐标为（0，3a-am）， 同理可得点， 为定值； （4）由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式两式得：， 解得：， 由（3）知，， 恰好为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：， 即点的横坐标为6． （1）①由，即可求解； ②当与全等时， 则点关于抛物线的对称轴对称，即可求解； （3）求出故函数的表达式为：， 得到点坐标为（0，3a-am），同理可得点，即可求解； （4）求出，由中点坐标公式得：，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等等知识，综合性强，难度适中． 学科网（北京）股份有限公司 $$