江苏省南通市海门实验学校2024-2025学高一上学期12月检测数学试题

学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 4 页 时间：120 2024-2025 学年第一学期高一年级月考数学试卷 分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 函数 = + + −f x x xln 3 1 e)()( 的定义域为（ ） A． −[ 3,0] B． −[ 3,0) C． −( 3,0] D． −( 3,0) 2. 已知 是第二象限角，P x( ,8)为其终边上的一点，且 4 5 sin ，则 =x （ ） A．−6 B．6 C． 3 32 D．− 3 32 3. 若扇形面积为1cm2，圆心角为2rad，那么该扇形的弧长为（ ） A．1cm B． 2cm C．2cm D．2 2cm 4. 函数 − = x y x 12 的图象大致为（ ） A B C D 5. 设 =a 0.4 2.5 )( ， =b log 0.42.5 ， =c 2.5 0.4 )( ，则 、、a b c的大小关系为（ ） A．  c a b B．  a b c C．  b a c D．  a c b 6. 函数 f x x x= − − +2 3 2( ) log ( 2) 的单调递减区间为（ ） A． − −( , 1 2 ) B． − −( 2, 1 2 ) C． − +( 1 2 , ) D． −( 1 2 ,1) 7. 已知函数  −  = −  − x f x x x x2 7 , 3 log 1 , 3 1 2)( 且 =f a 1)( ，则 −f a3 )( 的值为（ ） A．0 B．1 C．−3 D．0 或 1 8. 已知幂函数 − −= m my x m Z 2 2 3( )的图象关于 y 轴对称，且在 +(0, )上单调递减，则满 足 +  − − − a a m m ( 1) (3 2 )5 5 的实数a的取值范围为（ ） A． − − ( , 1) ( 2 3 , 3 2 ) B． −( , 2 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 4 页 C． ), 2 3 () 3 2 ,1( +−  D． ) 2 3 ,0( 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分． 9.下列说法正确的有（ ） A．命题 043,: 2 ++ xxRxp ，则命题 p 的否定是 043, 2 ++ xxRx B． ( ) 2f x x= − 与 ( ) ( )2x x g x x − = 不是同一个函数 C．定义在R 上的函数 ( )y f x= 为奇函数的充要条件是 (0) 0f = D．“ 1a  且 1b  ”是“ 1ab  ”的充分不必要条件 10.若 0a  ， 0b  ，且 1 2 1 a b + = ，则下列说法正确的有（ ） A．ab的最小值是8 B．a b+ 的最大值是3 2 2+ C． 2 2 1 4 a b + 的最小值是 1 2 D． ( 1)a b− 的最小值是3 2 2+ 11.若定义在 ( )1,1− 上不恒为 0的 ( )f x ，对于 ( ), 1,1x y  − 都满足 ( ) ( ) 1 x y f x f y f xy  + + =   +  ， 且当 ( )1,0x − 时， ( ) 0f x  ，则下列说法正确的有（ ） A． (0) 0f = B. ( )f x 为奇函数 C． ) 2 1 () 4 1 () 3 1 ( fff + D. ( )f x 在 ( )0,1 上单调递减 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12.若函数 ( )logay x m n= + + ( )0, 1a a 且 的图象恒过定点 ( )5 2， ，则m n+ = ________． OP13．如图，在Rt PBO△ 中， 90PBO = ，以 O为圆心，OB为半径作圆弧交 于点 A.若圆弧 AB 等分 POB的面积，且 AOB  = ，则 tan   = . 14.已知函数 ( ) ( )2 2 log 1 ,1 3 1 10 8, 3 3 3 x x f x x x x  −    =  − +   ，若关于 x 的方程 ( )f x m= 有 4个不同的实根 x1、 2x 、 3x 、 4x ，且 1 2 3 4x x x x   ，则 ( )1 2 3 4 1 2 x x x x x x + 的取值范围为________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 4 页 15.已知函数 ( ) ( ) ( ) 2 sin cos sin 2 x x f x x    + − =   +    ． （1）求 7 3 f       值；（2）若 ( ) 2f  = ，求 2 2 sin sin cos 1 cos     + + 的值． 16.已知函数 xxf alog)( = )1,0(  aa 且 ，若函数 )(xf 在区间  4,1 上的最大值与最小值 之和为 2. （1）求函数 )(xf 解析式，并求出关于 x 的不等式 1) 1 1 (  + − x x f 的解集； （2）求函数 )2( 4 )( xf x fxg       = ，  4,1x 的值域，并求出取得最值时对应的 x 的值. 17．某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设 比例系数为 1k ，其关系如图 1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为 2k ， 其关系如图 2．（注：利润与投资额单位是万元） （1）分别将 A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出 1,k 2k 的值，写出它们的函 数关系式； （2）该企业已筹集到 10万元资金，并全部投入 A，B两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元． 学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 共 4 页 18. 已知定义在 R上的函数 12 ( ) 2 1 x x b f x +− = + 是奇函数. （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）判断 ( )f x 的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在 0x  ，使得关于 x 的不等式 2 2 1 ( ) ( ) 0 k f x f kx x x + + − −  能成立，求实数 k 的取 值范围. 19.已知函数 2y ax bx c= + + . (1)关于 x 的不等式 2 0ax bx c+ +  的解集为{ 1 3}x x−  ∣ ，求关于 x 的不等式 2 2( 2) 3 0bx a c x a− − −  的解集; (2)已知 0, 0a b  ，当 2x = 时， 2y ab c= + ， ①若存在正实数 a，b，使不等式 2 3 0 2 b t t a+ − −  有解，求 t的取值范围; ②求 4 16 2 1 b a b a + − − 的最小值. 2024-2025学年第一学期高一年级月考数学试卷 1、【答案】C 2、【答案】A 3、【答案】C 4、【答案】B 5、【答案】C 6、【答案】B 7、【答案】B 8、【答案】C 9、【答案】BD 10、【答案】ACD 11、【答案】ABD 1 12、【答案】-2 13、【答案】 2 14、【答案】(21,24) 已知函数(x)= sin(π+x)cos(π-x) 15、 sin? 2+x 7 )求f八3) 值 (2)若f(a)=2,求ima+sinco的值 1+cos'a 【答案】(1)5 (2）1 【小问1详解】 ()=sin(cos(sinr(-coax)-tant cos'x 3 tan- 【小问2详解】 由f(a)=tana=2, 可知n'a+sinacosa_ sin'a+sinacosa tana+tan'a =1 1+cos'a sin'a+2cos'a 2+tan'a 16、【答案】(1)f(x)=log,x (x>0) 3分 由f1.得 1,则0<-l x+1 4分 解之得x<-3或x>1 ..6分 故不等式解集为{付x<-3或x>} 7分 (2)g(*)-/./(2x)-log.(t)-log.(2-(og:*-2-Qog.x+D) =(1og2x)2-1og2x-2 9分 令logx=1,t∈[0,2] 记g0=r-2-(0 12分 综上g(x)的值域为 …13分 1=。时函数取到最小值，此时x=√互 14分 1=2时函数取到最大值，此时x=4…… 15分 17.()片k-音0=≥0,8倒-系E.20,(2)A产品投入3.7万 4 万元，8产品投入6,25万元时，企业获得最大利润为65(（40625)万元. 16 【详解】解析：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为fx)万元，B产品的利润为g(x) 万元 由题设f()=kx,g)=kV· 由图知/0-}所以七片又8④=；所以k- 4 所以f=x≥0.g=E,x≥0). (2)设A产品投入x万元.则B产品投入10-x万元.设企业的利润为y万元， =m+ga0-0+0-,0ss10 令01则10+子--答@1s而 4 所以当1=时.ym6 65 此时x=10学-片375 :当A产品投入3.75万元，B产品投入625万元时，企业获得最大利润为65即40625万 16 元 18、【答案】（①）f)是定义在R上的奇函数六j0=-2=0.6=2m…2分 1+1 此时)20-29 代)=20-2).2g-”:-6).f国)是奇函数满足题意 1+2 1+22+1 f)=22 1+2 5分 品-小.心在R上是减画数 2)f=22” 7分 证明：设，x∈R且x<2, 则f6x)-f6)=,44=42-2) 1+1+290+2)0+2) ￥<x2,2>24,1+25>0,1+25>0, .x)fx)>0, 即f(化)>f(,),一.f(x)在R上是减函数10分 (3)因为f(x)是奇函数 故不等式+宁+红孕0即心+之>-水令=+的 …11分 又)是R上的减通数故+<+冬+的在>0时能陵立卫分 令1=x+x>0),则1=x+之2，当且仅当x=1时取等号 X2+。（Gx+-2F2=1-2在≥2时能成立15分 故k> x+ x+ 易得函数0=1-二在[2，切)为增函数《仅需说明单调性即可，不必再次证明)16分 则0m=1,故k>1… 17分 19,(1)答案见解析 (2)①(-0，-4U1,+∞），236 【详解】(1)因为关于x的不等式ar2+r+c<0的解集为{-1<x<3} a>0. [a>0 6 所以{-1+3=- 即{b=-2a, a c=-3a -1x3= a 所以不等式br2-a(c-2)x-3a2≥0可转化为-2m2-a(-3a-2).x-3a2≥0. 又a>0,所以2x2-(3a+2)x+3a≤0，即(2x-3dx-0≤0， 当3a>1.即a>时、解得1sxsa: 2 2 当子01即a时 解得x=1: 当a<1,即0<a<时，架得0≤xs1 综上所述：当a> 时，不等式的解集为] 3 当a=号时，不等式的解集为 当0a时，不等式的朝集为刘a叫 (2)因为当x=2时，y=2ab+c,所以4a+2b+c=2ab+c, 即2a+b=b.所以上+21 a b ①若存在正实数a。使不等+-a片0有银则r+[口+ b 2a 当且仅当铝 ,即a=2b=4时. a+4 b 所以2+3t>4,解得t<4或t>1, 即t的取值范围是(-∞，-4)UL,+∞) 2由2a+b=ab,可得(a-10b-2)=2 所拟9+90.2*8,18a a-1 =20+630+08》-20+a+20-)=4ar2动 (a-1)b-2) a+后引+兽+45+3告品6 当且仅当兽 ,即a=b=3时，等号成立 所以胎岛的录小值为运