精品解析：江西省景德镇市乐平市第五中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

乐平五中八年级数学期末模拟试卷 一、选择题（共6小思，18分） 1. 若点在第四象限内，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 2. 如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ） A. ∠AOD B. ∠AOB C. ∠BOC D. ∠AOC 3. 下列能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式是最简分式，则△表示的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，D为延长线上一点，E为上一点，，连接，F为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 或 B. 5或7 C. 或 D. 6 二、填空题（共6小题） 7. 已知点的坐标为，则点到原点的距离为______． 8. 因式分解：______． 9. 如图，在中，相交于点O，过点A作于点E，若，则的长度为__________． 10. 同时满足不等式和不等式的的整数值为_________． 11. 点与点关于原点对称，则的值为______． 12. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作，交于点F，连接，则下列结论： ①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的为______．（只填序号） 三．解答题（共13小题） 13. （1）分解因式：； （2）解方程：． 14. 如图，在等腰和中，，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出的边上的高． （2）在图2中，作出的边上的中线． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 17. 如图，在中，，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，交于点． （1）求的度数． （2）若，求阴影部分的面积． 18. 李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． （1）请用公式法因式分解______； （2）若正方形的面积为，为整数，试说明这个正方形边长为偶数． 19. 图形从特殊到一般 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 如图1，在中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由； 探究二：若将改为任意四边形呢？ 如图2，在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由． 20. 某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； （3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成． 据上述条件解决下列问题： ①规定期限是多少天？写出解答过程； ②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款? 21. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 22. 观察下列算式： 、、 （1）由此可推断：_______； （2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； （3）仿照以上方法可推断：_______； （4）仿照以上方法解方程：． 23. 已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． （1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平五中八年级数学期末模拟试卷 一、选择题（共6小思，18分） 1. 若点在第四象限内，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式组，掌握第四象限内点的坐标特征是解题关键．根据第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限内， 则， 解得：， ∴， 故选：B． 2. 如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ） A. ∠AOD B. ∠AOB C. ∠BOC D. ∠AOC 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义：图形在作旋转运动时，一个点与旋转中心的连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角即为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，与均为旋转角 故选D． 【点睛】本题考查了旋转角的定义．解题的关键在于熟练掌握旋转角的定义． 3. 下列能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 4. 若分式是最简分式，则△表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答． 【详解】解：因为，且分式是最简分式， ∴中不含或， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 5. 如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角形中位线的性质，得出，计算，，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，推出，根据等角对等边，得出的长，最后根据计算得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，点是的中点， 又∵的角平分线交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，D为延长线上一点，E为上一点，，连接，F为的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 或 B. 5或7 C. 或 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先用分别表示出，，，再利用中位线的性质求出，然后利用解直三角形求得，，，再利用勾股定理得到关于的方程求解，最后求得． 【详解】解：在上截取，连结，过点作于点， 设， ∵，， ∴，， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 又， ∴，解得：或， 当时，； 当时，， 故选： B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直三角形，二次根式的应用，中位线定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 二、填空题（共6小题） 7. 已知点的坐标为，则点到原点的距离为______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点到原点的距离：, 故答案为：13． 【点睛】本题考查了点的坐标和勾股定理的应用，解题关键是熟记，点P (m，n) 到 x 轴的距离= |n| ，点P (m，n) 到 y 轴的距离= |m| 和勾股定理． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 9. 如图，在中，相交于点O，过点A作于点E，若，则的长度为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，掌握这些知识是关键．由勾股定理求得的长，再由平行四边形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点； ∵， ∴； 故答案为：5． 10. 同时满足不等式和不等式的的整数值为_________． 【答案】5和6 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，再联立两个不等式的解集，最后进行判断即可． 【详解】解：∵， 解得， ∵， 解得， 则联立不等式解集为， ∴的整数值有5和6， 故答案为：5和6． 【点睛】本题考查了不等式的解集，准确的计算是解决本题的关键． 11. 点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，再利用乘方法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作，交于点F，连接，则下列结论： ①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的为______．（只填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 连接，作于．首先证明，根据可证明，再证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：作于． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确， ∵，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， ∴①②③都正确， 故答案为：①②③． 三．解答题（共13小题） 13. （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解和解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）首先方程等号两边同时乘以，将分式方程转化为一元一次方程并求解，然后检验是否为增根，即可获得答案． 【详解】解：（1） ； （2）解：， 原方程去分母，得 ， 解得 ， 检验：当时，， 故原方程的解为． 14. 如图，在等腰和中，，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出的边上的高． （2）在图2中，作出的边上的中线． 【答案】（1）如图AM即为所作． （2）如图CN即为所作． 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接即为所求． （2）连接交于，连接交于，连接，交于，连接并且延长交于，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角形三条中线交于一点是解答本题的关键． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 16. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）四边形是菱形， 理由如下： 连接，交于点， 由（）得，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得，又由对顶角的性质可得，即得到，利用即可证明； （）连接，交于点，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可证明其对角线互相垂直，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，交于点． （1）求的度数． （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理直接计算即可； （2）证明，，可得，进一步求解，，再结合旋转的性质与三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，化为最简二次根式，二次根式的加减运算，旋转的性质；熟练的利用勾股定理进行计算是关键． 18. 李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． （1）请用公式法因式分解______； （2）若正方形的面积为，为整数，试说明这个正方形边长为偶数． 【答案】（1）； （2） ∴正方形边长 ∵当为整数时 ∴一定是偶数 ∴一定是偶数． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式配方，后根据偶数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，正方形的性质，偶数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 略 19. 图形从特殊到一般 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 如图1，在中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由； 探究二：若将改为任意四边形呢？ 如图2，在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 探究一：，理由： ∵分别平分和， ∴，， ∵， ∴ ； 探究二：，理由： ∵分别平分和， ∴，， ∵在四边形中，， ∴ ， 即． 【解析】 【分析】本题考查三角形和四边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义得到，，进而利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先根据角平分线的定义得到，，再利用四边形的内角和为得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：探究一：略 探究二：略 20. 某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； （3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成． 据上述条件解决下列问题： ①规定期限是多少天？写出解答过程； ②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款? 【答案】①规定期限20天；②方案（3）最节省 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，注意：分式方程的解必须检验． ①设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解． ②再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求． 【详解】解：①设规定期限x天完成，则有： ， 解得．   经检验得出是原方程的解； 答：规定期限20天． ②方案（1）：（万元） 方案（2）：（万元 ），但超过工期，不符合要求，    方案（3）：（万元）． 所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款． 所以方案（3）最节省． 21. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 观察下列算式： 、、 （1）由此可推断：_______； （2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； （3）仿照以上方法可推断：_______； （4）仿照以上方法解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 根据题意可得： 【小问3详解】 【小问4详解】 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 23. 已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． （1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME． 【答案】 （1）如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD. ∴点B为线段AD的中点. 又∵点M为线段AF的中点， ∴BM为△ADF的中位线. ∴BM∥CF. （2）BM=ME=； （3）如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，AC=CD. ∴点B为AD中点. 又点M为AF中点，∴BM=DF. 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=EG，CF=CG. ∴点E为FG中点. 又点M为AF中点，∴ME=AG. 在△ACG与△DCF中，∵， ∴△ACG≌△DCF（SAS）. ∴DF=AG，∴BM=ME. 【解析】 【分析】（1）如图1，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可. （2）如图2，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线. （3）如图3，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME. 【详解】（1）略 （2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a， ∴点B为AD中点，又点M为AF中点. ∴BM=DF. 分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a. ∴点E为FG中点，又点M为AF中点. ∴ME=AG. ∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a. ∴BM=ME=. （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $