精品解析：2025年江苏省无锡市二泉中学中考四模数学试卷

无锡市二泉中学九年级第四次适应性考试数学试题 考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） A. B. C. D. 5. 一组数据：5、5、6、4，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A. 三条高的交点 B. 重心 C. 内心 D. 外心 7. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，点D在上，．若， ，则的长度为（　　） A. B. C. D. 4 9. 已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 12. 分解因式____________ ． 13. 命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 14. 分式方程的解是_____． 15. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为、弧长为的扇形，则该圆锥的母线长为__________． 16. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 18. 如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，当点A、E、O三点共线时，______，线段长的最小值为______． 三．解答题（共10小题） 19. 计算： （1）； （2）； 20. （1）解方程：； （2）解不等式组． 21. 已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 学校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 不完整的统计表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 不完整的统计图 阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，45，55，45，40结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______． （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为______°． （3）阅读时间在范围内的数据的众数是______，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是______． （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 23. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 24. 在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到两边的距离相等，设直线l与边交于点D，在上找一点E，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的长为 ．（在备用图中分析） 25. 阳春三月，又到了一年最美樱花季，鼋头渚某商家借机推出新款樱花雪糕，其中雪糕每支成本5元．该商家每支雪糕定价元，平均每天可售出支，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每支雪糕降价元，商场平均每天可多售出支．求： （1）若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕应降价多少元？ （2）每支雪糕降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 26. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 27. 如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，时，求的长； （3）若时，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市二泉中学九年级第四次适应性考试数学试题 考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解答此题的关键． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】的相反数是， 故选：A． 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义，分母不等于0的条件，根据分式有意义时，分母不等于0的条件求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等运算法则逐一进行计算即可． 【详解】解：、，本选项不符合题意； 、，本选项不符合题意； 、，本选项符合题意； 、，本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等运算法则，熟练掌握这些运算法则是解答本题的关键． 4. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 一组数据：5、5、6、4，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值． 【详解】解：A、发生变化前的平均数：，发生变化后的平均数：，故平均数没有变化，不符合题意； B、发生变化前的中位数：，发生变化前的中位数：5，故中位数没有变化，不符合题意； C、发生变化前的众数：5，发生变化前的众数：5，故众数没有变化，不符合题意； D、发生变化前的方差：，发生变化后的方差：，故方差发生变化，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键． 6. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A. 三条高的交点 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意凳子的位置要到三个点的距离相等，那应该是三条垂直平分线的交点，也就是外心． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，也就是放在外心处． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 7. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 8. 如图，中，，点D在上，．若， ，则的长度为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先根据正切值求出的长，根据，得到，再利用正切值求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9. 已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项． 【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得， 对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意； 对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意； 对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意； 对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在中，，，是边上一点，且．是延长线上一点，连接交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，正确应用性质定理是解题的关键． 作于，根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出，，利用勾股定理求得，证得，求得，证得，求得，根据即可求解． 【详解】解：作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 分解因式____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法等，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：, ， ， 故答案为：． 13. 命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意可知，命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，该命题是真命题， 故答案为：真． 14. 分式方程的解是_____． 【答案】x= 【解析】 【分析】根据分式方程的解题步骤解出即可． 【详解】 方程左右两边同乘x－2,得 3－x－x=x－2． 移项合并同类项,得 x=． 经检验, x=是方程的解． 故答案为: x=． 【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验． 15. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为、弧长为的扇形，则该圆锥的母线长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， 由题意得， 解得， 故答案为：． 16. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=_______． 【答案】35° 【解析】 【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=35°，从而得出∠CAD的度数． 【详解】连接OD， 则∠ODC=90°，∠COD=70°； ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠CAD=∠COD=35°， 故答案为35 【点睛】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 18. 如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，当点A、E、O三点共线时，______，线段长的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练地利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．利用正切函数的定义即可求解；证明，推出，，延长到点，使得，连接，证明，推出，当最小时，、、三点共线，据此求解即可． 【详解】解：当点A、E、O三点共线时，是边的中点， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动， 延长到点，使得，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当最小时，、、三点共线， ∵， ∴ ∴线段长的最小值为． 故答案为：，． 三．解答题（共10小题） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式混合运算，熟练掌握零指数幂、负整指数幂运算法则，特殊角三角函数值，平方差与完全平方公式是解题的关键． （1）先计算乘方与开方，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先运用平方差与完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 21. 已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2） 证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 学校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 不完整的统计表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 不完整的统计图 阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，45，55，45，40结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______． （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为______°． （3）阅读时间在范围内的数据的众数是______，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是______． （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 【答案】（1）5 （2）144 （3）45； （4）480人 【解析】 【分析】（1）用样本容量乘可得a的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得b的值； （2）用乘B等级所占比例即可； （3）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （4）用800乘样本中课外阅读时间不少于的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ． 故答案为：5； 【小问2详解】 解：统计图中B组对应扇形的圆心角为， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：由题意可知，阅读时间在范围内的数据的众数是45，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是． 故答案为：45，； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数大约为480人． 【点睛】本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 23. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下： 甲 乙 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种， ∴甲获胜的概率为． 24. 在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到两边的距离相等，设直线l与边交于点D，在上找一点E，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的长为 ．（在备用图中分析） 【答案】（1） ； （2）2或3 【解析】 【分析】（1）作的平分线；作的垂直平分线交于O点，再在的垂直平分线上截取，且使点P位于的上方，则； （2）过E作于N，得，设，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，解方程即可求得结果． 【小问1详解】 解：作的平分线，则l上的各点到两边的距离相等；作的垂直平分线交于O点，以O为圆心，在的垂直平分线上截取，且使点P位于的上方，连接交于点E，则； 【小问2详解】 解：如图，过E作于N，则， ∴； 设，则， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 而, ∴， 即， 解得：，或， ∴或， 即或3． 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 25. 阳春三月，又到了一年最美樱花季，鼋头渚某商家借机推出新款樱花雪糕，其中雪糕每支成本5元．该商家每支雪糕定价元，平均每天可售出支，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每支雪糕降价元，商场平均每天可多售出支．求： （1）若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕应降价多少元？ （2）每支雪糕降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 【答案】（1）10元 （2）当时，售出所获利润最大，最大利润为22687.5元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程（二次函数关系式）是解题的关键． （1）设每支雪糕应降价元，根据“商家盈利单支盈利销售数量”，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值，再结合减少库存即可确定的值； （2）设每支雪糕降价元时，商家所获得的利润为元，根据“商场盈利单件盈利销售数量”，即可找出关于的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每支雪糕降价多少元时盈利最大． 【小问1详解】 解：设每支雪糕应降价x元，得： ， 解得：（舍）， ∵为了尽快减少库存， ∴每支雪糕应降价10元； 【小问2详解】 解：设每支雪糕降价元时，商家所获得的利润为元，根据题意，得 ， ∵， ∴元时，利润最大为：22687.5元； 答：当时，售出所获利润最大，最大利润为22687.5元． 26. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）的直径为． 【解析】 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 27. 如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，时，求的长； （3）若时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在矩形中， 由翻折可知 ∵点在的延长线上 ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义及翻折易得及，从而得到，结合对顶角相等可得即可得证； （2）设，则，易证，得，代入求解即可； （3）如图，过点作，垂足为，设，，则，可得，易证得，即，解得，，结合，得，代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 由翻折可知 ， 在中，， ∴， 设， 则， 由（1）可知，， ∴， 得， ∴， 解得：， 即； 【小问3详解】 如图，过点作，垂足为， 设，，则， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故，， 又∵，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质定理；解题的关键是熟练掌握折叠的性质及相似三角形的判定和性质． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【解析】 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $