精品解析：广东省东莞市石碣新民学校2025年中考数学原创信息卷(七)

2025年广东省中考原创信息卷（七） 数学 本试卷共8页．23小题．满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在粤北某地生活的小红在冬至日查看天气预报时，得知未来一周的周一的最低气温是，周二的最低气温是，周三的最低气温是，周四的最低气温是．这四天中，气温最低的是（ ） A. 周一 B. 周二 C. 周三 D. 周四 3. 年1月日，广东省统计局发布年广东经济运行简况．年，广东全省地区生产总值迈上万亿元新台阶，达万亿元，总量连续年居全国首位．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 广东的早茶闻名遐迩，小明一家去喝早茶，点了1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，每笼均有不透明的盖子盖着，小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列轴对称图形中，只有条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 8. 在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 10. 如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_______． 12. 若与两个点的连线与x轴平行，则a的值为_______． 13. 如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则________． 14. 中国智能无人机在物流配送领域大放异彩，成为解决“最后一公里”配送难题的得力助手．某新型智能无人机的飞行续航里程是其所载物资重量的反比例函数．经测试，当这款无人机装载2千克物资时，它的飞行续航里程为15千米．若配送站接到一个紧急订单，要用无人机将物资送到距离站点10千米处的客户手中，则该无人机此次最多能装载______千克物资． 15. 如图，在矩形中，点E为的中点，若以E为圆心，为半径画弧，交对角线于点F，连接，点G为的中点，连接．若，则的长为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． （1）尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 18. 某科技公司为了评估其新开发的智能手环的用户满意度，随机抽取了200名已购买并使用该手环的用户进行调查，调查问卷如下． 智能手环品质和服务质量满意度问卷调查 1．您对本公司的智能手环的整体评价为（ ）（单选，满分5分） A．5分 B．4分 C．3分 D．2分 E．1分 2．您认为本公司的智能手环最需要改进的地方为（ ）（单选） A．功能性 B．续航能力 C．舒适度 D．外观设计 该科技公司负责人将这200份调查问卷的结果整理后，绘制成了如下统计图（如图）． （1）请根据题中信息，补全条形统计图； （2）在此次问卷调查中．该智能手环整体评价分数的中位数、众数分别是多少？ （3）求扇形统计图中m的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 20. 全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． （1）当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； （2）升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 21. 综合与实践． 物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化． 以下为两人的对话： 小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．” （1）请根据以上信息，求出斜面木板的长； （2）测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】如题1图，在中，，，过点B作直线，点D在直线上运动，连接，过点C作交直线于点E，连接，交于点F． 【分析发现】（1）求证：； 【特例探究】（2）如图2，若点E为的中点，求的值； 【拓展延伸】（3）是否存在异于点B的点D，使得与全等？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 23. 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，点为抛物线上的一点，点D为点C关于点A的对称点，连接，，，． 【初步探究】（1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若为等边三角形，求a的值； 【深入探究】（3）如图3，点P为线段上一动点，把沿折叠得到，与的重叠部分为．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省中考原创信息卷（七） 数学 本试卷共8页．23小题．满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可． 【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键． 2. 在粤北某地生活的小红在冬至日查看天气预报时，得知未来一周的周一的最低气温是，周二的最低气温是，周三的最低气温是，周四的最低气温是．这四天中，气温最低的是（ ） A. 周一 B. 周二 C. 周三 D. 周四 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，根据有理数的大小比较方法，确定最小的那个数即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这四天中，气温最低的是周一， 故选：． 3. 年1月日，广东省统计局发布年广东经济运行简况．年，广东全省地区生产总值迈上万亿元新台阶，达万亿元，总量连续年居全国首位．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较大数． 根据用科学记数法表示绝对值较大数方法求解． 【详解】解：万=， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式以及同底数幂的运算逐一分析各选项的运算是否正确即可． 【详解】解：A选项， ，而非，错误； B选项，，符合幂的乘方法则，正确； C. ，展开后缺少项，错误； D. ，而非，错误． 故选：B ． 5. 广东的早茶闻名遐迩，小明一家去喝早茶，点了1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，每笼均有不透明的盖子盖着，小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查概率的计算公式，根据所求情况数和总情况数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，共4笼， 小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是， 故选：C． 6. 如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 7. 下列轴对称图形中，只有条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的定义，根据对称轴的定义判断即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：第一个图有条对称轴，第二个图有条对称轴，第三个图有条对称轴，第四个图有条对称轴， 故选：． 8. 在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 9. 如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 如图，菱形的周长为52，过点C作，交的延长线于点E，若，则的长为（ ） A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 首先求出，然后求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，当分母相同时，只需将分子相加，分母保持不变，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据分式的加法运算进行作答，即可求解； 【详解】解：， 故答案为：； 12. 若与两个点的连线与x轴平行，则a的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握横坐标相等的两点的连线平行于轴，纵坐标相等的两点的连线平行于轴．据此解答即可． 【详解】解：若与两点的连线与x轴平行， 则． 故答案为： ． 13. 如图，将沿方向平移得到，交于点M，若，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平移的性质，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．利用平移的性质，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出（即）的度数． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 中国智能无人机在物流配送领域大放异彩，成为解决“最后一公里”配送难题的得力助手．某新型智能无人机的飞行续航里程是其所载物资重量的反比例函数．经测试，当这款无人机装载2千克物资时，它的飞行续航里程为15千米．若配送站接到一个紧急订单，要用无人机将物资送到距离站点10千米处的客户手中，则该无人机此次最多能装载______千克物资． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的特点是解题的关键．设该无人机此次最多能装载x千克物资，根据反比例函数中两个变量的乘积为定值列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：设该无人机此次最多能装载x千克物资． 根据题意，得， 解得， ∴该无人机此次最多能装载3千克物资． 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，点E为的中点，若以E为圆心，为半径画弧，交对角线于点F，连接，点G为的中点，连接．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，关键是利用直角三角形斜边中线的性质求解．本题可先根据矩形性质求出相关线段长度，再利用直角三角形斜边中线性质求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， , E为中点，为半径画弧交于F， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，，，， ，， 点G为的中点， ， 在中，，． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． （1）尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的周长是20， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）在的上方作，交于点 F，则即为所求； （2）由题意得四边形为平行四边形，根据平行四边形的周长是20，可得，则，进而可得，则，可知四边形为菱形． 本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某科技公司为了评估其新开发的智能手环的用户满意度，随机抽取了200名已购买并使用该手环的用户进行调查，调查问卷如下． 智能手环品质和服务质量满意度问卷调查 1．您对本公司的智能手环的整体评价为（ ）（单选，满分5分） A．5分 B．4分 C．3分 D．2分 E．1分 2．您认为本公司的智能手环最需要改进的地方为（ ）（单选） A．功能性 B．续航能力 C．舒适度 D．外观设计 该科技公司负责人将这200份调查问卷的结果整理后，绘制成了如下统计图（如图）． （1）请根据题中信息，补全条形统计图； （2）在此次问卷调查中．该智能手环整体评价分数的中位数、众数分别是多少？ （3）求扇形统计图中m的值． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）中位数4分，众数是4分； （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，条形统计图和扇形统计图的知识，读懂条形统计图和利用统计图获取信息是解题的关键． （1）用200分别减去其它各组人数可得4分人数，进而补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）用“1”分别减去其它部分所占百分比可得m的值． 【小问1详解】 解：4分人数为：（人）； 【小问2详解】 解：在此次问卷调查中，该智能手环整体评价分数的中位数4分，众数是4分； 【小问3详解】 解： ， ∴的值为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． （1）当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； （2）升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 【答案】（1）A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； （2）完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，根据完成升级后该企业共获145万元补贴，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即有A制程生产线的数量），再将其代入中，即可求出有B制程生产线的数量； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，根据用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条， 根据题意得：， 解得：， ∴（条）． 答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； 【小问2详解】 设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 21. 综合与实践． 物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化． 以下为两人的对话： 小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．” （1）请根据以上信息，求出斜面木板的长； （2）测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1）斜面木板的长约为； （2）段的平均速度比段的平均速度大约快了． 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．用待定系数法求得v与t的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据的长和的正弦值可得的长； （2）v与t是正比例函数关系，设，把代入可得k的值，即可求得v与t的函数关系式，进而分别取段的路程，段的路程除以相应的时间即可判断出速度，相减即为所求． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴． 答：斜面木板的长约为； 【小问2详解】 由题意得：， ∵点B为的中点， ∴， ∵小车从A点运动到B点的时间为， ∴， 设v与t的函数关系式为：， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴． 答：段的平均速度比段的平均速度大约快了． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题情境】如题1图，在中，，，过点B作直线，点D在直线上运动，连接，过点C作交直线于点E，连接，交于点F． 【分析发现】（1）求证：； 【特例探究】（2）如图2，若点E为的中点，求的值； 【拓展延伸】（3）是否存在异于点B的点D，使得与全等？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）（3） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质求出的长，则可得出答案； （3）由（2）同理得，得出，则．当 时，有，过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ，点为的中点， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：存在．理由如下： 如图，点在的延长线上时， ， ， ， 由（2）同理得， ， ． 当 时，有， ， ， ， 存在异于点的点，使得与 全等， 如图，过点作于点， ， 由，得， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 23. 【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，点为抛物线上的一点，点D为点C关于点A的对称点，连接，，，． 【初步探究】（1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若为等边三角形，求a的值； 【深入探究】（3）如图3，点P为线段上一动点，把沿折叠得到，与的重叠部分为．若，求的长． 【答案】 （1）证明：当时，， 解得或． ，． ，． ． ． 点D为点C关于点A的对称点， ． 四边形为平行四边形． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分别求出，， 再由， ，即可证明四边形为平行四边形； （2）由等边三角形可得，求出，将点C代入函数解析式即可求a的值； （3）根据所给的条件能判断出四边形是矩形，分F点在上时，和F点在上时，两种情况分别求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作，交x轴于点H， 是等边三角形， ，． 由（1）知，． ，． 是等边三角形． ，． ， ，． ． 将点代入， 即， 解得． （3）解：过点C作，交x轴于点H， ， ． 点为抛物线上的一点，， ． ． ，． ． ，． ，． 由（1）知，． ． 四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 如图，当点F落在上时， 由折叠性质可知． ． ， ． ． ， ． ，． ， ． ． 由折叠性质可知． 四边形为矩形， ，． ． 如图，当点F落在上时， 同理可证， ， ． ，． ， ． ． 由折叠性质可知， ． ． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $