2025届河南省开封高级中学钱学森实验班高三下学期周测（十五）数学试题

2025届钱学森实验班高三下学期周测（十五）答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】D【详解】由，， 因为，所以，则m的最大值为1.故选：D. 2. 【答案】A【详解】解：由复数满足， 则复数所对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则的最小值是，故选：A. 3. 【答案】C【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列首项是1，公比是，那么， ，所以.故选：C 4. 【答案】C【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得.故选：C 5. 【答案】A【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增，且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为.故选：A. 6. 【答案】B【详解】因 ，又，且的最小值为， 所以函数的最小正周期，由，所以.故选：B. 7． 【答案】C【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，V取得最大值，最大值为．故选：C. 8. 【答案】D【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即，设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当，故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以,故选：D. 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．【答案】AD【详解】由双曲线方程可知：，且焦点在x轴上，则.对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：若，可知点在以为直径的圆上或圆内， 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程，解得， 当时，直线的斜率， 所以到轴的最大距离为，故B错误； 对于选项C：因为，， 则的周长为，故C不正确； 对于选项D：设，则，即， 可得点到渐近线的距离，点到渐近线的距离， 所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确；故选：AD. 10．【答案】ABD【详解】B选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务， 要求这三个服务点都有人参加，可以分为和， 其中分为时，共有种情况，其中分为时，共有种情况， 故共有种，其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和， 当剩余4名志愿者分为时，有种情况， 当剩余4名志愿者分为时，有种情况， 当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况，故，所以，B正确； C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况， 当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况，故，C错误； A选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起， 若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况， 若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况， 当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况， 综上，，， 因为，故事件A与事件相互独立，A正确； D选项，，D正确.故选：ABD 11． 【答案】ABD【详解】由，，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数，即， 即， 所以，即，则，故A正确； 由在上为单调递增函数，， 所以是递增数列，故B正确； ∵，所以，故C错误； 因此，，故D正确．故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题考查数列单调性的应用，解题的关键是构造函数，利用导数求出单调性得出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 所以 .故答案为：. 13． 【答案】/【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切， 即该正四棱台内半径最大的球半径，直径为. 故答案为： 14. 【答案】【详解】 由题意设直线的方程为， 联立，消去，可得， 由，设，，则，， 设，则直线的斜率， 直线的斜率， 由题意可得，化简可得，则，解得， 所以.故答案为：. 四、解答题.本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【答案】(1)答案见解析；(2)分布列见解析，3.75；(3)（i）能被评为“反诈标兵”；（ii）2198人. 性别 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 30 40 合计 30 50 80 【详解】（1）完成列联表：┄┄┄1分 零假设该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关， 则，┄┄┄3分 依题意，， 因为进行独立性检验，推断不成立， 所以判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关. ┄┄┄4分 （2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是， 用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人， 对“反诈”知识了解的概率为，则，┄┄┄5分 ，， ，， ，．┄┄┄8分 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以．┄┄┄9分 （3）（i）依题意，，因，故该同学可被评为“反诈标兵”； ┄┄┄10分 （ii）因, 则估计参与本次知识竞赛的学生人数约为人. ┄┄┄12分 16．（15分）【答案】(1)证明见解析(2)①；②. 【详解】（1）证明：设交于点G，连接EG，如图， 在三棱台中，，，┄┄┄1分 又D为AC的中点， 所以，，四边形是平行四边形，G为的中点. ┄┄┄3分 又E为BC的中点，所以，又平面，平面， 所以平面.┄┄┄4分 （2）①连接BD，因为平面，且平面，所以平面平面， 因为，D为CA的中点，所以，┄┄┄5分 又平面平面，平面，所以平面， 由平面，所以，┄┄┄6分 又，，，平面，所以平面，┄┄┄7分 由平面，所以，故四边形为菱形，， 所以三棱台的体积为.┄┄┄9分 ②如图所示建立平面直角坐标系，则，，，， 不妨设，则，，┄┄┄11分 设平面的一个法向量为， 则，得，令，可得，┄┄┄13分 设与平面所成角为， 则，当且仅当时，等号成立，┄┄┄14分 所以与平面所成角的正弦值的最大值为.┄┄┄15分 17．（15分）【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以.┄┄┄1分 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；┄┄┄2分 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ┄┄┄3分 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ┄┄┄4分 （2）当时，. 当时，上式恒成立，即；┄┄┄5分 当时，.设，， 则.┄┄┄6分 设，，则在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以在上恒成立. ┄┄┄7分 所以由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. ┄┄┄8分 所以.所以. 综上可知：的取值范围为：.┄┄┄9分 （3）时，要证，即.┄┄┄10分 设，则，. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增. ┄┄┄11分 又，，则方程只有一解， 设为，且，.┄┄┄12分 当时，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以.┄┄┄13分 因为，所以，，，所以.┄┄┄14分 即.所以在上恒成立. 从而原命题成立. ┄┄┄15分 18．（17分）【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）设的半焦距为．当在短轴顶点时的面积取得最大值，┄┄┄1分 依题意可得，，又，所以，解得，┄┄┄2分 所以的方程为．┄┄┄3分 （2）设，．由，消去得，┄┄┄4分 则， ，，┄┄┄5分 因为，所以 ，┄┄┄7分 化简得，此时成立，证毕．┄┄┄8分 （3）设的中点为，因为直线经过点和点， 所以不妨设，， 则．┄┄┄9分 又 ．┄┄┄11分 由，得点的坐标为， 又， 所以，┄┄┄13分 代入的方程得， 化简得，则．┄┄┄14分 所以，┄┄┄15分 因为，所以，所以， 即四边形面积的取值范围为．┄┄┄17分 19．（17分）【答案】(1)(2)①0；②答案见解析. 【详解】（1）方法一：设， 因为是的角平分线，所以，因为┄┄┄1分 所以，┄┄┄2分 代入，，化简得：，因为， 所以实数的取值范围．┄┄┄4分 方法二：因为是的角平分线，所以， ，又，又，┄┄┄1分 所以，故，在和中由余弦定理得 所以，┄┄┄2分 又，则 所以，又，所以┄┄┄3分 在中有，所以，所以 得，所以实数的取值范围┄┄┄4分 （2）①法一：当时，由（1）知，则，此时， 由余弦定理有：及得，┄┄┄5分 法二：由，当时有.┄┄┄5分 故，所以，┄┄┄6分 令，可得或， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，┄┄┄8分 故当时，函数取极小值，极小值为．┄┄┄9分 ②（ⅰ）当时，由①知，又， 故，知的零点为， 故的最大零点；┄┄┄10分 （ⅱ）当时，由（1）知，则， 由余弦定理有，代入，┄┄┄11分 解得，由知，故， ，，┄┄┄12分 设令解得：，且， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，因为，故，┄┄┄13分 且时，，故在上有唯一零点，此时成立┄┄14分 （ⅲ）时，由（1）知，则， 由余弦定理有，及， 解得，由知，故，所以┄┄┄15分 当时，令解得：，且， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 因为，且的图象的对称轴 所以，又因为，故在上无零点，且， 故成立；当时，恒成立，则在上单调递增， 故函数至多有一个零点，由，知成立；┄┄┄16分 综上，当时；； 当时，； 当时，．┄┄┄17分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届钱学森实验班高三下学期周测（十五） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，若，则m的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 2. 已知复数满足，则的最小值是 ( ) A. B. C. 1 D. 2 3. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 4. 在中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且的最小值为，则的值为 （ ）. A. B. C. D. 7．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（   ） A． B． C． D． 8. 已知正实数，满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若，则到轴的最大距离为 C．若，则的周长为24 D．点到两条渐近线的距离之积为 10．端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（    ） A．事件A与事件相互独立 B． C． D． 11．设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（    ）． A． B．是递增数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若，则的值为 . 13．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2和8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的直径 ． 14. 已知P为抛物线上一点，过点P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点，若直线的斜率为，则点P的坐标为_______． 四、解答题.本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表. 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 合计 80 (1)取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关； (2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望； (3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整） 附：（1），其中，； （2）若，则：，，. 16．（15分）在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点. (1)证明：平面； (2)已知，F为线段AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台的体积； ②求与平面所成角的正弦值的最大值. 17．（15分）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，． 18．（17分）已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)证明：； (3)过点和线段的中点作一条直线与交于两点，求四边形面积的取值范围． 19．（17分）已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）． (1)求实数的取值范围； (2)设函数 ①当时，求函数的极小值； ②设是的最大零点，试比较与1的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025 届钱学森实验班高三下学期周测（十五） 数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ( ) lnM x y m x= = − ，  2 3 2 0N x x x= − +  ，若M N =，则 m 的最大值为 （ ） A. 2− B. 1− C. 2 D. 1 2. 已知复数 z 满足 1 1z i− − = ，则 z 的最小值是 ( ) A. 2 1− B. 2 C. 1 D. 2 3. 记 nS 为等比数列 na 的前n项和，若 4 5 6 7 8 93, 9a a a a a a+ + = − + + = ，则 15S =（ ） A. 81 B. 71 C. 61 D. 51 4. 在 ABC 中， 2 3 AD AC= ，点 E在 BD上，若 1 3 AE xBA BC= + ，则 x =（ ） A. 2 3 − B. 4 5 − C. 5 6 − D. 6 7 − 5. 已知函数 ( ) 2 ln 2 x f x x x + = − ，则不等式 ( ) ( )1 2 1f x f x+  − 的解集为（ ） A. ( )0,1 B. ( )0 2, C. 1 ,0 2   −    D. ( )1,2− 6. 已知函数 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 π sin cos 0 , 0, 3 6 f x x x f x f x     = + +  = =    ，且 1 2x x− 的最小值为 π 2 ，则的值为 （ ）. A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 7．将一根长为 3 的铁丝截成 9 段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所 有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A． 3 36 B． 3 72 C． 3 108 D． 3 324 2 8. 已知正实数 x， y 满足 2 2 ln ln 2 x y x y+ − = + ，则 xy =（ ） A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 1 4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知双曲线 2 2: 1 3 y C x − = 左，右焦点分别为 1 2,F F ，过 2F 的直线交双曲线C的右支于 ,P Q两 点， P 在第一象限，Q在第四象限，则（ ） A．该双曲线的渐近线方程为 3y x=  B．若 1 2 0PF PF  ，则 P 到 x轴的最大距离为 2 3 C．若 8PQ = ，则 1PFQ△ 的周长为 24 D．点 P 到两条渐近线的距离之积为 3 4 10．端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经 E 桥、F 桥、G 桥、H 桥及 I 桥，活 动期间在 5 座桥边各设置 1 个志愿者服务点．现有 5 名志愿者参加其中三座桥一G 桥、H 桥 及 F 桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件 A为“甲在G 桥服务点”，事件 B 为“乙 和丙分到一起”，则（ ） A．事件 A与事件 B 相互独立 B． ( ) 1 3 P A = C． ( ) 9 25 P B = D． ( ) 6 25 P B A = 11．设数列 na 满足 1 1 0 2 a  ， ( )1 ln 2n n na a a+ = + − 对 n  N 恒成立，则下列说法正确的是 （ ）． A． 2 1 1 2 a  B． na 是递增数列 C． 3 1 3 2 4 a  D． 2020 3 1 4 a  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 若 π π 1 0, ,sin 2 6 5        − = −        ，则 π cos 6    +    的值为 . 13．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为 2 和 8，侧棱长为3 5 ，则该正四棱台内半 径最大的球的直径 ． 3 14. 已知 P为抛物线 2 4y x= 上一点，过点 P作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于 ,A B两点，若直线 AB 的斜率为 1 2 ，则点 P的坐标为_______． 四、解答题.本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）随着 5G 时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发 展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校 进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表. 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 合计 80 (1)取 0.05 = 进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关； (2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取 5 人，记其中对“反诈”知识了解 的人数为 X ，求 X 的分布及数学期望； (3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已 知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布 (80,25)N ，若某同学成绩满足 2    −   + ，则该同学被评为“反诈标兵”；若 2   + ，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为 88 分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有 50 名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五 入后取整） 附：（1） 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d  − = + + + + ，其中n a b c d= + + + ， ( )2 3.841 0.05P   = ； （2）若 ( )2~ ,X N   ，则： ( ) 0.6827P x   −   + = ， ( 2 2 ) 0.9545P x   −   + = ， ( 3 3 ) 0.9973P x   −   + = . 4 16．（15 分）在三棱台 1 1 1ABC ABC− 中， 1CC ⊥平面 ABC， 1 12 2AB BC AC AB= = = = ，D，E分别 为 CA，CB的中点. (1)证明： 1AB∥平面 1C DE； (2)已知 1 1BC AC，F为线段 AB上的动点（包括端点）. ①求三棱台 1 1 1A BC ABC− 的体积； ②求 1C F 与平面 1 1ABB A 所成角的正弦值的最大值. 17．（15 分）函数 ( ) e , R xf x ax a= −  ． (1)讨论 ( )f x 的单调性； (2)当 0x  时， ( ) 2( 1)f x x + 恒成立，求a的取值范围； (3)证明：当 1a = 时， ( ) ln 1f x x + ． 18．（17 分）已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b + =   的长轴长为2 3，左、右焦点分别为 1 2,F F ，直线 :l y px q= + 与C交于 ,P Q两点，且满足 0OP OQ = （O为坐标原点），当 l变化时， 1 2PF F 面积的 最大值为 3 2 ． (1)求C的方程； (2)证明： 2 2 1q p= + ； (3)过点O和线段 PQ的中点作一条直线与C交于 ,R S 两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 19．（17 分）已知 ABC 的三个角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c且 2c b= ，点D在边BC上， AD 是 BAC 的角平分线，设 AD kAC= （其中 k 为正实数）． (1)求实数 k 的取值范围； (2)设函数 3 2 3 5 ( ) 3 2 2 b f x ax bx cx= − + − ①当 2 3 3 k = 时，求函数 ( )f x 的极小值； ②设 0x 是 ( )f x 的最大零点，试比较 0x 与 1 的大小．