2025届河南省开封高级中学钱学森实验班高三下学期第七次滚动测试数学试题

2025届钱学森实验班高三下学期第七次滚动测试答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 【答案】A【解析】因为整数集，，所以，．故选：A． 2．【答案】D【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故. 故选：D. 3．【答案】B【解析】因为，所以，， 所以，故选：B. 4．【答案】D【解析】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得， 即，则，即，解得.故选：D. 5． 【答案】B【解析】令，则， 令，则，故，故选：B. 6． 【答案】C【解析】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C. 7． 【答案】B【解析】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或， 于是有，即有，解得， 所以，.故选：B 8．【答案】C【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时；可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 【答案】AD【解析】由题意得：，所以，， 即，又，所以时，，故． 对A，当时，， 由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或,从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即．故选：AD． 10．【答案】AD【解析】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以， 即，，解得．对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，与平面所成角为，， 而，所以．D正确．故选：D． 11． 【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，， 故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则， 显然A，D错误，选BC.故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导， 所以，所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】【解析】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以.故答案为：. 13．【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：. 14.【答案】或 【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一：M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 情况二：若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即，所以双曲线的离心率 四、解答题.本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即，┄┄┄3分 由于，故，解得┄┄┄6分 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得，┄┄┄4分 又，故┄┄┄6分 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到，┄┄┄3分 ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故┄┄┄6分 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式，，┄┄┄2分 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，，┄┄┄4分 又，故┄┄┄6分 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，，┄┄┄3分 解得，根据二倍角公式，， 又，故┄┄┄6分 （2）由题设条件和正弦定理 ，┄┄┄7分 又，则，进而，得到，┄┄┄8分 于是，┄┄┄9分 ，┄┄┄10分 由正弦定理可得，，即， 解得，┄┄┄12分 故的周长为┄┄┄13分 16． 【解析】（1）由题意，从而，┄┄┄2分 所以椭圆方程为，离心率为；┄┄┄4分 （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，┄┄┄5分 从而设，， 联立，化简并整理得，┄┄┄7分 由题意，即应满足，┄┄┄8分 所以，┄┄┄9分 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令，┄┄┄11分 得，┄┄┄13分 所以， 此时应满足，即应满足或，┄┄┄14分 综上所述，满足题意，此时或.┄┄┄15分 17．【解析】（1）连接，设， 则，，┄┄┄1分 ，则，┄┄┄2分 解得，则为的中点，由分别为的中点，┄┄┄3分 于是，即，则四边形为平行四边形，┄┄┄4分 ，又平面平面， 所以平面.┄┄┄5分 （2）法一：由（1）可知，则，得，┄┄┄7分 因此，则，有， 又，平面，┄┄┄9分 则有平面，又平面，所以平面平面.┄┄┄10分 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，，┄┄┄7分 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，，┄┄┄8分 设平面的法向量为，则，得， 令，则，所以，┄┄┄9分 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以，， 所以平面平面BEF；┄┄┄10分 （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且，┄┄┄11分 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心，┄┄┄12分 即有，又，即有， ，解得，同理得，┄┄┄13分 于是，即有，则， 从而，，┄┄┄14分 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.┄┄┄15分 法二：平面的法向量为，平面的法向量为，┄┄┄12分 所以， 因为，所以，┄┄┄14分 故二面角的正弦值为.┄┄┄15分 18．【解析】（1）当时，，┄┄┄1分 则，┄┄┄2分 据此可得，┄┄┄3分 函数在处的切线方程为，即.┄┄┄4分 （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为，┄┄┄5分 定义域关于直线对称，由题意可得，┄┄┄6分 由对称性可知，取可得， 即，则，解得，┄┄7分 经检验满足题意，故.即存在满足题意. ┄┄┄8分 （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; ┄┄┄9分 令，则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，┄┄┄10分 ┄┄┄11分 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; ┄┄┄12分 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意；┄┄┄13分 当时，由可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故的最小值为，┄┄┄14分 令，则，函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立，则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时，， 且注意到┄┄15分 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增，所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ，┄┄┄16分 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是.┄┄┄17分 19． 【解析】（1），，，，，所以是连续可表数列；┄2分 易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．┄┄┄4分 （2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；┄┄┄6分 当时,数列，满足，，，，，，，， ．┄┄┄8分 （3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，┄9分 若，则至多可表个数，矛盾, ┄┄┄10分 从而若,则，至多可表个数，┄┄┄11分 而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，则所有数之和，，┄┄┄13分 ，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式， 若，则（有2种结果相同，方式矛盾），┄┄┄14分 ， 同理 ，故在一端，不妨为形式， 若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行， ，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，┄┄┄15分 由于,由表法唯一知3,4不相邻,、 故只能，①或，②这2种情形，┄┄┄16分 对①：，矛盾，对②：，也矛盾，综上， 当时，数列满足题意，．┄┄┄17分. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届钱学森实验班高三下学期第七次滚动测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 6．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 10．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 13．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 14．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 . 四、解答题.本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 16．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 17．如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 19．已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$