1.5.1等腰三角形 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.5.1等腰三角形 【教学目标】 1. 经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力. 2. 探索并证明等腰三角形的性质定理. 3. 会用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形. 4. 在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力. 【教学重点】 探索并证明等腰三角形的性质定理. 【教学难点】 利用等腰三角形的性质定理解决问题. 1、 创设情境： 说说你对等腰三角形的认识. 学生预设： （1） 两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形是轴对称图形； ...... 2、 探究新知： 活动一：探究“等边对等角” 剪一个等腰三角形，记为△ABC，其中AB和AC是腰. 将△ABC沿顶角∠BAC的平分线折叠，你有什么发现？ 发现： （1） 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； （1） △ABD和△ACD全等； （2） ∠B=∠C； （3） BD=CD. 归纳总结： 等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等.（简称“等边对等角”） 活动二：探究“三线合一” 由BD=CD可知，点D是BC的中点，从而AD是BC边上的中线. 由△ABD和△ACD全等，可知∠ADB=∠ADC，又因为 ∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°. 从而，AD⊥BC，即AD是BC边上的高. 归纳总结： 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 活动三 基本作图作三角形 已知线段a、h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC使底边BC=a，高AD=h. 3、 例题精讲： 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD. 求证：∠ADB=∠BAC. 例2 如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求证：． 练习： 1．如图，在中，，，，则（   ） 第1题 第3题 第4题 A．5 B．6 C．7 D．8 2．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 3．我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 4．如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 第5题 第6题 第8题 6．如图，，的顶点C在直线m上，若，，，则 ． 7．若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为 ． 8．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 9．如图，中，，，是的角平分线，以 为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 第9题 第11题 第12题 10．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 11．如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则 度． 12．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，M，的垂直平分线分别交，于点E，N，连接，，则的度数为 ． 13．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 14．如图1，△ABC，△AED是等腰直角三角形，∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上． （1）请直接写出线段BE与线段CD的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜90°），则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由． 15．如图，平分，垂直平分，分别交，于点，，与平行吗？ 解：平分（已知） _____（角平分线定义） 垂直平分 _____（_____） （_____） _____（等量代换） （______） 16．如图，已知：，，．求度数． 17．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC和AB上，若AD=BD=AE，BE=DE=DC，求∠CAD的度数． 18．如图，在中，，用尺规作图法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹、不写作法） 19．如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 20．在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题 如图①，当点D在边上时， ①请直接写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②请直接写出、、三者之间的数量关系 (2)尝试探究 如图②，当点 D 在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图③，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长为 ． 参考答案 例1证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠C=∠BAD. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-2∠B 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2∠B ∴∠ADB=∠BAC 例2（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，， ， ，， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知，，那么， 在和中， ， ∴， ∴， 是边上的中线 ， ∴． 练习 1．解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 2．解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 3．解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 4．解∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 5．解：，， ， 故答案为：． 6．解：作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 7．解：若等腰三角形的三边长为7，7，15，，故不符合题意； 若等腰三角形的三边长为7，15，15，，则周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为37． 故答案为：37． 8．解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 10．解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 11．解：是等边三角形， ，， 线段以C为旋转中心顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形，， ， 在和中， ， ≌， ， 当是等腰三角形，且时，则， ， ，且， ， ， ； 当是等腰三角形，且时，则， ， ， ； 当是等腰三角形，且时，则， ， ， ， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：110或125或140． 12．解：∵， ∴， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 14．解：（1）BE=CD， 理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC，AE=AD， ∴AE-AB=AD-AC， ∴BE=CD， 故答案为：BE=CD； （2）成立， 理由：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC，AE=AD， 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD， 在△BAE与△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE=CD． 15．解：平分（已知）， （角平分线定义）， 垂直平分， （垂直平分线上的点到线段两端点的距离 ）， （等边对等角）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 16．解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 17．解：∵AD=BD=AE， ∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠AED， ∵BE=DE， ∴∠B=∠EDB， 设∠B=∠BAD=∠EDB=α， ∴∠AED=∠ADE=2α， ∴∠ADB=3α， ∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°， ∴α+α+3α=180°， ∴α=36°， ∴∠ADB=108°，∠ADE=2α=72°，∠ADC=180°-∠ADB=72°， ∴∠ADE=∠ADC， 在△AED与△ACD中，， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴∠C=∠AED=72°， ∴∠CAD=180°-72°-72°=36°． 18．解：如图所示： 点即为所求． 19．猜想：； 解法一：过点A作交于点． ，， ． ，， ， ， ． 解法二：， ， ， ， ， 即． 在和中 ， ， ． 20．（1）解：①如图1，由题意，，，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，即； 故答案为：，； ②由①得， ， ； （2）解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图，由（1）同理可得， 在和中， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图3，由(1)同理可得， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$