2.3第1课时函数的单调性课时练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第二章　§3　第1课时函数的单调性 一、选择题 1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A．y＝5－x B．y＝x2＋2 C．y＝ D．y＝－|x| 2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( ) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上不单调 3．函数y＝的单调减区间是( ) A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．{x∈R|x≠1} D．R 4．若函数y＝2ax－b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0 5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 6．已知函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，－1] 7．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x 8．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( ) A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x C．y＝x(x≥0) D．y＝x 9．(多选题)已知f(x)＝－，则( AD ) A．定义域为[0,1] B．f(x)max＝， f(x)无最小值 C．f(x)min＝1, f(x)无最大值 D．f(x)max＝1, f(x)min＝－1 10．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( 　 ) A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 二、填空题 11．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是　 . 12．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是 　. 13．函数y＝x2－2x＋2(x≥－3)的单调递减区间为_ __. 14．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2) 　f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”) 三、解答题 15．已知函数f(x)＝.证明函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 16．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题． (1)写出函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间的最大值． 17．已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论． 18．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1,3)，且关于直线x＝1对称． (1)求f(x)的解析式； (2)若m<3，求函数f(x)在区间[m,3]上的值域． 第二章　§3　第1课时函数的单调性 一、选择题 1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A．y＝5－x B．y＝x2＋2 C．y＝ D．y＝－|x| [解析]　选项A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．故选B. 2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( ) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上不单调 [解析]　若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C. 3．函数y＝的单调减区间是( ) A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．{x∈R|x≠1} D．R [解析]　单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表述不当．故选A. 4．若函数y＝2ax－b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0 [解析]　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.故选C. 5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析]　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a， ∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2， ∴f(x)在[0,1]上单调递增． 又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.故选C. 6．已知函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，－1] [解析]　由于函数f(x)＝|x－a|的图象是将函数f(x)＝|x|向左(或右)平移|a|个单位得到的；故函数f(x)＝|x－a|在(－∞，a)上单调递减；在(a，＋∞)上单调递增；因为函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，所以函数在(－∞，－1)上单调递减，由函数的性质可得a≥－1.故a的取值范围为[－1，＋∞)．故选A. 7．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝1－x [解析]　B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．故选A. 8．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为( ) A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x C．y＝x(x≥0) D．y＝x [解析]　由题意设y＝kx，将(36,108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x.同时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0.故选A. 9．(多选题)已知f(x)＝－，则( AD ) A．定义域为[0,1] B．f(x)max＝， f(x)无最小值 C．f(x)min＝1, f(x)无最大值 D．f(x)max＝1, f(x)min＝－1 [解析]　要使f(x)有意义，应满足，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1.故选AD. 10．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( 　 ) A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 [解析]　函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．故选BCD. 二、填空题 11．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是 (－∞，1)和(1，＋∞)　. [解析]　由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)． 12．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是 1　. [解析]　函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1. 13．函数y＝x2－2x＋2(x≥－3)的单调递减区间为_[－3,1]__. [解析]　因为y＝(x－1)2＋1，所以单调递减区间为[－3,1]． 14．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2) ≤　f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”) [解析]　∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)． 三、解答题 15．已知函数f(x)＝.证明函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． [证明]　设任意x1，x2∈(－2，＋∞)，且x2<x1， 则f(x2)－f(x1)＝－＝， 因为x1＞x2＞－2， 所以x2－x1<0，x1＋2＞0，x2＋2＞0， 所以<0， 所以f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 16．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题． (1)写出函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间的最大值． [解析]　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示． (1)f(x)在和[0，＋∞)上是增函数，在上是减函数， 因此f(x)的单调增区间为，[0，＋∞)，单调减区间. (2)∵f＝，f＝，∴f(x)在区间的最大值为. 17．已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论． [解析]　(1)f(x)＝＝＝1＋， 定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}． (2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明此结论． 证明：任取x1，x2∈(2,5)， 设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为2<x1<x2<5， 所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0， 所以f(x1)>f(x2)． 故函数在(2,5)上为减函数． 18．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1,3)，且关于直线x＝1对称． (1)求f(x)的解析式； (2)若m<3，求函数f(x)在区间[m,3]上的值域． [解析]　(1)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1,3)且关于直线x＝1对称， 所以 解得b＝－2，c＝0.所以f(x)＝x2－2x. (2)当1≤m<3时，f(x)min＝f(m)＝m2－2m，f(x)max＝f(3)＝9－6＝3， 所以f(x)的值域为[m2－2m,3]； 当－1≤m<1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(3)＝3， 所以f(x)的值域为[－1,3]． 当m<－1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(m)＝m2－2m， 所以f(x)的值域为[－1，m2－2m]． 综上当1≤m<3时，f(x)的值域为[m2－2m,3]； 当－1≤m<1时，f(x)的值域为[－1,3]； 当m<－1时，f(x)的值域为[－1，m2－2m]． 学科网（北京）股份有限公司 $$