河南省开封高级中学钱学森实验班2025届高三下学期最后押题卷（2）数学试卷

2025届钱学森实验班高考模拟试卷（6月2号） 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. 0 B. -1012 C. -2 D. 1010 7．函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 8．在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列结论错误的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8 D. 若样本数据，，…，的方差为9，则，，…，的方差为 10. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 11．已知函数，数列满足，则（    ） A．方程的解集为 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数与的图象关于直线对称，则______． 13. 若函数在区间的值域为，则的取值范围为______. 14．在中，，设，若，且，则的面积为 ． 四、解答题.本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设数列___________，求数列的前项和.请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答. 16.（15分） 某公司准备了一个不透明的箱子，该箱子中装有6个大小一样的小球，其中2个为红色，1个为白色，3个为蓝色.职工甲、乙两人进行抽球游戏，在每轮比赛中，两人各从箱子中一次抽出3个小球.得分规则如下，若抽出的三个小球的颜色相同，得8分；若抽出的三个小球中有两球的颜色相同，得4分；若抽出的三个小球的颜色各不相同，得2分.若第一轮得分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获得公司提前准备的奖励，游戏结束. （1）记甲第一轮得分为，求的概率分布列及数学期望； （2）求两人共抽轮小球的概率. 17．（15分）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，，分别为，的中点，记平面与底面的交线为. (1)证明：直线平面； (2)若在直线上存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线，所成角为，且满足，求. 18．（17分）图1是一种可以作出椭圆的工具．是滑槽（足够长）的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线为椭圆．当时，记画出的曲线为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求曲线的方程； (2)过坐标原点的任一直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，过点的任一直线与交于，两点． （i）求证：； （ii）求四边形面积的取值范围． 19．（17分）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届钱学森实验班高考模拟试卷（6月2号）答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】C【详解】. 由，可得，所以.所以.故选：C. 2. 【答案】D【详解】因为，则.故选：D 3. 【答案】A【详解】不妨设双曲线方程为， 不妨取，，， 因为为直角三角形，且，则为等腰直角三角形， 所以，所以，则，所以， 双曲线的离心率.故选：A 4. 【答案】D【详解】因为，且对任意的，都有成立， 所以，所以.故选：D. 5. 【答案】C【详解】因为，所以， 即，所以，即， 因为，则， 则， 所以 故选：C. 6. 【答案】C【详解】已知为奇函数，所以且， 因为，所以，则， 函数的周期为4，因为，，，， 所以， 因为，前2024项和为，， 所以.故选：C 7．【答案】C【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是.故选：C 8． 【答案】C【详解】由题意，因为是菱形，，， 则，是等边三角形，面积固定， 当且时，和的面积最大， 即三棱锥表面积最大， 因为，则， 取的中点E，连接， 则， ， 如图，过球心作平面，则为等边三角形的中心， 则，所以， 又，所以，，在中，，则， 由勾股定理得，所以球的半径， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】BCD【详解】对于A中，由，， 解得，所以A正确； 对于B中，由正态曲线的对称性，可得，则 ，所以B错误； 对于C中，由于，则第60百分位数为由小到大排列的第5个数为9，所以C错误； 对于D中，若样本数据，，…，的方差为9， 则，，…，的方差为，所以D不正确.故选：BCD. 10. 【答案】AC【详解】对于A，如图， 分别过，，作抛物线准线垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，∴，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，∵，，∴，设的周长为， 如图：过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：∵，∴， ∵，则，解得或（舍）， ∴，∴，故D错误.故选：AC 11． 【答案】ABC【详解】对于A，已知，令，即. 设，则，原方程可化为，即， 则，解得或或. 当时，；当时，；当时，. 所以方程的解集为，故A选项正确； 对于B，若，可用数学归纳法证明：，即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立，则，故成立， 即由数学归纳法可得成立，而， 又，， 故，故，故为递增数列，若，则恒成立，故B选项正确； 对于C，若，可用数学归纳法证明：，即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立，则，故成立， 即由数学归纳法可得成立，即由数学归纳法可得成立. 而， 又，， 故，故，故为递减数列， 存在常数，使得恒成立， 故C选项正确； 对于D， 若，则，，则，即， 因，则对任意恒成立，即为递增数列， 则对任意恒成立，因，则， 则，则， 则，因， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则， 因函数为上的单调递增函数，且值域为， 则当时，，再结合对数函数的图象可知， 则不存在常数，使得恒成立，故D选项错误.故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】【详解】设在图象上，则点关于直线对称点在图象上，则，即，.故答案为：． 13. 【答案】【详解】因为，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 因为在区间的值域为，所以，解得， 此时，， 又，∴，则，故答案为：. 14． 【答案】【详解】设，则，在中， 由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 则，即， 整理得，解得， 由θ为锐角，得，即，因此，， ，所以. 法二：过B作的平分线交AC于M，设，则， 由，，得，， 在中，由角平分线性质知，即，整理可得， 则，，即为等边三角形，且D是AM的中点， 而，因此，， 所以． 故答案为： 四、解答题.本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）【答案】（1）， （2）答案见解析 【小问1详解】解：根据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列， 所以，即得， 设公差为，则有，，， 又因为，，构成等比数列的前三项， 所以，即，解之可得，或（舍去）， 所以，即得数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 故可得，且由题可得，，， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得， 【小问2详解】解：若选①，则， 则①， 在上式两边同时乘以2可得，②， ①②可得，， 即得； 若选②，则， 则； 若选③，则，则 所以当为偶数时，； 由上可得当为奇数时，， 综上可得，． 16.（15分） 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【小问1详解】的可能取值为：8，4，2.依题意，； ；. 所以的概率分布列为： 8 4 2 【小问2详解】 记乙一轮比赛的得分为，事件为“一轮比赛甲乙得分相同”， 则 记事件为“第轮比赛甲乙得分不同”，则. 所以两人共抽轮小球的概率： . 17．（15分）【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1），分别是，的中点，， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面，， 由题意可得，即， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面. （2）取的中点记为，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 所以，. 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线. 取的中点记为，连接，则. 因为，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，即是平面的一个法向量， 所以.又直线与平面所成角为， 于是.又， 而异面直线，所成角为，于是. 假设存在点满足题设，则，即，所以. 当时，，此时有；当时，，此时有. 综上所述，这样的点存在，且有. 18．（17分）【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）当时，设点，依题意， 得，且， 所以，且，即且， 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0， 于是，所以，代入得， 所以的方程为； （2）（i）同理可得曲线的方程为， 不妨设与同向，，当直线斜率不存在时，； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 由，得 所以， 同理可得，因此， 对于任意直线均满足，所以； （ii）由（i）可知，四边形 面积是面积的6倍， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程， 所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程， 由，得，由得’ 所以，直线与有公共点，因此 由，得，由得， 所以， 令，则， 四边形面积的取值范围是. 19．（17分）【答案】(1)，(2)证明见解析(3) 【详解】（1），显然， 令，得，，即， 所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取，． （2）证明：因为，设，， 所以，点处的切线方程为和，所以， 所以，， 不妨取，，则，即，， 所以，不妨取．则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． （3）当时，，所以在上为增函数， 所以切点，不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧； 所以切点，必在轴的两侧．不妨设，，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即；当时，，所以点处的切线方程为， 即，因为，两点处的切线重合，所以， 设，，则，所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设，则， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以，设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数，综上可得，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$