精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年九年级下学期数学押题卷（七）

兰州市学府致远学校中考数学押题卷（七） （本试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．） 1. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 5. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线表示一块玻璃的两条边，且．现有光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. 如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 13. 如图，以菱形的顶点O为原点，对角线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若，点C的坐标为，则点A的坐标为______． 14. 如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___． 15. 有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．） 16. 计算：． 17. 化简，再求值：，其中． 18. 用配方法解方程：． 19. 如图，一次函数的图象与x轴相交于A点，与反比例函数（，）的图象相交于点B，且点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是y轴上的一点，且，过点C作x轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点D、E，连接，当的面积为4时，求此时m的值． 20. 某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形为矩形），已知城门宽度为6米，最高处离地面6米，米，如图所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求上半部分抛物线的函数表达式； （2）现需在此抛物线型城门上的点、处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度． 21. 综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员的指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据，柑橘的直径用x（单位：）表示． 将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）填空： ． （2）下列结论正确的是 （填序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （3）结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 22. 如图（1），油布伞是汉族传统用品之一，使用历史已有1000多年．如图（2），伞杆的长为100cm，手柄的长为17cm，当伞合拢时，点与点重合，的长为23cm，点是两伞骨连接处，当伞全张开时，，求此时的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：，，，，，） 23. 如图，已知点E是矩形中边的中点，连接．分别在、边上求作点P、点，使得点D关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法） 24. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 25. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，为y轴上一点，P为平面上一点，给出如下定义：若在上存在一点Q，使得是等腰直角三角形，且，则称点P为的“等直点”，为的“等直三角形”． （1）如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数． ①当时，在点A，B，C，D中，的“等直点”是__________； ②当时，若是的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值； （2）若直线上存在的“等直点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校中考数学押题卷（七） （本试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．） 1. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：从上面看到的形状图为： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据题意得到从上面看到的形状图是解题的关键． 2. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意． 故选D． 4. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】 如图，根据两直线平行，内错角相等， ∴∠1=45°， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴∠α=∠1+30°=75°． 故选：D． 5. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线表示一块玻璃的两条边，且．现有光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线的性质可求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示， ，， ， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握“同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”和“直径所对的圆周角为直角”．由是⊙的直径，得，根据，易得，由，可得，由圆周角定理得，即可求的度数． 【详解】解：是⊙的直径， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形得到，设，则；由菱形的性质可得，，则，，再根据正切的定义求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）．问玉、石各重多少？若设玉重两，石重两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据石头的总重及体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵石头总重11斤， ∴，即； ∵石头的体积为27立方寸， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点的横坐标代入，求出其纵坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， 把代入，得：， 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 10. 从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图的知识，准确理解折线统计图所含信息、数形结合是解答本题的关键．根据折线统计图提供的信息逐项判断即可． 【详解】解：通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，①说法正确； 通过统计图发现，若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，②说法正确； 通过统计图发现要30分钟内到达必须要在6:30之前出发才可以，故③说法错误； 故选：A． 11. 如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式和二次根式有无意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得且． 故答案为：且． 13. 如图，以菱形的顶点O为原点，对角线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若，点C的坐标为，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线连接AB，用菱形对角线、边的性质，求出两边OA、OD的长度，再求出AD的长，进而推出点A的坐标． 【详解】 如图，连接AB，交OC于点D． 四边形AOBC是菱形 ， 在 中， 点A的坐标为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质(对角线互相垂直平分，四条边都相等)，勾股定理的应用(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方)，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形． 14. 如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___． 【答案】9﹣5 【解析】 【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=2-2，PE=4-2，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，∴PB=BC=AB，∠PBC=30°，∴∠ABP=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP=60°，AP=AB=2，∵AD=2，∴AE=4，DE=2，∴CE=2﹣2，PE=4﹣2，过P作PF⊥CD于F，∴PF=PE=2﹣3，∴三角形PCE的面积=CE•PF=×（2﹣2）×（2﹣3）=9-5，故答案为9-5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为正整数，求得a=0，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：解分式方程，得 ， ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∴， ∴，1， ∵分式方程的解为正整数，当时，不合题意， ∴， ∴使关于的分式方程有正整数解的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数，求概率，熟练掌握根据分式方程解的情况求参数和概率公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用配方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ，． 19. 如图，一次函数的图象与x轴相交于A点，与反比例函数（，）的图象相交于点B，且点B的纵坐标为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是y轴上的一点，且，过点C作x轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点D、E，连接，当的面积为4时，求此时m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式、函数图象上点坐标特点等知识，正确求出反比例函数的解析式是关键； （1）先根据点B在一次函数图象上求出点B的坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到答案； （2）先由轴，得出点D、E的横坐标，进而可得关于m的关系式，然后由的面积为4得到关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴相交于A点，与反比例函数的图象相交于点B，且点B的纵坐标为6． ∴当时，， ∴， ∴点B的坐标是， 把B代入，得， ∴反比例函数的表达式是； 【小问2详解】 解：∵，轴， ∴当时，，， ∴， 当的面积为4时， 可得, 即 解得：是原方程的根且符合题意； 即m的值为2． 20. 某古城城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状．下半部分为矩形（四边形为矩形），已知城门宽度为6米，最高处离地面6米，米，如图所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求上半部分抛物线的函数表达式； （2）现需在此抛物线型城门上的点、处各悬挂一个灯笼（点A、D均在抛物线上），已知点A、D关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4米（A、D之间的距离为4米），求灯笼距离地面的高度． 【答案】（1） （2）米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数在几何图形中的应用，准确确定抛物线相关特征点坐标、熟练运用二次函数表达式及性质是解题关键． （1）利用待定系数法计算即可得解． （2）根据、的对称关系与水平距离确定横坐标，将其代入表达式，依据二次函数计算得出纵坐标，即灯笼距地面高度． 【小问1详解】 由题意知，抛物线的顶点为， 设抛物线的函数表示式为， 由题意知抛物线经过点， 将其代入，得， ， 抛物线的函数表达式为，即． 【小问2详解】 如图，过点、分别作于点，于点， 由题意知， 、关于抛物线的对称轴对称， ， 当时，， 灯笼距离地面的高度为米． 21. 综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员的指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据，柑橘的直径用x（单位：）表示． 将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）填空： ． （2）下列结论正确的是 （填序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． （3）结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】（1）40 （2）① （3） 乙园的柑橘品质更优，理由如下： 由频数分布直方图可知， 甲园一级柑橘的占比为， 二级柑橘的占比为， 乙园一级柑橘的占比为， 二级柑橘的占比为， ∵，， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数（率）分布直方图、用样本估计总体、中位数、众数、极差等知识点， （1）用200分别减去其它各组的频数可得a的值； （2）分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可； （3）根据统计图数据判断即可； 熟练掌握读懂图象信息进行解题是解决此题的关键． 【小问1详解】 由题意得，， 故答案为：40； 【小问2详解】 由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确，符合题意； 甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故②结论错误，不符合题意； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误，不符合题意； 故答案为：①； 【小问3详解】 略 22. 如图（1），油布伞是汉族传统用品之一，使用历史已有1000多年．如图（2），伞杆的长为100cm，手柄的长为17cm，当伞合拢时，点与点重合，的长为23cm，点是两伞骨连接处，当伞全张开时，，求此时的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为39.9cm 【解析】 【分析】本题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形，运用直角三角形中锐角三角函数的定义来求解线段长度是解题关键．过点作，垂足为，求出的长度，再设cm，利用三角函数表示出的不同表达式列出方程求解和的长度，最后根据三角函数求出和的长度，即可求出和的长度． 【详解】解：的长为100cm，的长为17cm，的长为23cm，，如图，过点作，垂足为． （cm）， 当伞合拢时，点与点重合， ． 设cm，则cm． ，cm， ，解得， ， cm，cm， cm，cm， cm， cm． 答：的长约为39.9cm． 23. 如图，已知点E是矩形中边的中点，连接．分别在、边上求作点P、点，使得点D关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法） 【答案】 点P，点即为所求． 【解析】 【分析】作的角平分线，交于点P，以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，根据圆的性质，等腰三角形的三线合一性质解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：作的角平分线，交于点P， 以点A为圆心，以为半径画弧，交于点， 则点P，点即为所求． 24. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 【答案】（1）证明：连接OD， ∵DF和半圆相切， ∴OD⊥DF， ∴∠BDF+∠ADO=90°， ∵∠ADO=∠OAD， ∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°， ∴∠OAD+∠B=90°， ∴∠BDF=∠B， ∴BF=DF； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可； （2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可. 【详解】解：（1）略 （2）过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD， ∵， ∴BF=DF=2， ∵，，∠C=90°， ∴AB=， ∴cos∠B==， ∴，解得：BG==DG， ∴AD=AB-BD=， 过点O作OH⊥AD于H， ∴AH=DH=AD=， ∵cos∠BAC=， ∴AO=， 即半圆O的半径长为. 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 25. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等边三角形，，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，由，即可求解； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等腰直角三角形，，，再证，，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由即可求解； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形，可得作图符合（2）的条件，连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点，由是等腰直角三角形，正方形的边长为，即，可得，，，由勾股定理得到，根据即可求解． 【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形， ∵， ∴， ∴，符合（2）的条件， 连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点， ∵是等腰直角三角形，正方形的边长为，即， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的基础知识，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1，为y轴上一点，P为平面上一点，给出如下定义：若在上存在一点Q，使得是等腰直角三角形，且，则称点P为的“等直点”，为的“等直三角形”． （1）如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数． ①当时，在点A，B，C，D中，的“等直点”是__________； ②当时，若是的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值； （2）若直线上存在的“等直点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①A、B、D， ② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据坐标的特点及“等直三角形”的定义作图即可判断； ②根据题意和，过Q点作轴，交y轴于M点，过点P作于H点，可证明，有和，设，则，，那么，，即可求得和故可求解． （2）当点T在y轴的负半轴上，点P在点Q的左侧时，在轴的负半轴上取一点F，使得，连接，，则，，，可证明，有，则，那么，点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，当或时，与直线相切；当点T在y轴的正半轴上，点P在点Q的左侧时，在轴的负半轴上取一点F，使得，连接，，同理可证，即有点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，当或时，与直线相切即可． 【小问1详解】 解：①如图，，，是等腰直角三角形，在上，故A、B、D为“等直点”， 故答案为：A、B、D； ②如图，依题意作的“等直三角形”， ∴，， 过Q点作轴，交y轴于M点，过点P作于H点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴=． 【小问2详解】 解：如图③，为的“等直三角形”，当点T在y轴的负半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆， ∴观察图形可知，当或时，与直线相切， 那么，或； 观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”； 如图④，为的“等直三角形”，当点T在y轴的正半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，， 同理可证， ∴， ∵， ∴， 则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆， ∴当或时，与直线相切， 那么，或； 观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”， 综上所述，t的取值范围为：或． 【点睛】此题主要考查直角坐标系、圆与全等三角形、相似三角形的判定和性质综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质、全等或相似三角形的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $