精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年高一下学期期中测试数学试题

南江县实验中学2024-2025学年度春学期期中测试 高一数学试卷（题卷） 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：侯入月 审题人：夏世川 一、单选题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z=为纯虚数，则实数的值为 A. =2 B. = C. = 或 =2 D. =2且3 3. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 6. 在内函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，，O是内一点，且满足，则（ ） A. 26 B. C. 13 D. 8. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 二、多选题：每题6分，共18分，选对一个得相应分数，如正确答案有三个选项则选对一个得2分，如正确答案有两个选项则选对一个得3分，选错不得分. 9. 以下化简正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 三、填空题：每小题5分，共15分，把答案直接填答题卷的横线上. 12. 已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 13. 函数在的最大值与最小值之和是__________． 14. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，向量，，，且∥，． （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 16. 已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 17. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中） （1）求，两点之间的距离； （2）求，两点之间的距离. 18. 已知，其中，. （1）求的对称中心； （2）在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 19. 已知. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江县实验中学2024-2025学年度春学期期中测试 高一数学试卷（题卷） 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：侯入月 审题人：夏世川 一、单选题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 2. 若复数z=为纯虚数，则实数的值为 A. =2 B. = C. = 或 =2 D. =2且3 【答案】A 【解析】 【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解. 【详解】由题意，复数为纯虚数， 所以，解得，即实数的值为2，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的分类及其应用，其中解答中熟记复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义，及正弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 所以， 故选：B 5. 在中，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可. 【详解】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. 6. 在内函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 7. 已知中，，，O是内一点，且满足，则（ ） A. 26 B. C. 13 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得出点为三角形的外心，根据外心的性质及数量积运算求解即可. 【详解】由，可知O是的外心，如图所示，过点作， 则，分别为，的中点，则， 所以， 故选：A 8. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 二、多选题：每题6分，共18分，选对一个得相应分数，如正确答案有三个选项则选对一个得2分，如正确答案有两个选项则选对一个得3分，选错不得分. 9. 以下化简正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合二倍角公式进行化简检验各选项即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：BCD 10. 点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 11. 如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可判断A，由模的求法可判断B；由平面向量数量积的运算和垂直的定义可判断C，由投影向量的求法计算可判断D. 【详解】由题可得：，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以与不垂直，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误； 故选：BCD 三、填空题：每小题5分，共15分，把答案直接填答题卷的横线上. 12. 已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念，列出式子即可求出结果. 【详解】由得 ． 故答案为：1. 13. 函数在的最大值与最小值之和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得解. 【详解】解：∵， ∴在区间上是增函数，∴，， ∴在上的最大值与最小值之和是． 故答案为： 14. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，向量，，，且∥，． （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得，进而可得，结合向量的模长公式运算求解； （2）根据题意可得，，进而可求，，代入夹角公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为∥，，则，解得， 即，， 可知，即，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 可得，， 则，， 可得， 且，则， 所以向量与夹角为. 16. 已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 【答案】（I）4；（II）. 【解析】 【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解； （II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解. 【详解】法1：（I） 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ； （II） ， ． 法2： （I）； （II），∴， ∵，， ∴与重合， ∴． 17. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中） （1）求，两点之间的距离； （2）求，两点之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，应用正弦定理求解即可； （2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【小问1详解】 由题意知,在中,. 由正弦定理得. 【小问2详解】 在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 18. 已知，其中，. （1）求的对称中心； （2）在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①等边三角形；② 【解析】 【分析】（1）整理函数的解析式，利用三角函数的性质即可求出 的对称中心； （2）①由题意首先求得， 对化简得，应用余弦定理得，进而判断形状； ②  利用余弦定理和重要不等式求得，再根据三角形面积公式求得面积最大值. 【小问1详解】 因为，，  ， ， 令，可得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 ①因为， 所以， 因为，所以， 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即 所以，又， 所以三角形为等边三角形. ②因为，， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 所以面积的最大值为. 19. 已知. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求在上的值域； （3）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对进行化简，得到的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间. （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【小问1详解】 ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. 【小问2详解】 时，，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 ，原不等式可化为对任意的恒成立 对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $