河南省开封高级中学2024-2025学年高三钱学森班上学期第五次测试数学试卷

开封高中2025届钱学森班第五次测试数学答案 1．【答案】D 【详解】因“，”，所以，所以． 结合选项及充分不必要条件知“”是“”的充分不必要条件． 故选：D． 2．【答案】A 因为，，所以，，所以． 3. 【答案】C 【详解】由解析式，知的定义域为， ，所以为奇函数， 当时，，，则， 所以，在上，结合各项函数图象，知：C选项满足要求.故选：C 4．【答案】C 因为，，，，所以，所以在方向上的投影向量为． 5．【答案】D 【详解】如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，，设，则（*）， 因点为的重心，则，即，代入（*），可得，因点在抛物线上，故，故，依题，，解得.故选：D. 6．【答案】B 【解析】当时，令，即，即，因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，所以时，函数只有一个零点，又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示，因为，可得，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：B. 7. 【答案】C 【详解】由数列为“速增数列”，，，且.得对，，，则，，，，相加得，，于是，即，而，，数列单调递增， 所以的最大值为64.故选：C 8．【答案】C 【解析】令且，，要使最大有，如下图示，在中，所以 ，当且仅当时， 所以的最大值为.故选：C 9．【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，，得，，D正确.故选：BCD 10.【答案】ACD 【详解】选项A：因为是奇函数，图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，A正确； 选项B：因为，由解得或，解得，所以在区间单调递增，单调递减，单调递增，且，，，所以有两个零点，B错误； 选项C：因为，所以在区间单调递减，单调递增， 即只有一个极值点，C正确； 设，，由解得，解得， 所以在区间单调递减，单调递增，，所以，因在区间单调递增，所以由，得，D正确，故选：ACD． 11．【答案】ABD 【详解】对于A，当倾斜角为时，方程为 此时位于椭圆短轴的一个端点，， 又平面平面平面正确． 对于B，当倾斜角为时，为等边三角形，边长为2，外接圆半径假设,则所以外接圆半径，三棱锥外接球半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为B正确． 对于C，设直线AB方程为,联立得，所以， 平面面错． 对于D，如图建系，翻折前原先， 翻折后， 由 ① ②，联立①②正确，故选：ABD． 12. 【答案】 【解析】复数，其中且，复数在复平面内对应的点，在直线上，的几何意义是点到点的距离，其最小值为点到直线的距离，最小值为. 13.【答案】 【解析】因为，所以，即，令，有，令，有，所以，，因为为偶函数，所以，由，令得，所以， 令得，所以，因为为偶函数，所以， 所以在点处的切线方程为，即. 14．【答案】 【解析】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以， 令，则，当且仅当，即时取等号，所以， 15.【答案】（1）， （2） 【小问1详解】由， 当时，. 当时，，也适合.综上可得，.由，所以. 【小问2详解】由（1）知① ②，①②得， 所以． 16. 解,, ,即：, 取中点，连接，则，且平面, 平面, 平面 【小问2详解】 解法一：由（1）知，平面平面平面 作，垂足为平面平面，且平面 平面，中 记点到平面的距离为与平面所成角为，则由得：因此， 解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由（1）可知，中，， 设的法向量，由得： 取，记与平面所成角为．则. 17解：（1）可以， 解：，， 所以，，，，， 所以，与的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系. （2）方案二更优惠，解：设方案一的实际付款金额为元，方案二的实际付款金额为元， 由题意可知，（元），的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，， 所以，方案二更优惠. 18【答案】(1)．(2)证明见解析 【详解】（1）由题知，即，又为的右支上一点，则， 所以，故当最小时，最小， 而，故，即，故，故的方程为． （2）当直线的斜率为0时，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为， 联立消去得，设，，则，，故（），由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得，将，代入上式得， 得，将（）代入化简得 ，即，所以点在定直线上． 19.解：（1）设函数为恒切函数，则有，使且，即，解得，故函数是恒切函数. （2）（i）由函数为恒切函数可知，存在，使得且， 即解得，，设， 当时，递增；当时，递减. ，即实数的取值范围是. （ii）当时，，函数为恒切函数. 又，所以存在，使得，即. 令，则，当时，递减；当时，递增.所以当时，，， 故在上存在唯一，使得，即. 又由，得， 由得，所以. 又，所以当时，有唯一零点， 故由得，即. . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封高中2025届钱学森班第五次测试 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2．若，，，则（ ） A． B． C． D． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4．已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 8．在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 函数有三个零点 C. 函数只有一个极值点 D. 当时， 11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在轴上方），连接．现将平面沿轴向上折叠，使得面面，则下列说法正确的是（    ） A．当直线的倾斜角为时， B．当直线的倾斜角为时，三棱锥的外接球的表面积为 C．三棱锥的体积最大值为 D．当折叠后的周长为时，直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数，其中且，则的最小值是 . 13.已知定义在上偶函数满足，且当时，．若，则在点处的切线方程为______．（结果用含的表达式表示） 14．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知数列的前项和为，且，数列满足． （1）求； （2）设，数列的前项和为，求． 16. （15分）已知三棱锥满足， 且 ． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值， 17.（15分） 某专营店统计了最近天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下： （1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算时精确到） （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买一件价值元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？ 参考数据：.附：相关系数. 18（17分）．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 19.（17分）若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数，，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数. （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数. （i）求实数的取值范围； （ii）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：.（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $$