2025届河南省开封高级中学高考一轮复习阶段性检测（一）数学试题

1 / 8 开封高中 2025 届一轮复习阶段性检测数学试题（一）参考答案 1.A2.A3.B4..A5..D 由题意知，曲线方程为： 4)2()( 22 =+−− yxax ，其中 2−x 将点 )0,0( 代入曲线方程，得： 42 =− a ，则 2−=a 故，曲线方程为： 4)2()2( 22 =+−+ yxx ，其中 2−x 注意到： 60 15 49 15 1 4 1 49 64 |1| 2 3 2 2 2 −+=−== = = x x yy ，故选 D. 6.C7.A8.“C )coscossin(sin)cos(sin cossin 6 cossin cossin6 2233     +−+ = + =r )cossin1()cos(sin cossin 6   −+ = 其中， ) 2 ,0(    令 ]2,1() 4 sin(2cossin +=+=  t ，则 2 1 cossin 2 − = t  32 2 2 2 2 2 3 21 )3( 23 )3( 1 ) 2 1 1( 2 1 6 ttttt t tt t t t t r − +−= − +− = − − = − − − = 在 ]2,1( 上单调递增 故， 23 2 2 6)2(max === rr ， 18)()( max 2 max 22 ==+ ryx 9．BD10.ACD11.ABD 【分析】利用线线平行的性质可判定 A，利用空间轨迹结合弧长公式可判定 B，建立空间直角坐标系， 利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定 C、D. 【详解】对于 A，在正方体中易知 1 1 1 1/ / , / / / /MN CD CD A B NM A B ， 又 1 A B 平面 AMN ，MN  平面 AMN ，所以 1A B∥平面 AMN ，即 A 正确； 对于 B，因为点 P 为四边形 1111 DCBA （含边界）内一动点，且 2MP = ， 1 1MD = ， 则 2 2 1 1 3DP MP D M= − = ，所以 P 点轨迹为以 1D 为圆心， 3为半径的圆与正方形相交的部分， 所以点 P 的轨迹长度为 1 3 2π 3 π 4 2   = ，故 B 正确； 对于 C，建立如图所示空间直角坐标系， 2 / 8 则 ( ) ( ) ( ) ( ) π2,0,0 , 0,0,1 , 0,1,0 , 3cos , 3sin ,2 0, 2 A M N P             ， 所以 ( ) ( ) ( )2,0,1 , 2,1,0 , 3 cos , 3sin ,1AM AN MP  = − = − = ， 若存在点 P，使得MP⊥面 AMN ，则 1 2 3cos 0 3sin 2 3cos 0 AM MP AN MP      = − =   = − = ， 解之得 1 1 sin ,cos 3 2 3  = = ，显然不满足同角三角函数的平方关系， 即不存在点 P，使得MP⊥面 AMN ，故 C 错误； 对于 D，设平面 AMN 的 一个法向量为 ( ), ,n x y z= ，则 2 0 2 0 AM n x z AN n x y   = − + =   = − + = ， 取 1 2x y z=  = = ，即 ( )1,2,2n = ， 则点 P 到平面 AMN 的距离 ( )15sin 23cos 2 3sin 2 1 π tan , 0, 3 3 2 2 n MP d n       + +  + +   = = = =       ， 显然 π 2  + = 时取得最大值 max 15 2 3 d + = ，故 D 正确.故选：ABD 12. 7 15 13. 13 16 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第 3 台阶的方法有两种：第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为 3 3 9 4 4 16  = ； 第二种： 只上一步且上两个台阶，则概率为 1 4 ，所以到达第 3 阶台阶的概率为 9 1 13 16 4 16 + = ， 故答案为： 13 16 . 14. a的取值范围为 ( , 1)− − . 注：该题改编自《2024 苏锡常镇二模第 17 题》 15．（13 分）解：（1）当 1a = 时， 3( ) 2 1f x x x= − + ，则导数 2( ) 3 2f x x = − ． 设切点为 ( )30 0 0, 2 1x x x− + ，则 ( ) 2 0 03 2f x x = − ， 3 / 8 所以切线方程为 ( ) ( )( )3 20 0 0 02 1 3 2y x x x x x− − + = − − ． 又切线过点 (0, 1)− ，则 ( ) ( )( )3 20 0 0 01 2 1 3 2 0x x x x− − − + = − − ， 整理得， 302 2x = ，解得 0 1x = ． 所以过点 (0, 1)− 且与曲线 ( )y f x= 相切的直线方程为 1y x= − ． （2）证明：依题意， 2( ) 3 2( 0)f x ax a = −  ，令 ( ) 0f x = ，得 2 3 x a =  ． x 2 , 3a   − −     2 3a − 2 2 , 3 3a a   −     2 3a 2 , 3a   +     ( )f x + 0 − 0 + ( )f x 极大值 极小值 不妨设 1 2x x ，则 1 2 2 2 , 3 3 x x a a = − = ． ( ) ( ) 3 31 2 1 1 2 22 1 2 1 2f x f x ax x ax x+ = − + + − + = ，所以 ( ) ( )1 2f x f x+ 为定值． 16.（15 分） 4 / 8 5 / 8 18.（17 分）命制思路探析【第 1 问的命制思路】 “在四棱锥 ABCDP − 中， ⊥PA 底面 ABCD ， 2== ACPA ， 1=BC ， 3=AB .”题设条件勾勒出了 “一个线面垂直—— ⊥PA 底面 ABCD ”、“一个直角三角形—— ABCRt ，也即： ABBC ⊥ ”. 引理 1（三垂线定理逆定理）：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线 也垂直于这条斜线在平面内的射影。 （图 3：“三垂线定理逆定理”示意图） 引理 1 的证明： ABAD PABAB PABAD PABPBPA PPBPA PBAD PAAD AD PA ⊥     ⊥           = ⊥ ⊥     ⊥ 平面 平面 平面,    根据“三垂线定理逆定理”可知： ABAD⊥ ，又 ⊥PA 底面 ABCD ，因此 AD、、ABAP 两两垂直， 这就是“墙角模型”. 又 ABBC ⊥ ，则 BCAD // ，同时注意到 PBCAD 平面 ， PBCBC 平面 ，则 PBCAD 平面// .这就 是第 1 问； 【第 2 问的命制思路】 6 / 8 引理 2（三垂线定理）：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它 也和这条斜线垂直。 （图 4：“鳖臑模型”示意图） 引理 2 的证明：过点B 作 ACBK ⊥ ，垂足为K PCBK PACPC PACBK PACACPA AACPA ACBK PABK BK PA ⊥     ⊥           = ⊥ ⊥     ⊥ 平面 平面 平面,    过点 B 作 PCBQ ⊥ ，垂足为Q；又 PACBK 平面⊥ ，由引理 1（三垂线定理逆定理）得： QKPC ⊥ 由于 PCBQ ⊥ ， QKPC ⊥ ， PCBBQ 平面 ， PACKQ 平面 ；所以二面角 BCPA −− 的平面角为 BQK 设 mCQ = ，由平面几何知识得： mQK = ， mQB 7= ， mBK 6= 在 BQK 中，由余弦定理得： 7 1 72 )6()7( 2 cos 222222 =  −+ =  −+ = mm mmm QBQK BKQBQK BQK ； 7 42 7 6 sin ==BQK 若 DCAD ⊥ ，且二面角 DCPA −− 的正弦值为 7 42 ，则点 D 为点 B 关于直线 AC 的对称点，此 时 3== ABAD . 7 / 8 （以上 4 副图为“辅助线的平面图拆解”） 传统方法简析 【参考答案】第 1 问解答思路与命制思路类似，这里从略. 【第 2 问传统方法简析】过点 D 仿照上述求二面角 BCPA −− 的平面角的方法求解即可. （第 3 问）温馨提示：相等.可以在 PBAD⊥ 情形下，通过补形法，补成“长、宽、高分为为： 3 、1、 2”长方体后，求该长方体的外接球相关问题.除了本题求外接球的表面积，还可以求其外接球的体积. 19.（17 分）【分析】（1）令 ( ) ( )g x f x= ，求出导函数，再分 0a  和 0a  两种情况讨论，分别求出 函数的单调区间；（2）结合（1）分 0a  、 1 0 2 a  、 1 2 a = 、 1 2 a  四种情况讨论，判断 ( )f x 的单 调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证 sin 1 2e lnsin sin  − +  ， cos 1 2e ln cos cos  − +  ，只需证对任意 1 0x−   ，有 ( ) 2e ln 1 (1 )x x x+ +  + ，结合（2）只需证明 ( )ln 1 ( 1 0)x x x+  −   ，构造函数，利用导数证明即可. 【小问 1 详解】由题知 ( ) e 2 1xf x ax= − − ，令 ( ) ( ) 2 1xg x f x ax= −= −e ，则 ( ) e 2xg x a = − ， 当 0a  时， ( ) ( )0,g x f x  在区间 ( ),− + 单调递增，当 0a  时，令 ( ) 0g x = ，解得 ln2=x a， 当 ( ), ln2x a − 时， ( ) 0g x  ，当 ( )ln2 ,x a + 时， ( ) 0g x  ， 所以 ( )f x 在区间 ( ), ln2a− 上单调递减，在区间 ( )ln2 ,a + 上单调递增， 综上所述，当 0a  时， ( )f x 在区间 ( ),− + 上单调递增； 当 0a  时， ( )f x 在区间 ( ), ln2a− 上单调递减，在区间 ( )ln2 ,a + 上单调递增. 【小问 2 详解】当 0a  时， ( )0 0f  = ，由（1）知，当 ( ),0x − 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( ),0− 上单 调递减；当 ( )0,x + 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( )0, + 上单调递增； 所以 0x = 是函数 ( )f x 的极小值点，不符合题意；当 1 0 2 a  时， ln2 0a  ，且 ( )0 0f  = ， 8 / 8 由（1）知，当 ( )ln2 ,0x a 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( )ln2 ,0a 上单调递减； 当 ( )0,x + 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( )0, + 上单调递增； 所以 0x = 是函数 ( )f x 的极小值点，不符合题意； 当 1 2 a = 时， ln2 0a = ，则当 ( ),x − + 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( ),− + 上单调递增， 所以 ( )f x 无极值点，不合题意；当 1 2 a  时， ln2 0a  ，且 ( )0 0f  = ； 当 ( ),0x − 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( ),0− 上单调递增； 当 ( )0,ln2x a 时， ( ) ( )0,f x f x  在 ( )0,ln2a 上单调递减； 所以 0x = 是函数 ( )f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的 取值范围是 1 2 a  . 【小问 3 详解】要证 ( )sin 1 cos 1e e ln sin cos 1   − −+ +  ， 只要证 ( ) ( )sin 1 cos 1 2 2e e ln sin ln cos sin cos     − −+ + +  + ， 只要证 sin 1 2e lnsin sin  − +  ， cos 1 2e ln cos cos  − +  ， 因为 π 0, 2         ，则 ( ) ( )sin 0,1 ,cos 0,1   ， 所以只要证对任意0 1x  ，有 1 2e lnx x x− +  ， 只要证对任意 1 0x−   ，有 ( ) 2e ln 1 (1 )x x x+ +  + （※）， 因为由（2）知：当 1a = 时，若 0x  ，则 ( ) ( )0 1f x f = ， 所以 2e 1x x x− −  ，即 2e 1x x x + + ①， 令函数 ( ) ( )ln 1 ( 1 0)h x x x x= + − −   ，则 ( ) 1 1 1 1 x h x x x −  = − = + + ， 所以当 1 0x−   时 ( ) 0h x  ，所以 ( )h x 在 ( )1,0− 单调递增； 则 ( ) ( )0 0h x h = ，即 ( )ln 1 ( 1 0)x x x+  −   ， 由①+②得 ( ) 2 2e ln 1 2 1 ( 1)x x x x x+ +  + + = + ， 所以（※）成立， 所以 ( )sin 1 cos 1e e ln sin cos 1   − −+ +  成立. 开封高中2025届一轮复习阶段性检测数学试题（一）参考答案 1.A2.A3.B4..A5..D 由题意知，曲线方程为：，其中 将点代入曲线方程，得：，则 故，曲线方程为：，其中 注意到：，故选D. 6.C 7.A 8.C 其中， 令，则 在上单调递增 故，， 9．BD10.ACD11.ABD 【分析】利用线线平行的性质可判定A，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C、D. 【详解】对于A，在正方体中易知， 又平面，平面，所以平面，即A正确； 对于B，因为点P为四边形（含边界）内一动点，且，， 则，所以P点轨迹为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的部分， 所以点P的轨迹长度为，故B正确； 对于C，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 若存在点P，使得面，则， 解之得，显然不满足同角三角函数的平方关系， 即不存在点P，使得面，故C错误； 对于D，设平面一个法向量为，则， 取，即， 则点P到平面的距离， 显然时取得最大值，故D正确.故选：ABD 12. 13.【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 只上一步且上两个台阶，则概率为，所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 14.的取值范围为. 注：该题改编自《2024苏锡常镇二模第17题》 15．（13分）解：（1）当时，，则导数． 设切点为，则， 所以切线方程为． 又切线过点，则， 整理得，，解得． 所以过点且与曲线相切的直线方程为． （2）证明：依题意，，令，得． 0 0 极大值 极小值 不妨设，则． ，所以为定值． 16.（15分） 18.（17分）命制思路探析【第1问的命制思路】 “在四棱锥中，底面，，，.”题设条件勾勒出了“一个线面垂直——底面”、“一个直角三角形——，也即：”. 引理1（三垂线定理逆定理）：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 （图3：“三垂线定理逆定理”示意图） 引理1的证明： 根据“三垂线定理逆定理”可知：，又底面，因此两两垂直，这就是“墙角模型”. 又，则，同时注意到，，则.这就是第1问； 【第2问的命制思路】 引理2（三垂线定理）：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （图4：“鳖臑模型”示意图） 引理2的证明：过点作，垂足为 过点B作，垂足为；又，由引理1（三垂线定理逆定理）得： 由于，，，；所以二面角的平面角为 设，由平面几何知识得：，， 在中，由余弦定理得：； 若，且二面角的正弦值为，则点D为点B关于直线AC的对称点，此时. （以上4副图为“辅助线的平面图拆解”） 传统方法简析 【参考答案】第1问解答思路与命制思路类似，这里从略. 【第2问传统方法简析】过点D仿照上述求二面角的平面角的方法求解即可. （第3问）温馨提示：相等.可以在情形下，通过补形法，补成“长、宽、高分为为：、1、2”长方体后，求该长方体的外接球相关问题.除了本题求外接球的表面积，还可以求其外接球的体积. 19.（17分）【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意，有，结合（2）只需证明，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】由题知，令，则， 当时，在区间单调递增，当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】当时，，由（1）知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，，且， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意；当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意；综上所述，取值范围是. 【小问3详解】要证， 只要证， 只要证，， 因为，则， 所以只要证对任意，有， 只要证对任意，有（※）， 因为由（2）知：当时，若，则， 所以，即①， 令函数，则， 所以当时，所以在单调递增； 则，即， 由①②得， 所以（※）成立， 所以成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 4 开封高中 2025 届一轮复习阶段性检测数学试题（一） 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分． 考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合 { 1 2}, { 2}M x x N x x= −  = ‖ ∣ ∣ ，则M N =（ ） A．{ 2 3}x x ∣ B．{ 2 3}x x ∣ C．{ 2}x x ∣ D．{ 1}x x  −∣ 2. 若函数 ( ) 3 2 1 1 3 f x x ax= − + 在 4x = − 处取得极大值，则实数a =（ ） A． 2− B． 1− C．1 D．2 3.已知函数 ( ) ln( 2)f x ax= + 在区间 (1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． 0a  B． 1 0a−   C． 1 0a−   D． 1a  − 4.自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底 座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领 域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh 函数是研究人工智能被广泛使用的 2 种 用作神经网络的激活函数，Tanh 函数的解析式为 e e tanh e e x x x x x − − − = + ，经过某次测试得知 0 4 tanh 5 x = ，则当把变量减半时， 0tanh 2 x =（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 5 D． 2 3 5.造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C 的一部分.已知 C 过坐标原点 O，且 C 上 的点满足横坐标大于 2− ，到点 )0,2(F 的距离与到定直线 )0( = aax 的距离之积为 4,则 C 在第一象限的点的纵坐标的最大值 0y 与 1 的关系为（ ） A. 10 y B. 10 =y C. 10 y D. 10 y 2 / 4 6.已知函数 ( )f x 的定义域为R，且 ( )1f x + 为偶函数， ( )2 1f x + − 为奇函数．若 ( )1 0f = ，则 26 1 ( ) k f k = = （ ） A．23 B．24 C．25 D．26 7.已知 ( )f x 及其导函数 ( )f x 的定义域均为R，记 ( ) ( )g x f x= ，g ( 5.5) 2= ，若 ( 1)f x+ 关于 1x = − 对 称， g ( 2 1x + )是偶函数，则 g ( 0.5− )= A． 2− B．2 C．3 D． 3− 8.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想。运用三角换元法可以处理曲线中的 最值问题。譬如：已知 )0( 222 =+ rryx ，求 yx + 的最大值。我们令 cosrx = ， sinry = ，则 )sin(cos  +=+ ryx ，这样我们就把原问题转化为三角函数最值 问题。已知 ),( yxA 是曲线 )0,0(0633 =−+ yxxyyx 上的点，则 22 yx + 的最大 值为（ ） A. 2 B.8 C. 18 D. 36 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 A，“乙正面向上”为事件 B， “甲、乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是 A． A与 B相互对立 B． A与 B相互独立 C． 1 ( ) 2 P C = D． 2 ( | ) 3 P B C = 10.设 ( )1 2 1 2,x x x x 是直线 y a= 与曲线 (1 ln )y x x= − 的两个交点的横坐标，则（ ） A． 1 2 ex x  B． 2 1 1 2ln lnx x x x C． 2 1(0,1), e aa x x  −  D． 1 1 2(0,1), lna x x x a  +  11.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为 2，点 M，N 分别为棱 1,DD DC 的中点，点 P 为四边 形 1111 DCBA （含边界）内一动点，且 2MP = ，则（ ） A. 1A B∥平面 AMN B. 点 P 的轨迹长度为 3 π 2 C. 存在点 P，使得MP⊥平面 AMN D. 点 P 到平面 AMN 距离的最大值为 15 2 3 + 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 3 / 4 12.设随机变量 ~X H (3，2，10)，则 P ( 1X = )= . 13.某人上楼梯，每步上 1 阶的概率为 3 4 ，每步上 2 阶的概率为 1 4 ，设该人从第 1 阶台阶出发， 到达第 3 阶台阶的概率为_________． 14.已知函数 e x e ax xf x − − = 1 )( ( aR).若 ( )f x 在区间 (1, )+ 上有且只有一个极值点，则实数 a的取 值范围为____________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）设 0a  ，函数 3( ) 2 1f x ax x= − + ． （1）当 1a = 时，求过点 (0, 1)− 且与曲线 ( )y f x= 相切的直线方程： （2） 1 2,x x 是函数 ( )f x 的两个极值点，证明： ( ) ( )1 2f x f x+ 为定值． 16.（15 分）某学校有A B, 两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐 厅用餐．此后，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为 0.4；如果 某同学某天去B餐厅，那么该同学下一天去A餐厅的概率为 0.8． （1）记甲、乙、丙 3 位同学中第 2 天选择 A 餐厅的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和期 望； （2）甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 4 / 4 17.（15 分）已知函数 ( ) 2 ax x f x e = ，其中 0a  ． （1）若 ( )f x 在 ( 0 2， 上单调递增，求 a的取值范围； （2）当 1a = 时，若 1 2 4x x+ = 且 10 2x  ，比较 ( )1f x 与 ( )2f x 的大小，并说明理由 18.（17 分）如图，四棱锥 ABCDP − 中， ⊥PA 底面 ABCD ， 2== ACPA ， 1=BC ， 3=AB . （1）若 PBAD⊥ ，证明： //AD 平面 PBC ； （2）若 DCAD ⊥ ，且二面角 DCPA −− 的正弦值为 7 42 ，求 AD . （3）当 PBAD⊥ ， DCAD ⊥ 时，四棱锥 ABCDP − 的外接球表面积与（2）中四棱锥 ABCDP − 的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥 ABCDP − 的外接球表面积；若不相等，请说 明理由. 19.（17 分）已知函数 2( ) exf x ax x= − − ， ( )f x 为 ( )f x 的导数 （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 0x = 是 ( )f x 的极大值点，求 a的取值范围； （3）若 π 0, 2         ，证明： sin 1 cos 1e e ln(sin cos ) 1   − −+ +  ． 开封高中2025届一轮复习阶段性检测数学试题（一） 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A． B． C．1 D．2 3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 5.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4,则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） ( A. B. C. D. ) 6.已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A．23 B．24 C．25 D．26 7.已知及其导函数的定义域均为，记，()，若关于对称，()是偶函数，则() A． B．2 C．3 D． 8.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想。运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题。譬如：已知，求的最大值。我们令，，则，这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题。已知是曲线上的点，则的最大值为（ ） A. 2 B.8 C. 18 D. 36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是 A．与相互对立 B．与相互独立 C． D． 10.设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ） A． B． C． D． 11.已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点P为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点P的轨迹长度为 C. 存在点P，使得平面 D. 点P到平面距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设随机变量(3，2，10)，则() . 13.某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 14.已知函数(R).若在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设，函数． （1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程： （2）是函数的两个极值点，证明：为定值． 16.（15分）某学校有两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为0.4；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为0.8． （1）记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望； （2）甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 17.（15分）已知函数，其中． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）当时，若且，比较与的大小，并说明理由 18.（17分）如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求. （3）当，时，四棱锥的外接球表面积与（2）中四棱锥的外接球表面积相等么？若相等，请求出四棱锥的外接球表面积；若不相等，请说明理由. 19.（17分）已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$