精品解析：陕西省西安市大兴新区初级中学2024-2025学年下学期八年级数学第一次大练习

2024-2025学年度第二学期八年级数学第一次大练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，属于不等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以③④⑤为不等式，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”来表示的；而方程是用“=”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数． 2. 下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用、三角形内角和定理．由勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、∵，故不能判定是直角三角形，符合题意； B、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意； C、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合题意； D、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 3. 下列命题的逆命题成立的是（　　）． A. 全等三角形的对应角相等 B. 若三角形的三边满足（c最大），则该三角形是直角三角形 C. 对顶角相等 D. 同位角互补，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据全等三角形的性质、勾股定理、对顶角的定义、平行线的性质进行判断即可． 【详解】A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题； B、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为若a、b、c为直角三角形的三边，则满足，此逆命题为真命题； C、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题； D、两条直线平行，同位角互补的逆命题为同位角互补，两条直线平行，此逆命题为假命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理、逆命题等知识，判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 4. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A. ac＜bc B. ＞ C. ﹣a＜﹣b D. a﹣1＜b﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变，同时乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变，可对A，B，C三个选项进行判断；根据不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变，可对D选项进行判断． 【详解】A、∵a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项错误； B、∵a＜b，∴，故本选项错误； C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，故本选项错误； D、∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，易错点是不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变． 5. 用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是(    ) A. 假设三角形中至少有两个钝角 B. 假设三角形中最多有两个钝角 C. 假设三角形中最少有一个钝角 D. 假设三角形中没有钝角 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确解答． 【详解】解：用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角， 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，正确理解反证法的思想方法，理解假设的方法是解决本题的关键． 6. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图象的关系是解答此题的关键．根据图象知正比例函数和一次函数的图象的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵正比例函数和一次函数的图象的交点是， 由图象可知：不等式的解集是， 故选：A． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 先根据勾股定理求出，再直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：在中，，，， , 的垂直平分线交于点D，交于点E， , , 故选：D 8. 如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质可得，结合，可得出∠，利用三角形的外角性质可得，进而可得出，再结合及即可解答． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 10. 如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是_______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定：等角对等边，平行线的性质等知识；由角平分线的性质及平行线的性质得：，则有，从而得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的周长为： ， 故答案为：30． 11. 3条长裤和4件上衣的总价不超过500元，其中长裤的单价为a元，上衣的单价为b元，请列不等式来表示该不等关系______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，解题的关键是能正确选择不等号． 根据不超过就是等于或低于，用“”表示，据此解答即可． 【详解】解：依题意得：； 故答案为：． 12. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围． 【详解】解：解得， ∵无解， ∴a≤1． 故答案为：a≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 13. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转60°，得到，连接BM，那么BM的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，可知为等边三角形，垂直平分，，利用勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 三、计算题：本大题共2小题，共9分． 14. 解不等式＞x﹣1，并写出它的所有正整数解． 【答案】1，2，3 【解析】 【分析】由一元一次不等式解法知，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到原不等式解集，进而可得正整数解． 【详解】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1）， 去括号，得1+2x＞3x﹣3， 移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1， 合并同类项，得﹣x＞﹣4， 系数化为1，得x＜4， 则不等式的正整数解为：1，2，3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式基本步骤是解题关键． 15. 解不等式组并把解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示表示不等式的解集如下， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 四、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，求作点，使，并且使点到的两边距离相等． 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——角平分线及线段垂直平分线，先作的平分线，再连接，并作的垂直平分线，交于P，即可求解，解题的关键是熟练掌握基本作图的步骤，属于中考常考题型． 【详解】解：①作的平分线， ②连接，并作的垂直平分线，交于P，连接、， 点在的平分线上， 点P到的两边的距离相等， 又点在线段的垂直平分线上， ； 17. 如图，已知中，，是内一点，且，试说明的理由． 【答案】 证明：在与中， ， ∴ ∴（全等三角形的对应角相等） ∵（已知） ∴（等腰三角形的三线合一） 【解析】 【分析】先证明，再利用全等三角形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用． 18. 如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N． （1）求证： （2）求的度数 【答案】（1） 证明：与都是等边三角形， ， , , 在和中 ， （2） 【解析】 【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答． （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在和中， ， 又， 19. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形 因为折叠，则 是等腰三角形 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证； （2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）略 （2）四边形是矩形 , 设，则 因为折叠，则，, 在中 即 解得： 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键． 20. 一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图可知，不等式的解集是______； （2）若不等式的解集是． ①点的坐标为______． ②的值为_______． 【答案】（1）x＞-2；（2）①(1，6)；②10 【解析】 【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集； （2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x=1代入y1=kx+b即可求得点B的坐标； ②根据点B也在函数y2=-4x+a的图象上，从而可以求得a的值． 【详解】解：（1）∵C(-2，0)在一次函数y1=kx+b上， ∴不等式kx+b＞0的解集是x＞-2， 故答案为：x＞-2； （2）①∵A(0，4)，C(-2，0)在一次函数y1=kx+b上， ∴，得， ∴一次函数y1=2x+4， ∵不等式kx+b＞-4x+a的解集是x＞1， ∴点B的横坐标是x=1， 当x=1时，y1=2×1+4=6， ∴点B的坐标为(1，6)； ②∵点B(1，6)， ∴6=-4×1+a，得a=10， 即a的值是10． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价每人均为500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选择哪家旅行社？ 【答案】带领4名学生时，两家旅行社费用相同；当学生小于4人时，选择乙旅行社便宜；当学生大于4人时，选择甲旅行社便宜． 【解析】 【分析】设甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元，然后讨论：若，，，分别求出对应的x的取值范围，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】解：设甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元，根据题意得 ， ， ①当，即时，解得， 故带领4名学生时，两家旅行社费用相同； ②当，即时，解得， 故学生小于4人时，选择乙旅行社便宜； ③当，时，解得， 故学生大于4人时，选择甲旅行社便宜． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出一次函数关解析式，然后比较函数值的大小得到对应的x的取值范围，从而确定省钱的方案． 22. 某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）如果B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，那么该商店购进A型B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）y与x的函数关系式是y=-50x+15000； （2）A型电脑34台，B型电脑66台 【解析】 【分析】（1）根据题意可以求得y与x的函数关系式，从而可以解答本题； （2）根据题意和B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题． 【小问1详解】 解：设购进A型电脑x台，则购进B型电脑（100-x）台， 由题意可得， y=100x+150（100-x）=-50x+15000， 即y与x的函数关系式是y=-50x+15000； 【小问2详解】 解：由题意可得， 100-x≤2x，解得x≥33， ∵y=-50x+15000，-50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=34时，y取得最大值，此时y=13300，100-x=66， 即商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大． 【点睛】本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 23. 如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答： （1）当平分时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得当平分时，，根据距离，速度，时间的关系即可求解； （2）根据，列方程求解即可； （3）分和两种情况讨论，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在等边中，平分， 点Q是的中点， ， 即， ， 【小问2详解】 解：根据题意：，则， 过点P作于点D， 在等边中，，点P在线段的垂直平分线上， ， 解得：， 当时，点P在线段的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：存在， 当时，为直角三角形， 因为 ， 即， 解得：， 当时，为直角三角形， ， 即， 解得： ， 综上：或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期八年级数学第一次大练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，属于不等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 下列命题的逆命题成立的是（　　）． A. 全等三角形的对应角相等 B. 若三角形的三边满足（c最大），则该三角形是直角三角形 C. 对顶角相等 D. 同位角互补，两直线平行 4. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A. ac＜bc B. ＞ C. ﹣a＜﹣b D. a﹣1＜b﹣1 5. 用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是(    ) A. 假设三角形中至少有两个钝角 B. 假设三角形中最多有两个钝角 C. 假设三角形中最少有一个钝角 D. 假设三角形中没有钝角 6. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 10. 如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是_______． 11. 3条长裤和4件上衣的总价不超过500元，其中长裤的单价为a元，上衣的单价为b元，请列不等式来表示该不等关系______． 12. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 13. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转60°，得到，连接BM，那么BM的长是______． 三、计算题：本大题共2小题，共9分． 14. 解不等式＞x﹣1，并写出它的所有正整数解． 15. 解不等式组并把解集表示在数轴上． 四、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，求作点，使，并且使点到的两边距离相等． 17. 如图，已知中，，是内一点，且，试说明的理由． 18. 如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N． （1）求证： （2）求的度数 19. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 20. 一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图可知，不等式的解集是______； （2）若不等式的解集是． ①点的坐标为______． ②的值为_______． 21. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价每人均为500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选择哪家旅行社？ 22. 某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）如果B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，那么该商店购进A型B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 23. 如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答： （1）当平分时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $