河南省周口市扶沟县高级中学2024-2025学年高三上学期第二次周测数学试题

扶沟高中20242025学年上期高三第二次周测数学答案 12345678901 D A B A BB DD ABC BC BCD 1.【解容】解：因为AUB=A,所以BCA, ①8=到，w+1≥2w·1,解得m2: 网+12m-1 回B≠时，则有0+122。解得2<m4,擦上，w的取值范围是侧4，放妹：D. (2m-1s7 之.【解容】解：由腿意，△=2-4=1-4×1×侧≥0.解特≤子 面可以推出m<交检选A 主.【解容1转：ma=-骨所以2a-5o-2-5x(骨-2 2ginu+5cox 52x计5-2.故话：B 4.【锦行】解：函份一晋奇函数，排除选项C、D, 当e受D时，了)<0.排除4位远：A 5.【解荐】解：因为，y为正实数，且x-1,所以+642=6+36t型_+2_9，手 y y -2++0-13++号21+2腰×5要-2 组取度=号上一多.等号，有的果小为法.数感： x+y=1y= 6,【解容】解：“f)-(a-名)(a>0小：对任查的R:怀有f0)≤/（受 受-后+号(z.解得w-+号(eZ国 又的在区同(-吾：壹上单福，号-总2-（-孕-学又w>0 0<w3,@,我立①②，得w一膏版远且. 1.【解容】解：号)-1小.是- .函数=n(W+m》的周期为T=2×(3-1)=4。 容案第 =面在周期0,2加内时，>05的区到为会号。区同长定是周期的号 一在一个期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0,5m的8时民污×4争，数城：D, 设r的-兰≠0.则t0-尘， 令f《)>0.解用x>1,令了()<0，解得x<1且≠0， 所以函数f(x)在(-四，0)，(0,1)上单调速减，(1，+）上单萌递增， 又1>h2>是>0.则fm2四<f2.即a<b, 注意f=品=高=铝=fa=a,雨4>号>1，所以fa>甲a>e 综上，b>a>c.故遗：D 9【绑等】解：由海您可号-音-号-草数则=普=2 哈)=n2x登+=1吧+p=+2te0, 解得单=-警+2水知。叉何<子即单=-受+2=子放4正确： 即)-m(2+)当x一君时.有2x+号-0， 故f》的图象关干点(-言·0)对称陈，故B正调： 当x∈【-晋·影时，2x+e【-是·引妆CE确： 将丽数)的器象向由右平受个位得到n(2红-2×壹+-(+号》 点D错误.放速：ABC. 10.【解答】解1？在△BC中，A=7.4C=5,BC=3 由余性定理特eac=4品学-密2=宁又ce0,动c=亭 2a6 对F若CD是商，5c-专×7xCD-×3x5×m亭解得CD-票做A轴误： 对于：若CD是中线，c西=(CA+C商.即CD2=7×25+9+2×5×3×(-划=号 页，共4项 ∴C0=罗故B正确： 对于C舌CD是角平分线，则mt53cm=5,吃×5×D×写+×3×D×m号 ×5X3Xm号解得C0=普做C正瑞： 对于D:若D为线段d山的已等分点.C西=子CA+CB或CD=子CA+号Cn, CD2=号×25+号×9+号×5×3×(-=19g政CD2=号×25+号×9+×5x3×(-》 琴cD-段厚放D维民、做：C 11.【解答】解1不等式+br在(0，+@》上恒成立，等价于3售-k:在(0，+四)上恒战立， 令函数)=加-点，之0.求导和F代幻=是-k知然0， 与<0时，/《x)>0,函数f(x)在(0，+一)上单调道拥，面函数y-,y-·在在(0.+ m)上单调递增，它们的取值集合分别是(-m,+m》,《0,+四 因此《，+四)包含于函数f(x)的恤域：即函数f(x)无最大值，眼不等式m-红在(0， +四)上不恒成立， 于是>0.由x)>0得0x<。由八x)<0得x>下即函数x)在0，)上遥增，在(，+四) 上遮减一空--1依避意，6≥城1，哈之 令9)中，k0,求导箱g=处 当0<k<1时g《)<0,当>1时g(k》>0, 因此函数g()在(0,1)上单调遂诚，在(1，+©)上单调递增。多(》=g《1)=~1,干 号2-1所以的维可以是-1一是一子成项A墙，cD正确，版CD 12.【解容】解：因为x2-2x+3=《x-1)42合2.图2-2x+与有最小值为2. 所以函数f()要有最大值，只周0<4<1，则不等式g(x2-5x+7)>0化为：<x2-5+7 <1,解得2<x<3,所以不等式的解集为(2.3)，故存案为：(2,3)。 13,【解容】解：不妨设公锡线与函数fx)=2+n的切点为(：n,与函数g(x)=。的暖点为 :易知f)-子g()=.因此公切战斜事为-，因此x-1, 容案第2型 可得（然1）-0.即ax3一0， 又易如2坐=3-1-2=】整避可h-h-2红1=2一 1一1 红一期 1 即1-和加1~1=-1：即(1+)(1-)=0，部得名1=城1=1： 因北可得斜率为2=1政号=。.故答案为：1或。 XI 1 14.【解答】解：根据愿意。因为函数y=f(x)的定义域为R,且了(+1)为国函数，了(x-1)为命 函数，则f(1-)=f(1+z),f(--1)=-f(x-1 所以，函数f(x)的图象关于直线x=1对移，也关于点(-1,0)对称， 所以，了(-x)=f(x+2).了(-x)=-了t-2》 所以，了(+2》=fx-2),对f(+8)-·了+4)-f). 所以，函数了x)是圆期为8的周期函数， 当x日-1,1]时，f()=1-5则f(1)=0,f(7)=f《-1)=0,f(8)=f(0》=1, f(2)-f(0》=1.f(3)/(-10=0.f(4)=-f(-61m-/(2)=-1, f(5)=f0-3)=-f(1》=0,f(6》=-f(-8)=-f(0)=-1 所以，1f(k)-0+1+0-1+0-1+0+1-0, 又因为2023=8×253-1.所以.27f向=253课-，f()-f80=0-1=-1. 15.【解答】第1(1)fx)=2me0s2W56o4+V万-m2x~25×1±g2+5 =m2灯-cow-22-w）-2油（2x-学.3分 期数∫约最小正隔别上受=，4分 由2+s2-背≤2m+警ez,料m+g≤2x2+告，kZ, 即酒数的单调道减区铜为+铅+受1.工。… 了分 (》xe号时，2,2河，则2-到号 则当2-，即2x= ,共4页 即-晋，函数了a)取得最小植，最个)=2号-115分 16【解答11)正明：若a1.则/)一加+1，所财因-京号0,1分 由f(x)<0,得0r<,由Px)>0,得x>1, 所以了(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十的)上单调透增。m3分 所以j(x)有极小值。也是最小值，且f(x)w=寸(1)=0.所以广》0,5分 （）由袍意新网=号-号=2,0…6分 因为a>0,所以令f(a》>0,斜x>a令了(<0，得0<x<m, 放(x)在(0，)上单调道减，在《a。十四)上单调递增。…-8分 若0<a<e,则f(x)在(0.d上的最小值为f(a》-ata-】 更使条成立，只眉fa）=aha-1K~1,解得0Ka号 *…11分 若a≥，期了)在(0.门上的最小恤为f阅=a+号-1 +-1-无解-4分 故a的取值花国为0，之.…5分 1.【解答】解：1)证明函数因-n云+2x+化-1护，定义域为《0,2,1分 f倒+f2-利-mz+2x+收-13+m2+22-0+0-x分 -az六号+2+242-+6-1护+0-x明=00=4.6分 所以谁线y=f(x)关于点《，2)对移，…7分 《2)fg=++2+36-=2可十2+30-，8分 因为延02认0所以四可2+30-0 2 所以j(x)在定义城(0.2)上单调遂增。m…10分 (方法一)义/(x)关于点(1,2)对称，f(2m~1)/(m》<4, 容案第3 [2m-1+mc2 所以{0<2m-1<2 (0<m<2 l. (方法二)因为fx》关于点(1,2》对称， 所以8()三寸(x+1)一2是奇函数，丑在区网(-【，1)上单调通增， 由f(2w-1)tf(w)<4, 即f(2w~1)-2<-f(w)-斗.眼g(2m-2)<-名(w-1), 2m-2←1-m 所以g(2w2)<g(1-m), 所以-1<2m-21,解1 -1<1-m1 所以实数如的取值范国为（经· 。一15分 18.【解答】解：(1)由表格中的数解知，y的最大值为了4，最小植为26 所以26解得4=24，b=5.2分 由想意知7=124=124所以=亭=合=费斯以y=24n(贤x+到+5，…4分 将点31,7)代入可得：74=24m(7×31+列+5. 所以×31tp=+2a,ke么，解得p-2,EZ.6分 又因为河间<学所以p一0.7分 所以y=247x+5.0≤x<24.…8分 〔2》货馅需琴的安全水深为42十2=62米，所以击老条件为62。m9分 今2m7+526a,用m7之安所吗+2a品号+2，ke2 +g≤s2+袋.eZm归分 图为站所=0脉贵≤是与1时，锷s 30≤xs 527 4…14分 30 图品=1时2分，=5时10.绍=5时6分，绍=17时利分。 527 共4页 因此。贤船可以在1时2分进港，早是5时10分出港： 或在下午13时26分进港，下午17时3利分出港。 该货胎最早进港时间为1时2分。停靠总时长为8小时16分钟。…一17分 19.【解答】解1》证明！因为/)f+1)=1雅xR成立，所以+)一向1分 】 所以红2)=7不+可fx.2分 所以2为函数f4)的周期：……3分 (2)由√2为“h(x】关于.2倒数点”，得k(2k2-2)=1.4分 p(2+ajw2-2+a=1,a2+(2v2-2a+1-22=0,即(a+2v2-10a-1)=0, 又因为>0，所以=1，**一5分 段单x)=(x+1)1的定义规为R, 求导得0’(x)=g(x计1》42(x+1)=g5《+1)(x计3》。*……………6分 因为。>0恒成立，所以当E(,m,·3)时，甲'(x)>0,甲(x)单调通增： e(-3,-1)时，单()<0，单(x)单调速或： xe(-1,+o》时，单’(x)>0,单(x)单调递用： 所以()的单调递增区间为《-©，一3》.《·1，+©)，递减区同为(-3.一1).…7分 所以p(x》量=0（-3)=4e,甲《红)w=甲(-1〉=0。…8分 与x箱于·时，罗自于0，当x的于4e时，y着于+m, 作出函数甲(x)的大致周象如下： 又因为瓜一-()只有再个不同的解，转化为心)=(1D≥0与=m有两个交点，出图 9x) 象可得容一单(~3)一业nng分 3,x0 (3)依悬意，(-}1 +m<0 由0(x》恰有3个“(x)的1倒粒点“，即0(a》0《+1)=1枪有3个不等实数根.10分 ①当x>0时，+1>0，方程《x)w(+1)=1可化为+1=1， 所以21=0.解得x一壹这与>0矛指， 因此在(0，+四)内似(》如x+1)=0没有实数根：… …11分 餐案第4页 ②当-1<0味1>0，方整)如(1)=1可化为 该方程又可化为a-e1-x.设序x)-e一x,则nx)一-1， 因为当∈《·1,0)时，nx》>0.所以mx)在(·1,0)内单调递增， 又因为程(-1)-2，n(0》-e,所以当e(-1,0)时，n(x)e(2,e,413分 因此，音E(2,e)时，方程如(x)0(+1)=1在《-1,0)内恰有一个实数根： 国当x=-1时，x+1=0,的(x+1》设有意义， 所以=-1不是(x)仙（叶1）=1的实数根。……14分 ④当x<-1时，x+1<0, 方程0()0(+1)=1可化为之1 atat行=1， 即为xha)(x+r1)=1,x2+(2+1)2a-1=0, 于是此方程在〔一m,一1)内恰有再个实数根， 2a+1)2-4a2+a-1)20 可视 21<-1 -16分 2 ·解得a318 2 1-(2a+1)+a2+a-10 因北当a>15时，方程w)u(+1》-1在(-m,-1D内粉有两个实数展 2 猴上。a的取恤花为2.)n(些，+四）-（亿..…17分 共4项高三数学 第 1页（共 2页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 扶沟高中 2024-2025学年上期高三第二次周测 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12.____________________ 13.____________________ 14.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（13分） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚， 并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题； 字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 班级 姓名 考场 座号 高三数学 第 2页（共 2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 1页（共 2页） 扶沟高中 2024-2025学年上期高三第二次周测 数学试题 2024.11 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．已知集合 A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，若 A∪B＝A，则（ ） A．﹣2≤m≤4 B．﹣2＜m＜4 C．m＜4 D．m≤4 2．关于 x的一元二次方程 x2+x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A．�＜ 12 B．� ≤ 1 4 C．�＜ − 1 2 D．�＜ 1 4 3．已知 P（﹣9，8）为角α终边上一点，则 5����−2���� 2����+5���� =（ ） A．− 6122 B．﹣2 C． 22 61 D． 1 2 4．函数�(�) = ������|�|−1的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知 x，y为正实数，且 x+y＝1，则 �+6�+3 �� 的最小值为（ ） A．24 B．25 C．6 + 4 2 D．6 2 − 3 6．已知函数�(�) = ���(�� − �6 )(�＞0)，对任意的 x∈R，都有�(�) ≤ |�( � 2 )|，且 f（x）在区间( − � 4， � 12 )上单调，则ω的值为（ ） A． 8 3 B． 4 3 C． 2 3 D． 10 3 7．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器 减震装置，被称为“镇楼神器”，如图 1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单 摆运动，其离开平衡位置的位移 y（m）和时间 t（s）的函数关系为 y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ| ＜π），如图 2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 t1，t2，t3（0＜t1 ＜t2＜t3），且 t1+t2＝2，t2+t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m的总时 间为（ ） A． 1 3 s B． 2 3 s C．1s D． 4 3 s 8．已知� = 1 �� 2 ，� = 2 �，� = 3 3 �4 4 （其中 e为自然常数），则 a、b、c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．函数 f（x）＝sin（ωx+φ）(�＞0，�＞0，|�|＜ �2 )的部分图象如图所示，下列结论中正确的是 （ ） A．� = �3 B．函数 f（x）的图象关于点( − �6，0)对称 C．函数 f（x）在[ − 5�12， � 12 ]上单调递增 D．将函数 f（x）的图象向由右平移 � 12 个单位得到函数�(�) = ���(2� + �4 )的图象 第 2页（共 2页） 10．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝3，点 D在线段 AB上，下列结论正确的是（ ） A．若 CD是高，则�� = 1514 B．若 CD是中线，则�� = 19 2 C．若 CD是角平分线，则�� = 158 D．若 CD＝3，则 D是线段 AB的三等分点 11．设 k，b∈R，若关于 x的不等式 kx+b≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则 � � 的值可以是（ ） A．﹣4 B．﹣1 C．− 12 D．− 1 4 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知 a＞0 且 a≠1，若函数�(�) = ��2−2�+3有最大值，则不等式 loga（x2﹣5x+7）＞0 的解集 为 ． 13．函数 f（x）＝2+lnx与函数 g（x）＝ex公切线的斜率为 ． 14．设函数 y＝f（x）的定义域为 R，且 f（x+1）为偶函数，f（x﹣1）为奇函数，当 x∈[﹣1，1]时， f（x）＝1﹣x2，则 �=1 2023 �(�) = ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数�(�) = 2����(���� − 3����) + 3． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和 f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）当� ∈ [�2，�]时，求函数 f（x）的最小值及取得最小值时 x的值． 16．（15分）已知函数�(�) = ���� + � 2 � − 1(� ∈ �)． （Ⅰ）若 a＝1，证明：f（x）≥0； （Ⅱ）若 a＞0且存在 x0∈（0，e]，使得 f（x0）＜﹣1成立，求 a的取值范围． 17．（15分）已知函数�(�) = �� �2−� + 2� + (� − 1) 3． （1）证明：曲线 y＝f（x）是中心对称图形； （2）若 f（2m﹣1）+f（m）＜4，求实数 m的取值范围． 18．（17分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现 测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示： 时刻：x （时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y （米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 （1）根据以上数据，可以用函数� = ����(�� + �) + �(�＞0，|�|＜ �2 )来近似描述这一天内港 口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； （2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为 4.2米．安全条例规定，在本港口进港和 在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有 2米，根据（1）中的解析式，求出这条货 船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 19．（17分）对于函数 f（x），定义域为 R，若存在实数 x0，使 f（x0）f（x0+λ）＝1，其中λ≠0，则 称 f（x）为“倒数函数”，x0为“f（x）的λ倒数点”．已知 g（x）＝ex，h（x）＝x+a（a＞0）． （1）如果 f（x）f（x+1）＝1对 x∈R成立．求证：f（x）为周期函数； （2）若 2为“h（x）的﹣2倒数点”，且 � �(�) = ℎ2(�)只有两个不同的解，求函数 m的值； （3）设�(�) = �(�)，�＞0 1 ℎ(�)，�＜0 ，若函数ω（x）恰有 3个“ω（x）的 1倒数点”，求 a的取值范围． ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 扶沟高中2024-2025学年上期高三第二次周测 ( 班级 姓名 考场 座号 )数学答题卡 ( 准考证号： 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多选题 （每小题 6 分 ，共18分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、 填空 题（ 每小题5分， 共 15 分） 12. ____________________ 13. ____________________ 14. ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 高三数学 第2页（共2页） 高三数学 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扶沟高中2024-2025学年上期高三第二次周测 数学试题 2024.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B＝A，则（　　） A．﹣2≤m≤4 B．﹣2＜m＜4 C．m＜4 D．m≤4 2．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是（　　） A． B． C． D． 3．已知P（﹣9，8）为角α终边上一点，则（　　） A． B．﹣2 C． D． 4．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　） A．24 B．25 C． D． 6．已知函数，对任意的x∈R，都有，且f（x）在区间上单调，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 7．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（　　） A．s B．s C．1s D．s 8．已知（其中e为自然常数），则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B．函数f（x）的图象关于点对称 C．函数f（x）在上单调递增 D．将函数f（x）的图象向由右平移个单位得到函数的图象 10．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝3，点D在线段AB上，下列结论正确的是（　　） A．若CD是高，则 B．若CD是中线，则 C．若CD是角平分线，则 D．若CD＝3，则D是线段AB的三等分点 11．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的值可以是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知a＞0且a≠1，若函数有最大值，则不等式loga（x2﹣5x+7）＞0的解集为 　 　． 13．函数f（x）＝2+lnx与函数g（x）＝ex公切线的斜率为 　 　． 14．设函数y＝f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x﹣1）为奇函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣x2，则 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）当时，求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的值． 16．（15分）已知函数． （Ⅰ）若a＝1，证明：f（x）≥0； （Ⅱ）若a＞0且存在x0∈（0，e]，使得f（x0）＜﹣1成立，求a的取值范围． 17．（15分）已知函数． （1）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； （2）若f（2m﹣1）+f（m）＜4，求实数m的取值范围． 18．（17分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示： 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 （1） 根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； （2） 某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 19．（17分）对于函数f（x），定义域为R，若存在实数x0，使f（x0）f（x0+λ）＝1，其中λ≠0，则称f（x）为“倒数函数”，x0为“f（x）的λ倒数点”．已知g（x）＝ex，h（x）＝x+a（a＞0）． （1）如果f（x）f（x+1）＝1对x∈R成立．求证：f（x）为周期函数； （2）若为“h（x）的﹣2倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m的值； （3）设，若函数ω（x）恰有3个“ω（x）的1倒数点”，求a的取值范围． 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扶沟高中2024-2025学年上期高三第二次周测数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A B A B B D D ABC BC BCD 1．【解答】解：因为A∪B＝A，所以B⊆A， ①B＝∅时，m+1≥2m﹣1，解得m≤2； ②B≠∅时，则有，解得2＜m≤4．综上，m的取值范围是m≤4．故选：D． 2． 【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×m≥0，解得m， 而m可以推出m．故选：A． 3．【解答】解：，所以．故选：B． 4．【解答】解：函数奇函数，排除选项C、D； 当x∈（，π）时，f（x）＜0，排除A．故选：A． 5．【解答】解：因为x，y为正实数，且x+y＝1，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25．故选：B． 6．【解答】解：∵，对任意的x∈R，都有， ∴kπ（k∈Z），解得ω＝2k（k∈Z），① 又f（x）在区间上单调，∴（），又ω＞0， ∴0＜ω≤3，②，联立①②，得ω．故选：B． 7．【解答】解：∵（t1+t2）＝1，（t2+t3）＝3， ∴函数y＝sin（ωt+φ）的周期为T＝2×（3﹣1）＝4， ∵y＝sinx在周期[0，2π）内时，y＞0.5的区间为（，），区间长度是周期的， ∴在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为4s，故选：D． 8．【解答】解：a，b＝2，c， 设（x≠0），则， 令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得x＜1且x≠0， 所以函数f（x）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增， 又，则，即a＜b， 注意，而，所以，即a＞c， 综上，b＞a＞c．故选：D． 9．【解答】解：由题意可得，故T＝π，则， ，即， 解得，又，即，故A正确； 即，当时，有， 故f（x）的图象关于点对称，故B正确； 当时，，故C正确； 将函数f（x）的图象向由右平移个单位得到， 故D错误．故选：ABC． 10．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝3， 由余弦定理得，又C∈（0，π），∴， 对于A：若CD是高，，解得，故A错误； 对于B：若CD是中线，，即， ∴，故B正确； 对于C：若CD是角平分线，则S△ACD+S△BCD＝S△ABC，即，解得，故C正确； 对于D：若D为线段AB的三等分点，或， ，或，∴或，故D错误．故选：BC． 11．【解答】解：不等式kx+b≥lnx在（0，+∞）上恒成立，等价于b≥lnx﹣kx在（0，+∞）上恒成立，令函数f（x）＝lnx﹣kx，x＞0，求导得，显然k≠0， 当k＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，而函数y＝lnx，y＝﹣kx在（0，+∞）上单调递增，它们的取值集合分别是（﹣∞，+∞），（0，+∞）； 因此（0，+∞）包含于函数f（x）的值域，即函数f（x）无最大值，即不等式b≥lnx﹣kx在（0，+∞）上不恒成立， 于是k＞0，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，即函数f（x）在上递增，在上递减，，依题意，b≥﹣lnk﹣1，则， 令，求导得， 当0＜k＜1时g'（k）＜0，当k＞1时g'（k）＞0， 因此函数g（k）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，g（k）min＝g（1）＝﹣1，于是，所以的值可以是，选项A错误，BCD正确．故选：BCD． 12．【解答】解：因为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，即x2﹣2x+3有最小值为2， 所以函数f（x）要有最大值，只需0＜a＜1，则不等式log0化为：0＜x2﹣5x+7＜1，解得2＜x＜3，所以不等式的解集为（2，3），故答案为：（2，3）． 13．【解答】解：不妨设公切线与函数f（x）＝2+lnx的切点为（x1，y1），与函数g（x）＝ex的切点为（x2，y2）；易知，g′（x）＝ex，因此公切线斜率为，因此， 可得，即lnx1+x2＝0， 又易知，整理可得， 即1﹣x1lnx1﹣x1＝﹣lnx1，即（1+lnx1）（1﹣x1）＝0，解得或x1＝1； 因此可得斜率为或．故答案为：1或e． 14．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x﹣1）为奇函数，则f（1﹣x）＝f（1+x），f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）， 所以，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，也关于点（﹣1，0）对称， 所以，f（﹣x）＝f（x+2），f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）， 所以，f（x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 所以，函数f（x）是周期为8的周期函数， 当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣x2，则f（1）＝0，f（7）＝f（﹣1）＝0，f（8）＝f（0）＝1， f（2）＝f（0）＝1，f（3）＝f（﹣1）＝0，f（4）＝﹣f（﹣6）＝﹣f（2）＝﹣1， f（5）＝f（﹣3）＝﹣f（1）＝0，f（6）＝﹣f（﹣8）＝﹣f（0）＝﹣1， 所以，， 又因为2023＝8×253﹣1，所以，． 15． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2xsin2x﹣2 sin2xcos2x＝2（sin2xcos2x）＝2sin（2x），………………………………………3分 则函数f（x）的最小正周期Tπ，……………………………………………………………4分 由2kπ2x2kπ，k∈Z，得2kπ2x≤2kπ，k∈Z， 即kπx≤kπ，k∈Z，……………………………………………………………………6分 即函数的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z，………………………………………………7分 （Ⅱ）当时，2x∈[π，2π]，则2x∈[，]，……………………………………9分 则当2x，即2x，……………………………………………………………………11分 即x时，函数f（x）取得最小值，最小值f（x）＝2sin2．…………………………13分 16．【解答】（Ⅰ）证明：若a＝1，则f（x）＝lnx1，所以，x＞0，…1分 由f′（x）＜0，得0＜x＜1，由f′（x）＞0，得x＞1， 所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，………………………3分 所以f（x）有极小值，也是最小值，且f（x）min＝f（1）＝0，所以f（x）≥0．……5分 （Ⅱ）由题意得，x＞0，………………………………………6分 因为a＞0，所以令f'（x）＞0，得x＞a，令f'（x）＜0，得0＜x＜a， 故f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．………………………8分 若0＜a＜e，则f（x）在（0，e]上的最小值为f（a）＝alna+a﹣1． 要使条件成立，只需f（a）＝alna+a﹣1＜﹣1，解得0＜a，……………………11分 若a≥e，则f（x）在（0，e]上的最小值为， 令，无解，………………………………………………………………14分 故a的取值范围为．………………………………………………………………15分 17．【解答】解：（1）证明：函数，定义域为（0，2），…1分 ＝0+4+0＝4，……………6分 所以曲线y＝f（x）关于点（1，2）对称．………………………………………………7分 （2），……………………8分 因为x∈（0，2），，所以， 所以f（x）在定义域（0，2）上单调递增．………………………………………………10分 （方法一）又f（x）关于点（1，2）对称，f（2m﹣1）+f（m）＜4， 所以 解得．……………………………………………………………………………15分 （方法二）因为f（x）关于点（1，2）对称， 所以g（x）＝f（x+1）﹣2是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递增． 由f（2m﹣1）+f（m）＜4， 即f（2m﹣1）﹣2＜﹣[f（m）﹣2]，即g（2m﹣2）＜﹣g（m﹣1）， 所以g（2m﹣2）＜g（1﹣m），所以，解得． 所以实数m的取值范围为．……………………………………………………………15分 18．【解答】解：（1）由表格中的数据知，y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以，解得A＝2.4，b＝5，………………………………………………………2分 由题意知T＝12.4﹣0＝12.4，所以，所以，…4分 将点（3.1，7.4）代入可得：， 所以，解得φ＝2kπ，k∈Z，…………………………………6分 又因为，所以φ＝0，………………………………………………………………………7分 所以．……………………………………………………………8分 （2）货船需要的安全水深为4.2+2＝6.2米，所以进港条件为y≥6.2．………………………9分 令，即，所以， 解得，………………………………………………………12分 因为0≤x＜24，所以k＝0时，，k＝1时，，…………………14分 因为时＝1时2分，时＝5时10分．时＝13时26分，时＝17时34分． 因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港； 或在下午13时26分进港，下午17时34分出港． 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟．…………………………17分 19．【解答】解：（1）证明：因为f（x）f（x+1）＝1对x∈R成立，所以f（x+1），……1分 所以f（x+2）f（x），…………………………………………………………………2分 所以2为函数f（x）的周期；………………………………………………………………………3分 （2）由为“h（x）关于﹣2倒数点”，得，……………………………4分 即，即， 又因为a＞0，所以a＝1，…………………………………………………………………………5分 设φ（x）＝ex（x+1）2的定义域为R， 求导得φ′（x）＝ex（x+1）2+2ex（x+1）＝ex（x+1）（x+3），…………………………………6分 因为ex＞0恒成立，所以当x∈（﹣∞，﹣3）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增； x∈（﹣3，﹣1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减； x∈（﹣1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增； 所以φ（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞），递减区间为（﹣3，﹣1），……7分 所以φ（x）极大值＝φ（﹣3）＝4e﹣3，φ（x）极小值＝φ（﹣1）＝0，……………………………8分 当x趋于﹣∞时，y趋于0，当x趋于+∞时，y趋于+∞， 作出函数φ（x）的大致图象如下： 又因为只有两个不同的解，转化为φ（x）＝ex（x+1）2 ≥0与y＝m有两个交点，由图象可得m＝φ（﹣3）＝4e﹣3；………………………………………………………………………9分 （3）依题意，， 由ω（x）恰有3个“ω（x）的1倒数点”，即ω（x）ω（x+1）＝1恰有3个不等实数根，…10分 ①当x＞0时，x+1＞0，方程ω（x）ω（x+1）＝1可化为e2x+1＝1， 所以2x+1＝0，解得，这与x＞0矛盾， 因此在（0，+∞）内ω（x）ω（x+1）＝0没有实数根；…………………………………………11分 ②当﹣1＜x＜0时，x+1＞0，方程ω（x）ω（x+1）＝1可化为， 该方程又可化为a＝ex+1﹣x．设n（x）＝ex+1﹣x，则n′（x）＝ex+1﹣1， 因为当x∈（﹣1，0）时，n′（x）＞0，所以n（x）在（﹣1，0）内单调递增， 又因为n（﹣1）＝2，n（0）＝e，所以当x∈（﹣1，0）时，n（x）∈（2，e），………………13分 因此，当a∈（2，e）时，方程ω（x）ω（x+1）＝1在（﹣1，0）内恰有一个实数根； ③当x＝﹣1时，x+1＝0，ω（x+1）没有意义， 所以x＝﹣1不是ω（x）ω（x+1）＝1的实数根．……………………………………………14分 ④当x＜﹣1时，x+1＜0， 方程ω（x）ω（x+1）＝1可化为， 即为（x+a）（x+a+1）＝1，x2+（2a+1）x+a2+a﹣1＝0， 于是此方程在（﹣∞，﹣1）内恰有两个实数根， 可得，解得，……………………………………16分 因此当时，方程ω（x）ω（x+1）＝1在（﹣∞，﹣1）内恰有两个实数根， 综上，a的取值范围为．………………………………17分 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$