云南省临沧市临翔区三中等三校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（图片版）

绝密★启用前 2027届高二开学考试LK 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选 择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z在复平面上对应的点为(2，-1)，则 A.z=-1+2iB.z=5 C.z=-2-i D.z-2是纯虚数 2.设集合M={xx2-2x≥0}，N={xy=1og2(1-x)},则{xx<2)= A.MUN B.NU (CRM)C.MU(CRN) D.CR(MnN) 3.经过简单随机抽样获得的样本数据为X1,2,…,Xn,且数据x1,X2,, x的平均数为x,方差为s2，,则下列说法正确的是 A.若s2=0,则所有的数据x(1=1,2,,)都为0 B.若x=3,则y1=2x+11=1,2,,n)的平均数为6 C.若s2=3,则y1=2x+11=1,2,n)的方差为12 D.若组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 4. an12-3+32cos212的值为 sin6'sin84" A.16 B.8 C.4 D.32 5.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,I, N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入 一次密码能够成功开机的概率是 A店 B.日 c D动 6.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农公 式，香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信 息传送速率C的公式C=W·log2(1+),其中W是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦）， 数学试题第1页（共4页） 其中叫做信噪比根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99 提升至λ，使得C大约增加了60%，则入的值大约为（参考：10.2≈1.58） A.1559 B.3943 C.1579 D.2512 7.某圆台的上、下底面半径分别为r、R,且R=3r,圆台的体积为263m, 3 若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为 A.2V3π B.4V3π C.6V3π D.12y3π 8. 已知函数f(x)是定义在xx∈R且x≠O}上的偶函数，且x>0时， f(x)=1og2x若函数g(x)=fx-1)+2x-1+21-×,则满足不等式 g(2a-1)>4的实数a的取值范围是 A.(0,2) B.(0,1)U(1,2) C.(-∞，1)U(2,+∞) D.(-∞，0)U(2,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.下列说法错误的是 A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若ā∥b,则存在唯一实数使得=5 C.两个非零向量ā，6，若后-=+6，则后与b共线且反向 D.已知=(1,2)，b=(1,1),且与+b的夹角为锐角，则实数入的取 值范围是(-3，+∞) 10.已知a>0,b>0,a2+b2-ab=1,下列不等式恒成立的是 A.+622 B.a+b≥2 C.a3+b3≤2D.0<b≤2y II.如图，三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,AB=AC=2,∠BAC=,D 为PC的中点，点O为三棱锥P-ABC外接球球心，则 A.当PA=2V2时，BD1PC B.当PA=√3时，二面角P-BC-A大小为 C.当异面直线BD与AC所成角为，时，PA=6 D.当点0到平面PBC的距离为V2时，PA=2V2 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数24满足24==1，乙+五=+1则212=一 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(cosB,cosC), i=(2a+c,b),且m⊥i若b=√13，a+c=4,则△ABC的面积为 14.已知R上的偶函数y=f(x在区间[-1,0]上单调递增，且恒有f1-x)+f1+x0 成立，给出下列判断：①f(-3)=0:②fx)在[1,2]上是增函数：③f(x)的图 象关与直线x=1对称；④函数f(x)在x=2处取得最小值；⑤函数y=f(x) 没有最大值，其中判断正确的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分) 0是平面直角坐标系的原点，A(-1,2),B(1,1),记0A=a,0丽=6. (1)求a在6上的投影向量坐标： (2)若四边形OABC为平行四边形，求点C的坐标： (3)若向量=（1，入)，满足条件：(，a〉与（自，b）互补，求入. 16.(15分) 已知函数f(x)=2 cOSwX(sin@x+√3 cOSwx)-√3-1（ω>0），f(x1)=1, f(X2)=-3,lX1-x2lmin (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若a,B∈(，号)，f(-)=房sin(a+B)=-云，求f)的值. 17.(15分) 在一次区域的统考中，为了了解学生 ↑频率组距 数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩 0.035 0.030 中随机抽取了40位考生的成绩进行统计 0.020 分析，得到如图所示的频率分布直方图 0.010 (1)估计这40名学生的数学成绩的 0.005 0 平均数与上四分位数：（同一组中的数据用 5060708090100分数 该组区间的中点值作代表，结果保留1位小数)： (2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在 数学试题第3页（共4页） [50,70)分数段的同学中按组([50,60)，[60,70)各算一组)从样本中分层抽取了 6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人 进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50,60)的 概率： (3)已知落在[80,90)的平均成绩数=87，方差s2=4,落在[90,100]的平 均成绩)=94，方差s2=4,求落在[80,100]的平均成绩z,并估计落在[80,100] 的成绩的方差s2. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD,AD⊥CD, AB=PD=AD=CD=2,PD⊥平面ABCD,点E为棱PC上的点，点F为 棱AD上的点，点G为棱PB上的点 (1)若E、F分别为棱PC,AD的中点，证明：EF/平面 求PD与平面PBC所成角的正弦值； (3)若识=器=咒=AQ∈(Q,1》,当取何值时，三棱锥C-EFG体积取 得最大 B 19.(17分) 已知函数y=f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+2ax+1(a为常 数) (1)当x<0时，求f(x)的解析式： (2)设函数y=f(x)在[0,5]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式： (3)对于(2)中的g(a),试求满足g(8m)=g(日)的所有实数m的取值集 合 数学试题第4页（共4页） 2027届高二开学考试LK 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A A C B D 二、选择题 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 1.3 3W3 2+2 4 ①④ 四、解答题 15.解：(1)=√5=2a6=1, 所以在5上的投影向量为间cos<,6>高-部6=五=(： (2)设点C(xy),0ABC为平行四边形，则有0A=CB,0A=(-1,2),CE=(1- x,1-y), 解得x=2,y=-1,故C(2,-1). ③)0s<宝6>=需-因为<6，>与<i.6>互林. os<i8>-cos<i.6>=-即cos<元a>=品= 间√5√2+1 = V10 10 推得712-8入+1=0→入=或1=1（舍），故7= 16.解：(1)f(x)=2 cOSwX((sinwx+√3 cOSwx)-√3-1 =2sinωXCOSwX+2V3cos2wx-√3-1 sin2ox V3cos2@x-1 =2sin(2wx+)-1. 数学参考答案第1页（共5页） -1≤sin(2wx+)≤1，-3≤2sin(2wx+)-1≤1， ·fx)的最大值为1，最小值为-3. 又fx1)=1,f(x2)=-3,且lx1-X2lmin=2 “函数f(x)的最小正周期为2×5=π， ω=1，f0)=2sin(2x+3)-1. 由2km+号s2x+号s2km+受keZ, 得km+sx≤k+设kEZ, f0网)的单调递减区间为机km+是k红+k∈乙. (2)由(1)得f号-3)=2sin(B-3)-1=号 sin(B-7)=号 ~Be(5),÷B-晋e(0,3), cosB-=1-sin2(B-3)=是 :sin(a+)=-2且a,Be(,習)，ia+Be(径，智)， .cos(+=-1-sin( f=2sin(a+7）-1=2 2sinI(a+)-(（B-3)1-1 =2[sin(a+B)cos(B-7)-cos(a+B)sin(B-3)]-1 =2×[-3×-(-爱)×自-1= 17解：(1)设平均数为x,上四分位数为x1: 则x=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75, 上四分位数x1满足方程0.1+0.2+0.35+(x1-80)×0.03=0.75, X1≈83.3. :这40名学生的数学成绩的平均数约为75分，上四分位数约为83.3分： (2)由频率分布直方图可知， 分数在[50,60)的人数有4人，分数在[60,70)的人数有8人， 分层抽样的抽样比为品= ∴分数在[50,60)的学生中抽取2人，分数在[60,70)的学生中抽取4人， 将抽取的这6个人编号：1,2,3,4,5,6，其中1,2是成绩在[50,60)的 两个学生， 样本点空间2={(y)x<y,x,y∈{1,2,3,4,5,6}→n(2)=15, 设“抽取的两个人至少有一个人的成绩位于[50,60)”为事件A, 则A={(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},n(A)=6, APA=1-PA=1-=1-品=6= 6 n() 数学参考答案第2页（共5页） 所以抽取的两个人至少有一个人的成绩位于50,60)的概率为是 (3)已知落在[80,90)的平均成绩数=87，方差s子=4，落在[90,100]的平均成 绩=94，方差s=4.在[80,90)内有40×0.030×10=12人，在[90,100] 内有40×0.005×10=2人，÷在[80,100]内的平均成绩2=87×12+94x2=88, 14 估计在[80,100]内数据的原始成绩的方差为：s2=412×[4+(87- 88)2]+2×[4+(94-88)2]}=10 18解：(1)证明：如图： G D 取线段BC的中点H,连接EH、FH, 因为E、F分别为棱PC、AD的中点，底面ABCD是梯形，AB//CD,所以 EH/PB、FH//AB, 因为EH/PB,EH平面PAB,PBC平面PAB,所以EH/I平面PAB, 同理可得：FH//平面PAB, 因为EH、FHC平面EFH,EH∩H=H,所以平面EFH//平面PAB, 而EFc平面EFH,因此EF//平面PAB. (2)连接BD, 因为PD⊥平面ABCD,BD、CDC平面ABCD,所以PD⊥BD、PD⊥CD, 因为底面ABCD是梯形，AB//CD,AD1CD,AB=PD=AD=CD=2, 所以BD=BC=2V2,因此PB=2V3、PC=2V5, 因为PB2+BC2=PC2,所以PB1BC,因此S△PBc=2×2W2×2W3=2√6， 设点D到平面PBC的距离为h, 因为SADRC=×2×4=4,所以V,-DBc=×4×2=号 因此由Vp-DBc=VD-pc得=专×2√6h,解得h=2, 3 设PD与平面PBC所成角为0，则sn0=品=号 PD 即PD与平面PBC所成角的正弦值 (3)如图： 数学参考答案第3页（共5页） Di 由(2)知：PB=2V3,BC=2V2, 因此由号=咒=a得GB=1-20PB=2W31-20, GE=λBC=22,且GE/BC, 由（②）知：PB1BC，因此SAGEC=GE-GB=×2W22W3(1-)= 2√61(1-入)， 因为8=入所以DF=2入、AF=2(1-), 因此SACF=224-×4DF-×2AF=6-2DF-AF=4-2入， 设点F到平面PBC的距离为ho, 因为由(2)知：SAPBC=2V6, 所以由vp-Bcr=Ve-PBc得：×2(4-2)=×2W6h0,解得h0=2-5, 3 因此三棱锥C-EG体积V=V-cc=×2VO(1-).2-=专A1- 0(2-), 令f)=(1-0(2-)0E(0,1),则f)=(32-61+2)0E(0,1), 因为由f()=0和λ∈(0,1)得=3=3 所以当入E(0,3)时，f0)>0,函数fO)单调递增： 当λE(,1)时，f0)<0,函数0)单调递减， 因此当=3时，函数f)取得最大值， 3 即当)=33时，三棱锥C一EFG体积取得最大. 19.解：(1)当x<0时，-x>0,又y=f(x)为偶函数， 当x<0时，f(x)=f(-x)=(-x)2+2a·(-x)+1=x2-2ax+1, 综上所述，f(x)=x2-2ax+1,(x<0): (2)当a≥0时，-号=-a≤0，f(x)在[0,5上单调递增，f0x)max=f5)= 2 10a+26. 数学参考答案第4页（共5页） 当a≤-5时，-受=-a≥5，f0)在[0,5]上单调递减，f0mx=f0)=1. 当-5<a<-时，一号=-aE(5),由抛物线对称性可知，f)ax= f(0)=1. 当a=- ，-受=-a=多由抛物线对称性可知，fmx=f0)=f5)=1. 2 当-<a<0时，-号=-a∈(0，)，由抛物线对称性可知，f0w)mx=f5)= 2 10a+26 10a+26,a>- 5 综上所述，g(a)= 1a<-月 10a+26,a>- (3)由(2)知： g(a)= 2 1,a-月 】 80m+26,m>- 则g(8m)= 16 1m<-8 10 1 5 +26,> 8)= m m 2 1 1,m<-2 m 即g()= +26,me(-0,-3)U(0,+∞) 1,me[-2,0) 由g8m)=g(),得 当m∈(0，+o)时，有80m+26=吕+26，即m2=官所以m=号 当m∈(-，0)时，有80m+26=1,解得：m=-高e(-,0,舍去： 当m∈[--时，g8m)=g白)=1，故me[--: 当me(-0,-有)时，1=0+26，解得：m=-号E(-o,-),舍去 综上所述，满足g(8m)=(白)的所有实数的取值集合为[-子，-]U). 数学参考答案第5页（共5页）